2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．已知a 、b 和c
均为非零向量，
①若()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，则//a c ；
②若a c b c ⋅=⋅
，则a b = ；③若()
a b c a b c ⋅⋅= ，则//a b ．
上述命题中，真命题的个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【分析】根据数量积的定义及运算律逐一判断即可.
【详解】对于①，当,,a b a c b c ⊥⊥⊥
时，
()()
00,00a b c a a b c c ⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅=
，
满足
(
)()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，故①错误；对于②，若a c b c ⋅=⋅ ，则()
0a b c -⋅= ，
则a b =
或()
a b - 与c 垂直，故②错误；
对于③，若()
a b c a b c ⋅⋅=
，
则cos ,a b a b c a b c = ，即cos ,a b a b c a b c =
，所以cos ,1a b = ，又0,180a b ︒︒≤≤ ，所以,0a b =︒
或180︒，
所以//a b
，故③正确，
所以真命题的个数是1个.故选：B.
2．在ABC 中，12
BE EC = ，D 是AC 的中点，若=+AC x AE yBD ，则x
y =（
）
A ．1
2B ．2C ．
3
2
D ．3
【答案】C
【分析】根据向量的数量、位置关系，结合加减法的几何意义用,AE BD 表示出AC
，即可得答案.
【详解】
222()(2)
333
BC AC AE BA AC AE BA AD AB BC AB BE =+=+=+++=++ 2233AE BD AD =++ 2133AE BD AC =++ ，
所以32
AC AE BD =+ ，故3
,12x y ==，则x y =32.
故选：C 3．若1i
42i 1i
z -=+-+，则z =（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】A
【分析】复数的基本运算【详解】因为1i
42i=1i
z -=+-+i 42i 43i -+-=-，所以5z =．故选：A.
4．某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一､高二､高三年级参加跑步的人数分别为,,a b c ，且::2:3:4a b c =，全校参加登山的人数占总人数的
2
5
.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（）
A ．15人
B ．30人
C ．45人
D ．60人
【答案】D
【分析】先得出全校参加跑步的人数，再由分层抽样的方法求解即可.
【详解】由题意，可知全校参加跑步的人数为3
300018005
⨯=，所以1800a b c ++=.因为
::2:3:4a b c =，所以3
1800600234
b =⨯
=++.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样
本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为300
600603000
⨯=.故选：D
5．O 为平行四边形ABCD 两条对角线的交点，124,6AB e BC e ==uuu r u r uuu r ur ，则DO =
（）
A ．12
2e e + B ．12
2e e -
C ．1223e e +
D ．12
23e e -
【答案】D
【分析】由题意可得12
DO DB =uuu r uuu r
，再由向量的减法结合条件可得答案.
【详解】()()
1211123222
DO DB AB AD AB BC e e ==
-=-=-
．故选:D ．
6．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）
A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
B ．若//m α，//m β，则//αβ
C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
D ．若//m α，//n α，则//m n
【答案】C
【分析】ABD 均可举出反例，由线面垂直的性质可得得到C 正确.
【详解】对于A ，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，αγ⊥，βγ⊥，而α，β相交，故A 错误；
对于B ，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，
满足//m α，//m β，但,αβ相交，B 错误；对于C ，垂直于同一平面的两直线平行，故C 正确；对于D ，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，如图3，满足//m α，//n α，但,m n 相交，故D 错误.
故选：C.
7．函数1
()ln f x x x
=-的零点为0x ，且[)0,1x k k ∈+，Z k ∈，则k 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．0
D ．3
【答案】A
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为1
()ln f x x x =-
在()0,∞+上单调递增，又()12
11,(2)ln 2ln
02e
f f =-=-=>，所以[)01,2x ∈，故选：A
8．某次实验得交变电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数解析式为()sin i A t ωϕ=+，其中π
0,0,2
A ωϕ>>≤
且[)0,t ∈+∞，其图象如图所示，则下列说法错误的是（）
A ．100πω=
B ．π4
ϕ=
C ．当3
80
t =时，0i =D ．当9
80
t =
时，10i =【答案】D
【分析】根据五点法结合图象可得π10sin 100π4i t ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，进而即得.
