2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

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2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县高一下学期期末数学试题
一、单选题
1.已知a 、b 和c
均为非零向量,
①若()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ,则//a c ;
②若a c b c ⋅=⋅
,则a b = ;③若()
a b c a b c ⋅⋅= ,则//a b .
上述命题中,真命题的个数是()
A .0
B .1
C .2
D .3
【答案】B
【分析】根据数量积的定义及运算律逐一判断即可.
【详解】对于①,当,,a b a c b c ⊥⊥⊥
时,
()()
00,00a b c a a b c c ⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

满足
(
)()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ,故①错误;对于②,若a c b c ⋅=⋅ ,则()
0a b c -⋅= ,
则a b =
或()
a b - 与c 垂直,故②错误;
对于③,若()
a b c a b c ⋅⋅=

则cos ,a b a b c a b c = ,即cos ,a b a b c a b c =
,所以cos ,1a b = ,又0,180a b ︒︒≤≤ ,所以,0a b =︒
或180︒,
所以//a b
,故③正确,
所以真命题的个数是1个.故选:B.
2.在ABC 中,12
BE EC = ,D 是AC 的中点,若=+AC x AE yBD ,则x
y =(

A .1
2B .2C .
3
2
D .3
【答案】C
【分析】根据向量的数量、位置关系,结合加减法的几何意义用,AE BD 表示出AC
,即可得答案.
【详解】
222()(2)
333
BC AC AE BA AC AE BA AD AB BC AB BE =+=+=+++=++ 2233AE BD AD =++ 2133AE BD AC =++ ,
所以32
AC AE BD =+ ,故3
,12x y ==,则x y =32.
故选:C 3.若1i
42i 1i
z -=+-+,则z =()
A .5
B .4
C .3
D .2
【答案】A
【分析】复数的基本运算【详解】因为1i
42i=1i
z -=+-+i 42i 43i -+-=-,所以5z =.故选:A.
4.某学校在校学生有3000人,为了增强学生的体质,学校举行了跑步和登山比赛,每人都参加且只参加其中一项比赛,高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为,,a b c ,且::2:3:4a b c =,全校参加登山的人数占总人数的
2
5
.为了了解学生对本次比赛的满意程度,按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查,则应从高二年级参加跑步的学生中抽取()
A .15人
B .30人
C .45人
D .60人
【答案】D
【分析】先得出全校参加跑步的人数,再由分层抽样的方法求解即可.
【详解】由题意,可知全校参加跑步的人数为3
300018005
⨯=,所以1800a b c ++=.因为
::2:3:4a b c =,所以3
1800600234
b =⨯
=++.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样
本,所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为300
600603000
⨯=.故选:D
5.O 为平行四边形ABCD 两条对角线的交点,124,6AB e BC e ==uuu r u r uuu r ur ,则DO =
()
A .12
2e e + B .12
2e e -
C .1223e e +
D .12
23e e -
【答案】D
【分析】由题意可得12
DO DB =uuu r uuu r
,再由向量的减法结合条件可得答案.
【详解】()()
1211123222
DO DB AB AD AB BC e e ==
-=-=-
.故选:D .
6.已知α,β,γ是三个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,则下列命题中正确的是()
A .若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ
B .若//m α,//m β,则//αβ
C .若m α⊥,n α⊥,则//m n
D .若//m α,//n α,则//m n
【答案】C
【分析】ABD 均可举出反例,由线面垂直的性质可得得到C 正确.
【详解】对于A ,垂直于同一平面的两平面相交或平行,如图1,αγ⊥,βγ⊥,而α,β相交,故A 错误;
对于B ,平行于同一直线的两平面相交或平行,如图2,
满足//m α,//m β,但,αβ相交,B 错误;对于C ,垂直于同一平面的两直线平行,故C 正确;对于D ,平行于同一平面的两直线相交、平行或异面,如图3,满足//m α,//n α,但,m n 相交,故D 错误.
