高考数学 考前查缺补漏系列 热点03 压轴题目辩能力,如何解决高考中的压轴题问题？

压轴题目辩能力，如何解决高考中的压轴题问题？
髙考数学压轴题主要是从数学内容与思想方法的二维要素上考虑,由于压轴题既要体现区分度的功能,又要从学科整体高度和思维价值的高度考虑问题.因而,高考压轴题无论是选择题、填空题,还是解答题都是有规律可循的.本文就如何破解高考数学压轴试题给出解题方法和备考策略.
一、客观性压轴试题的解题方法与策略
从近几年的髙考数学试题中可以看出,对于客观题一般是选择题部分的最后一两道题和填空题部分的最后一道题.题目主要涉及函数与导数、解析几何、立体几何、数列、解三角形及新定义问题等内容.
1.以函数为主的压轴客观题
本类压轴题常包括函数与方程、函数的图像、分段函数、抽象函数等，达到考查函数性质的目的。

考查解决本类压轴题有效的方法一数形结合法进行探讨。

数形结合的解题方法具有直观性、灵活性、可靠性等特点,在客观性试题中特别要注意把"数”转化为"形"进行解题,即根据给出的"数"的结构特点，构造相应的几何图形，用"形"的直观性来解决"数"的抽象性问题.
[解析] 因()f x 为奇函数，故函数图
象关于（0,0）点对称，又满足
(2)()f x f x -=，函数图象关于直线
1x =对称，则()f x 为周期函数，其周期
为4.函数()cos 2x
g x π= 的周期也为4，
当[0,1]x ∈时，()f x =
画出两个函数的图象，在[1,3]-一个周期内，有两个不同的交点的横坐标为15,22
，故在整个 定义域内有111422(),22x k k k Z =+=⨯+∈25142(21)(),22
x k k k Z =+=⨯++∈ 集合{|()()}x f x g x =等于1{|2,}2
x x k k Z =+∈
2.以立体几何为主的压轴客观题
本类压轴题常见有组合体问题，与函数、轨迹问题相结合的题目。

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.
例3【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】
把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为
A ．
B ．10 cm
C ．
D ．30cm 【答案】 B
【解析】由题意球心在AP 上，球心为O ，过O 作BP 的垂线ON 垂足为N ，ON=R ，OM=R ， 因为各个棱都为20cm ，所以AM=10，BP=20,BM=10，
AB=,
设BPA α∠=，
在Rt ∆BPM 中，222B P B M P M =+,所以
，
1PM =在Rt ∆PAM 中, 222PM AM AP =+,
所以，PA =在Rt ∆ABP 中
, sin 202
AB BP α=== 在Rt ∆ONP 中, sin ON R OP OP α==,
所以，R OP =
OP = 在Rt ∆OAM 中, 222OM AO AM =+,
所以，22)100R =+,
解得，R=10或30（舍）
所以，R=10cm 故选B
例4【2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题】
已知正三棱柱'''ABC A B C -的正
（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现
将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转
所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .
说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角
.
侧（左）视图正（主）视图
本类压轴题常见有直线与曲线的位置关系、求曲线的轨迹、定值定点等问题.对曲线轨迹方程的考查，求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系. 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.
例6【2012海淀区高三年级第一学期期末试题】点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点
点A的距离相等的点的轨迹不可能
．．．是（）
（A）圆（B）椭圆
（C）双曲线的一支（D）直线
【答案】D
【解析】如图，A点为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，故AM=MP，此时M的轨迹为以A圆心,半径为AM的圆。

如图，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，在F1P截得
|MP|=|MA|，
11
,,
PF r MF PM MF MA F A
=∴+=+>
设
由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A
以
1
F A为焦距，以r为长轴的椭圆。

如图，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，
过P点延长使得|MP|=|MA|，则有
11
,,
MF PM r MF MA r FA
-=∴-=<
由双曲线的定义可知，M的轨迹是以F1、A为
焦点的双曲线的右支。

若M落在以A为端点在x轴上的射线上，也满足条件
，此时轨迹为一条射线，不是直线。

故答案为D。

4.以三角形与向量相结合的压轴客观题
本类压轴题包括解三角形、数量积运算以及相关的最值问题。

平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．
在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的
域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”
与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
F1 A
P
M
例7【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】
在△ABC 中，（3),AB AC CB -⊥则角A 的最大值为 。

