2023年湖南省衡阳市中考数学+仿真+模拟+试卷(含答案)

2023年湖南省衡阳市中考数学仿真模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作( )
A. −80米
B. 0米
C. 80米
D. 140米
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cm
B. 4cm，5cm，10cm
C. 3cm，3cm，6cm
D. 5cm，6cm，8cm
4. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是( )
A. B.
C. D.
5. 下列计算正确的是( )
A. (−a3)2=a5
B. (a−b)2=a2−b2
C. a6÷a3=a2
D. (−ab)2=a2b2
6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万.数据7358万用科学记数法表示为( )
A. 7.358×107
B. 7.358×103
C. 7.358×104
D. 7.358×106
7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有√ a⋅√ b=√ ab.该运算法则成立的条件是( )
A. a>0，b>0
B. a<0，b<0
C. a≤0，b≤0
D. a≥0，b≥0
8. 在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是( )
A. BD//CF
B. DF=BC
C. BD=CF
D. ∠B=∠F
9. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹笔，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”意思就是：“有83000根短竹竿，每根短竹竿可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，1个笔管与1个笔套正好配套．问制作笔管和笔套的短竹竿各多少根？”设制作笔管的短竹竿为x根，制作笔套的短竹竿为y根，则可列方程组为( )
A. {x+y=83000
x=y B. {
x+y=83000
3x=5y
C. {x+y=83000
5x=3y D. {
3x+5y=83000
x=y
10. 下列说法中，正确的是( )
A. 一组数据−2，−1，0，1，1，2的中位数是0
B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式
C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组数据较稳定
D. 分别写有三个数字−1，−2，4的三张卡片(卡片的大小形状都相同)，从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为1
3
11. 如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠D保持不变，为了舒适，可调整∠E的大小，使∠EFD=125°，则图中∠E应____(填“增加”或“减少”)____度，横线上的结果是( )
A. 增加，5
B. 增加，10
C. 减小，5
D. 减小，10
12. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0))的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y 轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1.下列结论：
①abc>0；②4a+2b+c>0；③4ac−b2<8a；④1
3<a<2
3
；⑤b>c.其中含
所有正确结论的选项是( )
A. ①③
B. ①③④
C. ②④⑥
D. ①③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知a为正整数，点P(4,2−a)在第一象限中，则a=______ ．
14. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白成，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为______ ．
15. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2：1，则这个正多边形的边数为______ ．
16. 已知b
a =2，则b
a+b
−a
a+b
的值为______ ．
17. 若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则−2a2−4a的值是______ ．
18. 如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC(包括端点)和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
19.计算：|√ 3−2|+2023°−(1
3
)−2+3tan30°．
20.解不等式组{2(x−1)+1>−3
x−1≤1+x
3
并把它的解集在数轴上表示出来．
21.国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于为1ℎ”.某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生.根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示，其中分组情况是：
A组：t<0.5ℎ；B组：0.5ℎ≤t<1ℎ；C组：1ℎ≤t<1.5ℎ；D组：t≥1.5ℎ．
请根据以上信息解答下列问题：
(1)求本次调查的总人数以及D组对应扇形的圆心角度数；
(2)根据题中信息补全条形统计图；
(3)若该市辖区约有40000名初中学生，请估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有多少人．
22.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2
x
的图象交于A(−4,1)，
B(m,4)两点.(k1,k2,b为常数)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式k1x+b>k1
的解集；
x
(2)P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．
23.教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°，黑板上投影图象的高度AB=120cm，CB与AB 的夹角∠B=33.7°，求AC的长.(结果精确到1cm.参考数据：sin33.7°≈0.55，
cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67)
24.如图，AB是⊙O的直径，D是BC⏜的中点，DE⊥AB于E，过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与M相交于点G．
(1)求证：GD是⊙O的切线；
(3)若CD=6，AD=8，求cos∠ABC的值．
25.如图1，四边形ABCD是边长为10的正方形，G是线段BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
(1)求证：BF+EF=AF；
(2)如图2，当点G是BC的中点时，求线段EF的长度；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BD并取BD的中点O，连接OE、OF，求△OEF的面积．