【详解】由题知()20.02250.01250.02T =⨯-=，则100πω=，又10A =，则()10sin 100πi t ϕ=+，所以当0=t 时，10sin 52ϕ=，
则2
sin 2
ϕ=
，又π2ϕ≤，
则π
4ϕ=，因此π10sin 100π4i t ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以当380t =时，3π10sin 100π10sin4π0804i ⎛
⎫=⨯+== ⎪⎝
⎭，
当980t =
时，9π3π10sin 100π10sin
108042i ⎛
⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭
，因此ABC 正确，D 错误，故选：D.
二、多选题
9．已知点(1,2),(3,),A B x 向量(2,1),,a x AB a =--
∥则（
）
A ．3x =时AB
与a 方向相同B ．22,x =-时AB
与a 方向相同C ．3x =时AB
与a 方向相反D ．22,x =+时AB
与a 方向相反
【答案】BD
【分析】根据向量共线的坐标运算求解.【详解】(1,2),(3,),A B x 可得(2,2),AB x =-
又(2,1),,
a x AB a =--
∥可得(2)(2)2,x x --=-解得22,
x =±当22,x =+时，(2,2)AB = ，(2,1)a =--
则2AB a =- ，
所以AB
与a
方向相反，
当22,x =-时，(2,2)AB =- ，(2,1)a =-
，则2AB a = ，
AB 与a
方向相同.
故选:BD.
10．已知复数()()23i 1i z =-+，其共轭复数为z ，则（
）
A ．z 的实部与虚部之和为4
B ．5i z =+
C ．2z 是纯虚数
D ．26
z =【答案】AB
【分析】由复数的乘法求解z ，根据复数的特征、共轭复数z 、复数的模逐项判断即可．
【详解】对于A ，由题意可得222i 3i 3i 5i z =+--=-，z 的实部与虚部之和为514-=，故A 正确；对于B ，5i z =+，故B 正确；
对于C ，225i (41)20i z =-=-，2z 不是纯虚数，故C 错误；对于D ，225126z =+=，故D 错误．故选：AB.
11．阅读数学材料：“设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为()1223111
12π
k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --
∠+∠++∠+∠ ，其中()1,2,,,3i Q i k k = ≥为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23,Q PQ ⋯，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体M 的所有以
P 为公共点的面."解答问题：已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，1AA
AB =，则下列结论正确的是（）
A ．直四棱柱1111ABCD A
B
C
D -在其各顶点处的离散曲率都相等
B ．若A
C B
D =，则直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为1
4
C ．若四面体1A AB
D 在点1A 处的离散曲率为
7
12
，则1AC ⊥平面1A BD D ．若直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为1
3
，则1BC 与平面1ACC 所成角的正弦
值为
24
【答案】BCD
【分析】根据多面体M 在点P 处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直线与平面所成的角，判断选项的正误.
【详解】
对于A ，直四棱柱1111ABCD A B C D -在点A 处的离散曲率为1ππ
1()2π22
BAD -++∠，在A 点处的离散曲率为1ππ
1()2π22
ABC -
++∠，两者不一定相等，A 项错误；对于B ，AC BD =，则四边形ABCD 为正方形，直四棱柱1111ABCD A B C D -在点A 处的离散曲率为1πππ1
1()2π2224
-
⨯++=，B 项正确；对于C ，因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为菱形，1AA AB =，所以直四棱柱
1111ABCD A B C D -侧面均为正方形，
四面体1A ABD 在点1A 处的离散曲率为11ππ7
1()2π4412
BA D -++∠=，则1π
3
BA D ∠=
，则1A BD 为正三角形，112BD A B A D AB ===，所以222BD AB AD =+，四边形ABCD
为正方形，直四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，
因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1BD CC ⊥，
又因为BD AC ⊥，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C = ，所以BD ⊥平面1ACC ，又因为1AC ⊂平面1ACC ，所以1AC BD ⊥，
同理可得，11AC A B ⊥，BD ⊂平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1BD A B B = ，所以1A C ⊥平面1A BD ，C 项正确；
对于D ，直四棱柱1111ABCD A B C D -在点A 处的离散曲率为1ππ11()2π223
BAD -++∠=，则π
3
BAD ∠=
，设11AA AB ==，AC 交1BD 于点O ，则12BC =，12
BO =
，由选项C 知，1BD CC ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C = ，
所以BD ⊥平面1ACC ，1BC O ∠即1BC 与平面1ACC 所成的角，112sin 4BO BC O BC ∠=
=，所以1BC 与平面1ACC 所成的角的正弦值为2
4
，D 项正确；故选：BCD.