故选:C.
7.函数1
()ln f x x x
=-的零点为0x ,且[)0,1x k k ∈+,Z k ∈,则k 的值为()
A .1
B .2
C .0
D .3
【答案】A
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解:因为1
()ln f x x x =-
在()0,∞+上单调递增,又()12
11,(2)ln 2ln
02e
f f =-=-=>,所以[)01,2x ∈,故选:A
8.某次实验得交变电流i (单位:A )随时间t (单位:s )变化的函数解析式为()sin i A t ωϕ=+,其中π
0,0,2
A ωϕ>>≤
且[)0,t ∈+∞,其图象如图所示,则下列说法错误的是()
A .100πω=
B .π4
ϕ=
C .当3
80
t =时,0i =D .当9
80
t =
时,10i =【答案】D
【分析】根据五点法结合图象可得π10sin 100π4i t ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,进而即得.
【详解】由题知()20.02250.01250.02T =⨯-=,则100πω=,又10A =,则()10sin 100πi t ϕ=+,所以当0=t 时,10sin 52ϕ=,
则2
sin 2
ϕ=
,又π2ϕ≤,
则π
4ϕ=,因此π10sin 100π4i t ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭,
所以当380t =时,3π10sin 100π10sin4π0804i ⎛
⎫=⨯+== ⎪⎝
⎭,
当980t =
时,9π3π10sin 100π10sin
108042i ⎛
⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭
,因此ABC 正确,D 错误,故选:D.
二、多选题
9.已知点(1,2),(3,),A B x 向量(2,1),,a x AB a =--
∥则(

A .3x =时AB
与a 方向相同B .22,x =-时AB
与a 方向相同C .3x =时AB
与a 方向相反D .22,x =+时AB
与a 方向相反
【答案】BD
【分析】根据向量共线的坐标运算求解.【详解】(1,2),(3,),A B x 可得(2,2),AB x =-
又(2,1),,
a x AB a =--
∥可得(2)(2)2,x x --=-解得22,
x =±当22,x =+时,(2,2)AB = ,(2,1)a =--
则2AB a =- ,
所以AB
与a
方向相反,
当22,x =-时,(2,2)AB =- ,(2,1)a =-
,则2AB a = ,
AB 与a
方向相同.
故选:BD.
10.已知复数()()23i 1i z =-+,其共轭复数为z ,则(

A .z 的实部与虚部之和为4
B .5i z =+
C .2z 是纯虚数
D .26
z =【答案】AB
【分析】由复数的乘法求解z ,根据复数的特征、共轭复数z 、复数的模逐项判断即可.
【详解】对于A ,由题意可得222i 3i 3i 5i z =+--=-,z 的实部与虚部之和为514-=,故A 正确;对于B ,5i z =+,故B 正确;
对于C ,225i (41)20i z =-=-,2z 不是纯虚数,故C 错误;对于D ,225126z =+=,故D 错误.故选:AB.
11.阅读数学材料:“设P 为多面体M 的一个顶点,定义多面体M 在点P 处的离散曲率为()1223111
12π
k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --
∠+∠++∠+∠ ,其中()1,2,,,3i Q i k k = ≥为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点,且平面12Q PQ ,平面23,Q PQ ⋯,平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体M 的所有以
P 为公共点的面."解答问题:已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为菱形,1AA
AB =,则下列结论正确的是()
A .直四棱柱1111ABCD A
B
C
D -在其各顶点处的离散曲率都相等
B .若A
C B
D =,则直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为1
4
C .若四面体1A AB
D 在点1A 处的离散曲率为
7
12
,则1AC ⊥平面1A BD D .若直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为1
3
,则1BC 与平面1ACC 所成角的正弦
值为
24
【答案】BCD
【分析】根据多面体M 在点P 处的离散率的定义,由各选项的条件分析几何体的结构特征,判断垂直关系及计算直线与平面所成的角,判断选项的正误.