26. 如图，已知一次函数y1=kx+m的图象经过A(−1,−5)，B(0,−4)两点，且与x轴交于点C，二次函数y2=ax2+bx+4的图象经过点A，C，连接OA．
(1)求一次函数和二次函数的解析式．
(2)求∠OAB的正弦值．
(3)在点C右侧的x轴上是否存在一点D，使得△BCD与△OAB相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
1.A
2.D
3.D
4.C
5.D
6.A
7.D
8.C
9.B10.D 11.A12.D
13.1
14.2
5
15.正六边形
16.1
3
17.−6
18.11.5
19.解：原式=2−√ 3+1−9+√ 3 =−6．
20.解：{2(x−1)+1>−3①x−1≤1+x
3
②
，
解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：−1<x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
21.解：(1)∵A组有40人，占10%，
∴总人数为40÷10%=400(人)，
D组所占的百分比为40
400
×100%=10%，
∴D 组所对的圆心角为360°×10%=36°； (2)C 组的人数为400−40−80−40=240(人)， 补全条形统计图如下：
(3)40000×
240+40400
=28000(人)，
答：估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有28000人． 22.解：(1)将点A(−4,1)代入y =
k 2x 之中，得：k 2=−4，
∴反比例函数的解析式为：y =−4
x ，
将B(m,4)代入反比例函数y =−4
x 之中，得：m =−1， ∴点B 的坐标为(−1,4)，
将点A(−4,1)，B(−1,4)代入y =k 1x +b 之中，得：−{−4k 1+b =1
−k 1+b =4
，
解得：{k 1=1
b =5
，
∴一次函数的解析式为：y =x +5．
(2)观察函数的图象可知：当−4<x <−1或x >0时，一次函数的图象均在反比例函数的上方， ∴k 1x +b >
k 2x
的解集为：−4<x <−1或x >0．
(3)过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，
∵A(−4,1)，B(−1,4)，
∴AC =4，OC =1，BD =1，OD =4， ∴CD =OD −OC =4−1=3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，∴四边形ACDB为直角梯形，
∴S
四边形ACDB =1
2
(BD+AC)⋅CD=15
2
，
设点P的坐标为(0,t)，
∵△PAB的面积为3，
∴有以下两种情况：
①点P在线段CD上，
∴OP=t，
∴DP=OD−OP=4−t，PC=OP−OC=t−1，
∴S△PBD=1
2PD⋅BD=4−t
2
，S△PAC=1
2
PC⋅AC=2t−2，
∴15
2−4−t
2
−(2t−2)=3，
解得：t=3，
∴此时点P的坐标为(0,3)；
②当P在CD延长线上时，记作P′DP′=t−4，P′C=t−1，
S△P′AC=1
2AC⋅P′C=2(t−1)，S△P′BD=1
2
BD⋅P′D=1
2
(t−4)，
又∵S△P′AB=S△P′AC−S△P′BD−S梯形ACDB，
2(t−1)−1
2(t−4)−15
2
=3，
解得：t=7，
此时点P的坐标为(0,7)．
综上所述：点P的坐标为(0,3)或(0,7)．
23.解：在Rt△ABC中，AB=120cm，∠BAC=90°，∠B=33.7°，∴tanB=AC
AB
，
∴AC=AB⋅tan33.7°≈120×0.67=80.4≈80(cm)，
∴AC的长约为80cm．
24.(1)证明：连接OD交BC于点F，
∵D是BC⏜的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵DM//BC，
∴∠ODM=∠BFD=90°，
∵OD是⊙O的半径，且GD⊥OD，
∵GD是⊙O的切线．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CGD=∠ACB=90°，∠FCG=90°，∵∠FDG=90°，
∴四边形CGDF是矩形，
∵BD⏜=CD⏜，CD=6，AD=8，
∴BD=CD=6，
∴AB=√ AD2+BD2=√ 82+62=10，∵∠DCG=∠ABD=180°−∠ACD，
∴DG
CD =sin∠DCG=sin∠ABD=AD
AB
=8
10
=4
5
，
∴DG=4
5CD=4
5
×6=24
5
，
∴BF=CF=DG=24
5
，
∴BC=2BF=2×24
5=48
5
，
∴cos∠ABC=BC
AB =
48
5
10
=24
25
，
∴cos∠ABC的值是24
25
．
25.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB=∠AED=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF=AE，
∴AF=AE+EF=BF+EF；
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=10，
∵点G是BC的中点，
∴BG=1
2
BC=5，
根据勾股定理得，AG=√ AB2+BG2=5√ 5，
∴S△ABG=1
2AB⋅BG=1
2
AG⋅BF，
∴BF=AB⋅BG
AG =
5√ 5
=2√ 5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，AF=√ AB2−BF2=4√ 5，由(1)知，AF=BF+EF，
∴EF=AF−BF=4√ 5−2√ 5=2√ 5；
(3)如图3，
由(2)知，BF=EF=2√ 5，AF=4√ 5，
由(1)知，△ABF≌△DAE，
∴DE=AF=4√ 5，
连接BE，DF，
∵点O是BD的中点，
∴S△BOE=1
2S△BDE，S△BOF=1
2
S△BDF，
∴S△OEF=S
四边形BEOF
−S△BEF
=S △BOE +S △BOF −S △BEF =12S △BDE +12S △BDF −S △BEF
=1
2(S △BDE +S △BDF )−S △BEF
=1
2S 四边形BEDF −S △BEF
=1
2(S △BEF +S △DEF )−S △BEF
=1
2(S △DEF −S △BEF )
=12(12DE ⋅EF −1
2BF ⋅EF)
=1
4EF(DE −BF)
=1
4×2√ 5×(4√ 5−2√ 5)
=5．
即△OEF 的面积为5．
26.解：(1)将A(−1,−5)，B(0,−4)代入y 1=kx +m ，
∴{−k +m =−5
m =−4，
解得{k =1
m =−4，
∴y =x −4，
令y =0，则x =4，
∴C(4,0)，
将A(−1,−5)，C(−4,0)代入y 2=ax 2+bx +4， ∴{16a +4b +4=0
a −
b +4=−5，
解得{a =−2
b =7，
∴y =−2x 2+7x +4；
(2)过点O 作OH ⊥AC 交于H ，
∵B(0,−4)，C(4,0)，
∴∠OCB =45°，
∵OC =4，
∴OH=CH=2√ 2，∵AC=5√ 2，
∴AH=3√ 2，
∴AO=√ 26，
∴sin∠AOB=2√ 2
√ 26=2√ 13
13
；
(3)存在点D，使得△BCD与△OAB相似，理由如下：∵D点在C点右侧，
∴∠BCD=135°，
∵∠ABO=135°，
∴∠CBD=∠OAB或∠CDB=∠OAB，
当∠OAB=∠CBD时，△OAB∽△DBC，
∴OB
CD =AB
BC
，
∵OB=4，BC=4√ 2，AB=√ 2，
∴CD=16，
∴D(20,0)；
当∠OAB=∠BCD时，△OAB∽△BDC，
∴OB
BC =AB
CD
，
∴CD=2，
∴D(6,0)；
综上所述：D点坐标为(20,0)或(6,0)．。