12．下列不等式成立的是（
）
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若0a b >>，则2
ab a <C ．若4ab =，则4a b +≥D ．若a b >，c d >，则a d b c
->-【答案】BD
【分析】当0c =时，即可判断A ；当2a b ==-，即可判断C ；根据不等式的基本性质即可判断C ，D ．
【详解】对于A ，当0c =时，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，由0a b >>，则0ab <，20a >，故B 正确；对于C ，当2a b ==-，则4a b +=-，故C 错误；
对于D ，由a b >，c d >，则a c b d +>+，所以a d b c ->-，故D 正确．故选：BD ．
三、填空题
13．已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=
，若()
2a b c +⊥ ，则t =
.
【答案】
32
/1.5【分析】由平面向量的坐标运算得出t .
【详解】()()()21,24,23,4a b +=+-=-
，
因为()2a b c +⊥ ，所以()
()()23,42,640a b c t t +⋅=-⋅=-+= ，解得3
2
t =.
故答案为：
32
.14．已知复数z 满足2i 4z +=，则3i z -的取值范围是．
【答案】[1,9]
【分析】方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解.【详解】方法一：因为2i 4z +=，
所以z 在复平面内对应的点是复平面内到点()0,2-的距离为4的点的集合，如图所示．
由图象可知，
当2i z =时，min 3i 1z -=，当6i z =-时，max |3i |9z -=，所以3i z -的取值范围是[]1,9．
方法二：因为|3i |2i 5i z z -=+-，
又5i 2i 3i 2i 5i 5i 2i z z z z -+≤-=+-≤++,所以1|3i |9z ≤-≤．故答案为:[1,9].
15．在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥，且32PA PB ==，ABC 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．
【答案】48π
【分析】通过题意画出图像，通过三棱锥图像性质以及三棱锥外接球的相关性质确定圆心位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果.【详解】如图所示，作AB 中点D ，连接PD 、CD ，在CD 上作ABC 的中心E ，过点E 作平面ABC 的垂线，在垂线上取一点O ，使得PO CO =，因为三棱锥底面是等边三角形，E 是ABC 的中心，
所以三棱锥外接球球心在过点E 的平面ABC 垂线上，又因PO CO =，则O 即为球心，
因为平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥，32PA PB ==，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，所以PD ⊥平面ABC ，
2218186BC AB PA PB ==+=+=，2236933CD BC BD =-=-=，
2
233
CE CD ==，221893PD PB BD =-=-=，
设球的半径为r ，
则222,12PO OC r OE OC CE r ===-=-，
()
2
22PD OE DE PO -+=，
即(
)2
2
2
312
3r r
--+=，解得212r =，
故三棱锥外接球的表面积为24π48πr =.
故答案为：48π
【点睛】三棱锥外接球表面积的问题，从以下几个角度考虑：（1）三棱锥的性质的应用；
（2）通过三棱锥的几何特征确定外接球的球心和半径；（3）推理能力的应用；
（4）数形结合，化归与转化思想的应用.16．若0x >，则4
1
x x ++的最小值为．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.【详解】因为0x >，由基本不等式得：()444112113111
+=++-≥+⋅-=+++x x x x x x ，当且仅当4
11
x x +=+，且0x >，即1x =时等号成立．故答案为：3
四、解答题
17．如图，圆心为C 的定圆的半径为3，A ，B 为圆C 上的两点
.
(1)若2cos 3
CAB ∠=，当k 为何值时，2AC AB + 与k AC AB - 垂直？(2)若AC t AB + 的最小值为2，求AB 的值；
(3)若G 为ABC 的重心，直线l 过点G 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，且AP AB λ=uuu r uuu r ，AQ AC μ= .证明：1
1
λμ+为定值.
【答案】(1)
85(2)25(3)证明见解析
【分析】（1）利用余弦定理求出AB ，利用向量的垂直及数量积的运算建立方程求解即可；（2）利用向量模的运算及数量积的运算律建立函数，利用二次函数求解最值即可求解；（3）利用重心向量表示及向量共线的结论，结合平面向量基本定理即可得到结论.