【详解】
对于A ,直四棱柱1111ABCD A B C D -在点A 处的离散曲率为1ππ
1()2π22
BAD -++∠,在A 点处的离散曲率为1ππ
1()2π22
ABC -
++∠,两者不一定相等,A 项错误;对于B ,AC BD =,则四边形ABCD 为正方形,直四棱柱1111ABCD A B C D -在点A 处的离散曲率为1πππ1
1()2π2224
-
⨯++=,B 项正确;对于C ,因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为菱形,1AA AB =,所以直四棱柱
1111ABCD A B C D -侧面均为正方形,
四面体1A ABD 在点1A 处的离散曲率为11ππ7
1()2π4412
BA D -++∠=,则1π
3
BA D ∠=
,则1A BD 为正三角形,112BD A B A D AB ===,所以222BD AB AD =+,四边形ABCD
为正方形,直四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体,
因为1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1BD CC ⊥,
又因为BD AC ⊥,AC ⊂平面1ACC ,1CC ⊂平面1ACC ,1AC CC C = ,所以BD ⊥平面1ACC ,又因为1AC ⊂平面1ACC ,所以1AC BD ⊥,
同理可得,11AC A B ⊥,BD ⊂平面1A BD ,1A B ⊂平面1A BD ,1BD A B B = ,所以1A C ⊥平面1A BD ,C 项正确;
对于D ,直四棱柱1111ABCD A B C D -在点A 处的离散曲率为1ππ11()2π223
BAD -++∠=,则π
3
BAD ∠=
,设11AA AB ==,AC 交1BD 于点O ,则12BC =,12
BO =
,由选项C 知,1BD CC ⊥,因为四边形ABCD 为菱形,所以BD AC ⊥,又AC ⊂平面1ACC ,1CC ⊂平面1ACC ,1AC CC C = ,
所以BD ⊥平面1ACC ,1BC O ∠即1BC 与平面1ACC 所成的角,112sin 4BO BC O BC ∠=
=,所以1BC 与平面1ACC 所成的角的正弦值为2
4
,D 项正确;故选:BCD.
12.下列不等式成立的是(

A .若a b >,则22ac bc >
B .若0a b >>,则2
ab a <C .若4ab =,则4a b +≥D .若a b >,c d >,则a d b c
->-【答案】BD
【分析】当0c =时,即可判断A ;当2a b ==-,即可判断C ;根据不等式的基本性质即可判断C ,D .
【详解】对于A ,当0c =时,则22ac bc =,故A 错误;对于B ,由0a b >>,则0ab <,20a >,故B 正确;对于C ,当2a b ==-,则4a b +=-,故C 错误;
对于D ,由a b >,c d >,则a c b d +>+,所以a d b c ->-,故D 正确.故选:BD .
三、填空题
13.已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=
,若()
2a b c +⊥ ,则t =
.
【答案】
32
/1.5【分析】由平面向量的坐标运算得出t .
【详解】()()()21,24,23,4a b +=+-=-

因为()2a b c +⊥ ,所以()
()()23,42,640a b c t t +⋅=-⋅=-+= ,解得3
2
t =.
故答案为:
32
.14.已知复数z 满足2i 4z +=,则3i z -的取值范围是.
【答案】[1,9]
【分析】方法一:根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解;方法二:利用不等式求解.【详解】方法一:因为2i 4z +=,
所以z 在复平面内对应的点是复平面内到点()0,2-的距离为4的点的集合,如图所示.
由图象可知,
当2i z =时,min 3i 1z -=,当6i z =-时,max |3i |9z -=,所以3i z -的取值范围是[]1,9.
方法二:因为|3i |2i 5i z z -=+-,
又5i 2i 3i 2i 5i 5i 2i z z z z -+≤-=+-≤++,所以1|3i |9z ≤-≤.故答案为:[1,9].