【详解】（1）因为3CA CB ==，2cos 3
CAB ∠=，所以由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB CAB =+-⨯⨯∠，即240AB AB -=，所以4AB =，
若2AC AB + 与k AC AB - 垂直，则(2)()0AC AB k AC AB +⋅-= ，
所以22(21)20k AC k AB AC AB +-⋅-= ，所以29(21)433203
k k +-⨯⨯⨯-=，解得85k =，即85k =时，2AC AB + 与k AC AB - 垂直；（2）设AB m = ，AB 与AC 的夹角为θ，在ABC 中，12cos AB AC
θ= ，所以2112cos ||2AB AB AC AB AC AB AC AB AC
θ⋅==⋅= ，又()22222
2229AC t AB AC t AB AC t AB AC t AB t AB t AB +=+=+⋅+=++
2
2222219924m m t t m m t ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，所以当12t =-时，AC t AB + 有最小值294m -，所以2924
m -=，解得25m =，即AC t AB + 取最小值2时，
25AB = ；（3）因为G 为ABC 的重心，所以2111()3233AG AB AC AB AC =⋅+=+ ，又因为AP AB λ=uuu r uuu r ，AQ AC μ= ，所以11113333AG AB AC AP AQ λμ
=+=+ ，由于,,P G Q 三点共线，所以存在实数t 使得PG tPQ = ，所以()
AG AP t AQ AP -=- 化简为(1)AG t AP t AQ =-+ ，所以11133λμ
+=，所以113λμ+=为定值.【点睛】方法点睛：解决向量问题常用的方法有：
1.利用定义求解：定义法是解决相关问题的最基本的方法，对向量来说，知道了“模”和“夹角”，数量积就知道了；
2.利用基底求解：基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求的两个向量转化到题中已知的两个不共线向量来求解；
3.利用坐标求解：就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解，坐标法有时更能解决较为复杂的问题.
18．设复数1i z a b =+，2i z c d =+，其中R a b c d ∈、、、.现在复数系中定义一个新运算⊗，规定：()()12i z z ac bd ad bc ⊗=+++.
(1)已知()()2i i 2x -⊗+=，求实数x 的值；
(2)现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题：①1212z z z z ⊗=⊗；
②若120z z ⊗=，则10z =或20z =.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
【答案】(1)1x =或3
5
x =(2)①是真命题，②是假命题，理由见解析
【分析】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论；
（2）根据复数新定义设1i z a b =+，2i z c d =+，根据运算逐个求证即可.
【详解】（1）由定义，有()()2i i x -⊗+=()()212i 2
x x -+-=即()()22
2122x x -+-=，整理得，25830x x -+=，
∴1x =或35x =.（2）①设1i z a b =+，2i z c d =+，则()()()()12i i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⊗=+++=+-+，()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⊗=-⊗-=+-+，所以1212
z z z z ⊗=⊗∴①是真命题.
②设1i z a b =+，2i z c d =+，则()()12i=0z z ac bd ad bc ⊗=+++，
所以0,0ac bd ad bc +=+=，则1,1,1,1a b c d ==-==是其一组解，
故得不到10z =或20z =.
∴②是假命题.
19．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，D 为AB 的中点，()1101C E C C λλ=<< ，1323A A AB ==．
(1)若12
λ=，证明：DE ⊥平面11A B E ；(2)若直线1BC 与平面11A B E 所成角为
π3，求λ的值；【答案】(1)证明见解析(2)2
3
λ=【分析】（1）先证明11A B ⊥平面1DCC F ，得到11DE A B ⊥，再证明DE ⊥平面11A B E 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据线面角列方程即可得解.
【详解】（1）取11A B 的中点F ，连接EF ，DF ，D C ，1
FC
因为1CC ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CC CD ⊥，同理11CC C F ⊥，又13CD C F ==，结合题设，可得6DE EF ==，易知123DF A A ==，
所以222DE EF DF +=，则DE EF ⊥．
因11111,A B C F A B DF ⊥⊥，11,,C F DF F C F DF =⊂ 平面1DCC F ，
所以11A B ⊥平面1DCC F ，
又DE ⊂平面1DCC F ，所以11DE A B ⊥，
因为11A B EF F ⋂=，11,A B EF ⊂平面11A B E ，
所以DE ⊥平面11A B E
．
（2）以D 为坐标原点，,,DB DC DF 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()
1111,0,23,1,0,0,0,3,23,1,0,23A B C B -设()()0,3,,0,23E a a ∈，则()
11,3,23A E a =- ，()()1112,0,0,1,3,23A B BC ==- 设平面11A B E 的法向量为(),,n x y z =r ，则111203(23)0
n A B x n A E x y a z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，取23y a =-，则()0,23,3n a =- 设直线1BC 与平面11A B E 所成的角为θ，
则1121312||3sin cos ,244315
a n BC n BC n BC a a θ-+⋅====-+ 化简得2383120a a -+=，解得233
a =或23a =．当23a =时，点E 与点1C 重合，此时0λ=，不符合题意．所以1123
C E C C λ== ，即λ的值为23.20．已知函数()()()22121R f x m x mx m m =+-+-∈.
(1)若()()22121f x m x mx m =+-+-在[1,2]上是单调函数，求实数m 的取值范围；
(2)若1m ≤-，解关于x 的不等式()22f x m mx ≥+.
【答案】(1).][24(,,)37
-∞-⋃-+∞(2)答案见解析
【分析】（1）首先分210m +=和210m +≠两种情况讨论，由其当210m +≠时，利用二次函数的对称轴与区间[]1,2的关系，列式求实数m 的取值范围；
（2）首先不等式化简为()()1110m x x ++⋅-≥⎡⎤⎣⎦，再分2m <-，2m =-，21m -<<-，1m =-，四种情况求解不等式.
【详解】（1）当210m +=，即12m =-时122
y x =-，在[]1,2上是单调递增函数，符合题意；当210m +≠，即21m ≠-时，二次函数()22121y m x mx m =+-+-对称轴为()221m x m =+，要想函数在[]1,2上是单调函数，只需()1221m m ≤+①或()
2221m m ≥+②，解①得：23m ≤-或12
m >-，
解②得4172
m -
≤<-，∴2411(,,)(,)372[ 2
]m ∈-∞-⋃--⋃-+∞，综上：实数m 的取值范围是.][24(,,)37-∞-⋃-+∞（2）不等式()2221212m x mx m m mx +-+-≥+，
变形为()2110m x mx +--≥，()()1110m x x ++⋅-≥⎡⎤⎣⎦，
当1m =-时，10x -≥，解得：1x ≥，
当1m <-时，10+<m ，()()1110m x x ++⋅-=⎡⎤⎣⎦的两根为11m -
+和1，当2m <-时，111
m -<+，此时，解得：111x m -≤≤+，当2m =-时，原不等式即可化为()210x --≥，解得1x =，
当21m -<<-时，111m ->+，解得1x ≤≤11
m -+，综上所述：当2m <-时，原不等式的解集为1|11x x m ⎧⎫-≤≤⎨⎬+⎩⎭
，当2m =-时，原不等式的解集为{}|1x x =，
当21m -<<-时，原不等式的解集为1{|1}1x x m ≤≤-
+；当1m =-时，原不等式的解集为{}|1x x ≥.