15.在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,PA PB ⊥,且32PA PB ==,ABC 是等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为.
【答案】48π
【分析】通过题意画出图像,通过三棱锥图像性质以及三棱锥外接球的相关性质确定圆心位置,最后根据各边所满足的几何关系列出算式,即可得出结果.【详解】如图所示,作AB 中点D ,连接PD 、CD ,在CD 上作ABC 的中心E ,过点E 作平面ABC 的垂线,在垂线上取一点O ,使得PO CO =,因为三棱锥底面是等边三角形,E 是ABC 的中心,
所以三棱锥外接球球心在过点E 的平面ABC 垂线上,又因PO CO =,则O 即为球心,
因为平面PAB ⊥平面ABC ,PA PB ⊥,32PA PB ==,平面PAB ⋂平面ABC AB =,PD AB ⊥,所以PD ⊥平面ABC ,
2218186BC AB PA PB ==+=+=,2236933CD BC BD =-=-=,
2
233
CE CD ==,221893PD PB BD =-=-=,
设球的半径为r ,
则222,12PO OC r OE OC CE r ===-=-,
()
2
22PD OE DE PO -+=,
即(
)2
2
2
312
3r r
--+=,解得212r =,
故三棱锥外接球的表面积为24π48πr =.
故答案为:48π
【点睛】三棱锥外接球表面积的问题,从以下几个角度考虑:(1)三棱锥的性质的应用;
(2)通过三棱锥的几何特征确定外接球的球心和半径;(3)推理能力的应用;
(4)数形结合,化归与转化思想的应用.16.若0x >,则4
1
x x ++的最小值为.
【答案】3
【分析】利用基本不等式,变形求函数的最小值.【详解】因为0x >,由基本不等式得:()444112113111
+=++-≥+⋅-=+++x x x x x x ,当且仅当4
11
x x +=+,且0x >,即1x =时等号成立.故答案为:3
四、解答题
17.如图,圆心为C 的定圆的半径为3,A ,B 为圆C 上的两点
.
(1)若2cos 3
CAB ∠=,当k 为何值时,2AC AB + 与k AC AB - 垂直?(2)若AC t AB + 的最小值为2,求AB 的值;
(3)若G 为ABC 的重心,直线l 过点G 交边AB 于点P ,交边AC 于点Q ,且AP AB λ=uuu r uuu r ,AQ AC μ= .证明:1
1
λμ+为定值.
【答案】(1)
85(2)25(3)证明见解析
【分析】(1)利用余弦定理求出AB ,利用向量的垂直及数量积的运算建立方程求解即可;(2)利用向量模的运算及数量积的运算律建立函数,利用二次函数求解最值即可求解;(3)利用重心向量表示及向量共线的结论,结合平面向量基本定理即可得到结论.
【详解】(1)因为3CA CB ==,2cos 3
CAB ∠=,所以由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB CAB =+-⨯⨯∠,即240AB AB -=,所以4AB =,
若2AC AB + 与k AC AB - 垂直,则(2)()0AC AB k AC AB +⋅-= ,
所以22(21)20k AC k AB AC AB +-⋅-= ,所以29(21)433203
k k +-⨯⨯⨯-=,解得85k =,即85k =时,2AC AB + 与k AC AB - 垂直;(2)设AB m = ,AB 与AC 的夹角为θ,在ABC 中,12cos AB AC
θ= ,所以2112cos ||2AB AB AC AB AC AB AC AB AC
θ⋅==⋅= ,又()22222
2229AC t AB AC t AB AC t AB AC t AB t AB t AB +=+=+⋅+=++
2
2222219924m m t t m m t ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭,所以当12t =-时,AC t AB + 有最小值294m -,所以2924
m -=,解得25m =,即AC t AB + 取最小值2时,
25AB = ;(3)因为G 为ABC 的重心,所以2111()3233AG AB AC AB AC =⋅+=+ ,又因为AP AB λ=uuu r uuu r ,AQ AC μ= ,所以11113333AG AB AC AP AQ λμ
=+=+ ,由于,,P G Q 三点共线,所以存在实数t 使得PG tPQ = ,所以()
AG AP t AQ AP -=- 化简为(1)AG t AP t AQ =-+ ,所以11133λμ
+=,所以113λμ+=为定值.【点睛】方法点睛:解决向量问题常用的方法有:
1.利用定义求解:定义法是解决相关问题的最基本的方法,对向量来说,知道了“模”和“夹角”,数量积就知道了;
2.利用基底求解:基底法就是指利用平面向量基本定理,将所求的两个向量转化到题中已知的两个不共线向量来求解;
3.利用坐标求解:就是建立适当的直角坐标系,将向量用坐标的形式表示出来,用函数与方程的思想求解,坐标法有时更能解决较为复杂的问题.