21．已知函数()()2
log 11f x x a =--+的定义域为[)1,+∞.(1)求471y a a
=+--的最大值；(2)若0a >，求()1322
y a a =-的最大值.【答案】(1)4(2)9
16
【分析】（1）由题意求得1a <，变形()4471811y a a a a ⎡⎤=+-
=--++⎢⎥--⎣⎦，然后利用基本不等式求解即可；
（2）利用二次函数的性质或基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为()f x 的定义域为[)1,+∞，即关于x 的不等式110x a --+>在[]1,+∞上恒成立，
所以min (11)a x <-+，
当1x =时，11x -+取得最小值1，则1a <，10a ->，所以()()4447182184111y a a a a a a ⎡⎤=+-=--++≤--⋅+=⎢⎥---⎣⎦
，当且仅当411a a -=
-，即1a =-时，等号成立，所以471y a a
=+-
-的最大值为4.（2）方法一：()2
213393222416y a a a a a ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为01a <<，所以当34a =
时，y 有最大值为916
.方法二：由（1）知：320a ->且0a >，所以()()2
111232932232244216a a y a a a a +-⎛⎫=-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当232a a =-，即34a =
时，等号成立，所以()1322
y a a =-的最大值为916.22．某地有四家工厂，分别位于矩形ABCD 的四个顶点．已知20km AB =，10km BC =．为了处理这四家工厂的污水，当地政府打算在该矩形区域上（含边界）建造一个污水处理厂O ，并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂．记需要铺设管道的总长度为L （单位：km ）
．现有以下两种建设方案．(1)第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部，并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通．求该方案下L 的最小值；
(2)第二种方案计划将污水处理厂O 建在对角线AC 、BD 的交点处，并在矩形区域内部选择两个关于O 对称的点P 、Q 作为管道的分叉点，试确定该方案下L 取得最小值时，分叉点P 、Q 的位置．
【答案】(1)205km (2)L 的最小值为20103+km ，此时点P 、点Q 位于过点O 平行于AB 且以点O 为中点53103
OP OQ ==-处
【分析】（1）根据两点之间线段最短可求得结果.
（2）运用余弦定理可求得2π3
AOB ∠>，根据对称性将问题转化为一动点到三定点距离和的最小值，分类讨论①当点P 、Q 分别在△AOB 、△COD 中与②当点P 、Q 分别在△AOD 、△BOC 中时L 的最小值即可（即：证明两种情况下的费马点）.
【详解】（1）如图所示，
则OA OC OB OD AC BD +++≥+，
所以根据两点之间线段最短可知，污水厂O 建在AC 与BD 的交点处时铺设管道的总长度最短，又因为22222010105BD AC AB BC ==+=+=，所以min 205L AC BD =+=，
即：L 的最小值为205km.
（2）取AB 的中点H ，连接OE ，则OH AB ⊥，5OH =，10AH =，∴2255OB OA OH AH ==+=，
∴在△AOB 中由余弦定理得：222222(55)(55)2031cos 25225555
OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-<-⨯⨯⨯，又∵(0,π)AOB ∠∈，∴2π3AOB ∠>
，∴2π3
BOC ∠<，①当点P 、Q 分别在△AOB 、△COD 中时，如图所示，
由对称性可知，PO OQ =，DQ PB =，QC PA =，
所以2()L PO PA PB =++，
以点O 为中心，旋转△OPB 到△1
OPC ，连接1PP ，如图所示，
∴1OPB OPC ≅△△，1OP OP
=，∵2π3
AOB ∠>，∴11ππππ3POP AOP COP AOP BOP AOB ∠=-∠-∠=-∠-∠=-∠<
，∴1OP PP >，
∴11
PO PA PB PP PA PC AC OA OB ++>++≥=+，当且仅当点P 在点O 时取等号，∴当点P 、Q 分别在△AOB 、△COD 中时，不符合题意.②当点P 、Q 分别在△AOD 、△BOC 中时，如图所示，
由对称性可知，2()L PO PA PB =++，
作等边△BCE 、等边△BPF ，如图所示，
则BP BF PF ==，BC BE =，π3
PBC CBF ∠=
-∠，π3FBE CBF ∠=-∠，∴CPB EFB ≅△△，
∴PC EF =，∴PO PA PB PO PF EF OE ++=++≥，当且仅当O 、P 、F 、E 四点共线时取等号.∴2()2L PO PA PB OE =++≥，当且仅当O 、P 、F 、E 四点共线时取等号.当O 、P 、F 、E 四点共线时，OE 交BC 于点M ，如图所示，
∵OB OC
=∴OE 平分BOC ∠、CEB ∠，OE 垂直平分BC ，BC 平分PBF ∠，∴π6PBM ∠=，1102OM AB ==，又∵152
BM BC ==，∴在Rt PMB 中，533PM =
，在Rt EMB △中，222210553ME BE BM =-=-=，∴1053OE OM ME =+=+，53103OP OM PM =-=-，∴min 220103L OE ==+，1032203PQ OP ==-，综述：L 的最小值为20103+km ，此时点P 、点Q 位于过点O 平行于AB 且以点O 为中点53103OP OQ ==-处.。