18.设复数1i z a b =+,2i z c d =+,其中R a b c d ∈、、、.现在复数系中定义一个新运算⊗,规定:()()12i z z ac bd ad bc ⊗=+++.
(1)已知()()2i i 2x -⊗+=,求实数x 的值;
(2)现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题:①1212z z z z ⊗=⊗;
②若120z z ⊗=,则10z =或20z =.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题,并说明理由.
【答案】(1)1x =或3
5
x =(2)①是真命题,②是假命题,理由见解析
【分析】(1)根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论;
(2)根据复数新定义设1i z a b =+,2i z c d =+,根据运算逐个求证即可.
【详解】(1)由定义,有()()2i i x -⊗+=()()212i 2
x x -+-=即()()22
2122x x -+-=,整理得,25830x x -+=,
∴1x =或35x =.(2)①设1i z a b =+,2i z c d =+,则()()()()12i i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⊗=+++=+-+,()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⊗=-⊗-=+-+,所以1212
z z z z ⊗=⊗∴①是真命题.
②设1i z a b =+,2i z c d =+,则()()12i=0z z ac bd ad bc ⊗=+++,
所以0,0ac bd ad bc +=+=,则1,1,1,1a b c d ==-==是其一组解,
故得不到10z =或20z =.
∴②是假命题.
19.如图,在正三棱柱111A B C ABC -中,D 为AB 的中点,()1101C E C C λλ=<< ,1323A A AB ==.
(1)若12
λ=,证明:DE ⊥平面11A B E ;(2)若直线1BC 与平面11A B E 所成角为
π3,求λ的值;【答案】(1)证明见解析(2)2
3
λ=【分析】(1)先证明11A B ⊥平面1DCC F ,得到11DE A B ⊥,再证明DE ⊥平面11A B E 即可;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法,根据线面角列方程即可得解.
【详解】(1)取11A B 的中点F ,连接EF ,DF ,D C ,1
FC
因为1CC ⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC ,所以1CC CD ⊥,同理11CC C F ⊥,又13CD C F ==,结合题设,可得6DE EF ==,易知123DF A A ==,
所以222DE EF DF +=,则DE EF ⊥.
因11111,A B C F A B DF ⊥⊥,11,,C F DF F C F DF =⊂ 平面1DCC F ,
所以11A B ⊥平面1DCC F ,
又DE ⊂平面1DCC F ,所以11DE A B ⊥,
因为11A B EF F ⋂=,11,A B EF ⊂平面11A B E ,
所以DE ⊥平面11A B E

(2)以D 为坐标原点,,,DB DC DF 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则()()()()
1111,0,23,1,0,0,0,3,23,1,0,23A B C B -设()()0,3,,0,23E a a ∈,则()
11,3,23A E a =- ,()()1112,0,0,1,3,23A B BC ==- 设平面11A B E 的法向量为(),,n x y z =r ,则111203(23)0
n A B x n A E x y a z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ,取23y a =-,则()0,23,3n a =- 设直线1BC 与平面11A B E 所成的角为θ,
则1121312||3sin cos ,244315
a n BC n BC n BC a a θ-+⋅====-+ 化简得2383120a a -+=,解得233
a =或23a =.当23a =时,点E 与点1C 重合,此时0λ=,不符合题意.所以1123
C E C C λ== ,即λ的值为23.20.已知函数()()()22121R f x m x mx m m =+-+-∈.
(1)若()()22121f x m x mx m =+-+-在[1,2]上是单调函数,求实数m 的取值范围;
(2)若1m ≤-,解关于x 的不等式()22f x m mx ≥+.
【答案】(1).][24(,,)37
-∞-⋃-+∞(2)答案见解析
【分析】(1)首先分210m +=和210m +≠两种情况讨论,由其当210m +≠时,利用二次函数的对称轴与区间[]1,2的关系,列式求实数m 的取值范围;
(2)首先不等式化简为()()1110m x x ++⋅-≥⎡⎤⎣⎦,再分2m <-,2m =-,21m -<<-,1m =-,四种情况求解不等式.
【详解】(1)当210m +=,即12m =-时122
y x =-,在[]1,2上是单调递增函数,符合题意;当210m +≠,即21m ≠-时,二次函数()22121y m x mx m =+-+-对称轴为()221m x m =+,要想函数在[]1,2上是单调函数,只需()1221m m ≤+①或()
2221m m ≥+②,解①得:23m ≤-或12
m >-,
解②得4172
m -
≤<-,∴2411(,,)(,)372[ 2
]m ∈-∞-⋃--⋃-+∞,综上:实数m 的取值范围是.][24(,,)37-∞-⋃-+∞(2)不等式()2221212m x mx m m mx +-+-≥+,
变形为()2110m x mx +--≥,()()1110m x x ++⋅-≥⎡⎤⎣⎦,
当1m =-时,10x -≥,解得:1x ≥,
当1m <-时,10+<m ,()()1110m x x ++⋅-=⎡⎤⎣⎦的两根为11m -
+和1,当2m <-时,111
m -<+,此时,解得:111x m -≤≤+,当2m =-时,原不等式即可化为()210x --≥,解得1x =,
当21m -<<-时,111m ->+,解得1x ≤≤11
m -+,综上所述:当2m <-时,原不等式的解集为1|11x x m ⎧⎫-≤≤⎨⎬+⎩⎭
,当2m =-时,原不等式的解集为{}|1x x =,
当21m -<<-时,原不等式的解集为1{|1}1x x m ≤≤-
+;当1m =-时,原不等式的解集为{}|1x x ≥.
21.已知函数()()2
log 11f x x a =--+的定义域为[)1,+∞.(1)求471y a a
=+--的最大值;(2)若0a >,求()1322
y a a =-的最大值.【答案】(1)4(2)9
16
【分析】(1)由题意求得1a <,变形()4471811y a a a a ⎡⎤=+-
=--++⎢⎥--⎣⎦,然后利用基本不等式求解即可;
(2)利用二次函数的性质或基本不等式求解即可.
【详解】(1)因为()f x 的定义域为[)1,+∞,即关于x 的不等式110x a --+>在[]1,+∞上恒成立,
所以min (11)a x <-+,
当1x =时,11x -+取得最小值1,则1a <,10a ->,所以()()4447182184111y a a a a a a ⎡⎤=+-=--++≤--⋅+=⎢⎥---⎣⎦
,当且仅当411a a -=
-,即1a =-时,等号成立,所以471y a a
=+-
-的最大值为4.(2)方法一:()2
213393222416y a a a a a ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭,因为01a <<,所以当34a =
时,y 有最大值为916
.方法二:由(1)知:320a ->且0a >,所以()()2
111232932232244216a a y a a a a +-⎛⎫=-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭,当且仅当232a a =-,即34a =
时,等号成立,所以()1322
y a a =-的最大值为916.22.某地有四家工厂,分别位于矩形ABCD 的四个顶点.已知20km AB =,10km BC =.为了处理这四家工厂的污水,当地政府打算在该矩形区域上(含边界)建造一个污水处理厂O ,并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂.记需要铺设管道的总长度为L (单位:km )
.现有以下两种建设方案.(1)第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部,并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通.求该方案下L 的最小值;
(2)第二种方案计划将污水处理厂O 建在对角线AC 、BD 的交点处,并在矩形区域内部选择两个关于O 对称的点P 、Q 作为管道的分叉点,试确定该方案下L 取得最小值时,分叉点P 、Q 的位置.
【答案】(1)205km (2)L 的最小值为20103+km ,此时点P 、点Q 位于过点O 平行于AB 且以点O 为中点53103
OP OQ ==-处
【分析】(1)根据两点之间线段最短可求得结果.
(2)运用余弦定理可求得2π3
AOB ∠>,根据对称性将问题转化为一动点到三定点距离和的最小值,分类讨论①当点P 、Q 分别在△AOB 、△COD 中与②当点P 、Q 分别在△AOD 、△BOC 中时L 的最小值即可(即:证明两种情况下的费马点).
【详解】(1)如图所示,
则OA OC OB OD AC BD +++≥+,
所以根据两点之间线段最短可知,污水厂O 建在AC 与BD 的交点处时铺设管道的总长度最短,又因为22222010105BD AC AB BC ==+=+=,所以min 205L AC BD =+=,
即:L 的最小值为205km.
(2)取AB 的中点H ,连接OE ,则OH AB ⊥,5OH =,10AH =,∴2255OB OA OH AH ==+=,
∴在△AOB 中由余弦定理得:222222(55)(55)2031cos 25225555
OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-<-⨯⨯⨯,又∵(0,π)AOB ∠∈,∴2π3AOB ∠>
,∴2π3
BOC ∠<,①当点P 、Q 分别在△AOB 、△COD 中时,如图所示,
由对称性可知,PO OQ =,DQ PB =,QC PA =,
所以2()L PO PA PB =++,
以点O 为中心,旋转△OPB 到△1
OPC ,连接1PP ,如图所示,
∴1OPB OPC ≅△△,1OP OP
=,∵2π3
AOB ∠>,∴11ππππ3POP AOP COP AOP BOP AOB ∠=-∠-∠=-∠-∠=-∠<
,∴1OP PP >,
∴11
PO PA PB PP PA PC AC OA OB ++>++≥=+,当且仅当点P 在点O 时取等号,∴当点P 、Q 分别在△AOB 、△COD 中时,不符合题意.②当点P 、Q 分别在△AOD 、△BOC 中时,如图所示,
由对称性可知,2()L PO PA PB =++,
作等边△BCE 、等边△BPF ,如图所示,
则BP BF PF ==,BC BE =,π3
PBC CBF ∠=
-∠,π3FBE CBF ∠=-∠,∴CPB EFB ≅△△,
∴PC EF =,∴PO PA PB PO PF EF OE ++=++≥,当且仅当O 、P 、F 、E 四点共线时取等号.∴2()2L PO PA PB OE =++≥,当且仅当O 、P 、F 、E 四点共线时取等号.当O 、P 、F 、E 四点共线时,OE 交BC 于点M ,如图所示,
∵OB OC
=∴OE 平分BOC ∠、CEB ∠,OE 垂直平分BC ,BC 平分PBF ∠,∴π6PBM ∠=,1102OM AB ==,又∵152
BM BC ==,∴在Rt PMB 中,533PM =
,在Rt EMB △中,222210553ME BE BM =-=-=,∴1053OE OM ME =+=+,53103OP OM PM =-=-,∴min 220103L OE ==+,1032203PQ OP ==-,综述:L 的最小值为20103+km ,此时点P 、点Q 位于过点O 平行于AB 且以点O 为中点53103OP OQ ==-处.。

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