【答案】6
π
例8【2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】
在ABC ∆中，O A BC AC ,5
1cos ,7,6===是ABC ∆的内心，若OP =xOA yOB +，其中10≤≤x ，10≤≤y ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为
A ．6310
B ．635
C ．310
D ．3
20
二、主观性压轴试题的解题方法与策略
1.圆锥曲线的解答题为压轴题
（1）圆锥曲线的考查重点
近几年高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参
数的取值范围等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等.
例9.【河北省石家庄市2012届高三第一次模拟考试数学】（理）
解：（Ⅰ）设动点(,)(2)M x y x ≠，则,22
MA MB y y k k x x ==+-.……………2分 11,,4224
MA MB y y k k x x =-∴⋅=-+- 即2
21(2)4
x y x +=≠±.……………………4分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(1)0y k x k =+≠，则联立方程组 22(1)44
y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得2222(14)8440k x k x k +++-=,
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2
12221228,1444.14k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
……………………6分
（文）在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(-2，0)、B(2，0)，M 是动点，且直线MA 与直线MB 的斜率之积为，设动点M 的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C 的方程；
(II)过定点T(-1,0)的动直线l 与曲线C 交于P,Q 两点，若
，证明：为定值.
解：（Ⅰ）设动点(,)(2)M x y x ≠，则,22
MA MB y y k k y x ==+-,……………2分 11,4224
MA MB y y k k x x =-∴⋅=-+-,
即2
214
x y += （2x ≠±）.…………………4分
例10 【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】
（理）在直角坐标系xOy 1的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上滑动，2CP PD =．记点P 的轨迹为曲线E ．
（I ）求曲线E 的方程；
（ II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，,OM OA OB =+当
点M 在曲线E 上时，求cos ,OA OB <>的值．
【命题分析】本题以向量为背景考查曲线方程，考查学生的计算能力和转化能力，求曲线方程的常见方法：(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法：若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.注意：
(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.第一问可通过向量相等列方程求解；第二问借助第一问的结论，借助直线和曲线的位置关系求解向量夹角.
由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，
即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2． …9分
【命题分析】本题以向量为背景考查曲线方程，考查学生的计算能力和转化能力，求曲线方程的常见方法：(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法：若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.注意：
(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.第一问可通过向量相等列方程求解；第二问借助第一问的结论，借助直线和曲线的位置关系求解.
解：（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )．
由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12
y ， …2分 由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，
∴(2＋1)2x 2＋(2＋1)2
2y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1． …5分
2.
函数与导数的解答题为压轴题
（1）可能出现的题型：
①求函数的单调区间、最值 + 不等式或含参数的函数单调区间、最值；②求函数的单调区间 + 线性规划；③函数的单调性 + 二项式定理+不等式；④函数的单调区间、最值 + 参数取值范围；⑤含三角函数的复合函数单调区间 + 最值；⑥ 函数 + 组合恒等式 + 不等式；⑦二次函数+含绝对值不等式 + 函数单调区间；⑧由高等数学改编问题（函数问题）。

（2）解决函数、不等式综合题的必备知识是：基本初等函数的定义域、值域、对应法则、图象及其它性质（单调性、奇偶性、周期性、最值）,不等式的基本性质。

（3）研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法要熟练掌握，尤其是：构造函数、建立方程、挖掘不等式关系，含参字母的分类讨论，比较法、分析法、综合法等。

（4）特别注意利用导数研究函数：利用导数求函数的单调区间；利用导数与函数单调性的关系求字母的取 值范围；利用导数研究函数的极值、最值；利用导数证明不等式.利用导数研究函数图象的交点.
例11【河南省郑州市2012届高三第二次质量预测数学（理）】 已知函数
，且图像在点处的切线斜率为1(e 为自然对数的
底数)
(I)求实数a 的值；
(II)设，求的单调区间； (III)当时，证明：.
n m >，即证ln ln ln ln n m n m m n
->-， 即11ln ln n m m n n m -->，ln ln 11
m m n n m n >--. ……10分，
因为1>>n m ，由⑵知，()()g m g n >n m
>. ……12分
(文)已知函数
. (I)当时，求在上的最大值和最小值 (II)若函数在[1, e]上为增函数，求正实数a 的取值范围.
例12 【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】 （理）已知221()ln ,02
f x x a x a =->. （I ）求函数f （x ）的最小值；
（ II ）（i ）设0,:()();t a f a t f a t <<+<-证明
（ii ）若12()()f x f x =，且12,x x ≠证明：122.x x a +>
【命题分析】本题考查函数的最值和不等式的证明，考查学生利用求导研究函数性质的解题能力和构造函数思想的应用。

第一问借助函数的单调性求函数的最值；第二问通过构造函数，证明函数的单调性分析得到函数值的大小；第三问利用第一问和第二问的结论解题。

【命题分析】本题考查函数的最值和不等式的证明，考查学生利用求导研究函数性质的解题能力和分类讨论思想的应用。

第一问借助函数的单调性求函数的最值；第二问通过构造函数，证明函数的单调性分析得到函数的最值达到证明不等式的目的.
解：（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )x ． …1分
当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；
当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．
当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2a 2－a 2ln a ． …5分
【最新模拟试题训练】
1.【2012年云南省第一次统一检测理科数学】
已知椭圆E 的长轴的两个端点分别为)0,5(1-A 、)0,5(2A ，点P 在椭圆E 上，如果25
14421-=⋅PA PA ，21PA A ∆的面积等于9，那么椭圆E 的方程是
【解析】根据已知设椭圆的方程为1252
2
2=+b y x >5()0>b .设),(y x P ，则
125222=+b
y x ，即2222525b y x -=.∵21PA A ∆的面积等于99=⋅y ，化简得59=y .∴228125b
x -=. ∵25
8181258125812525222221+-=+--=+-=⋅b b y x PA PA ， 2514421-=⋅PA PA ，∴25
1442581812-=+-b ，解方程得92=b .
∴所求椭圆的方程是19
252
2=+y x .故选（A ）.
2.【山西大学附中2011-2012学年第二学期高三月考】
如图，直线MN 与双曲线22
22:1x y C a b
-=的左右两支分别交于M 、N 两点，与双曲线C
的右准线相交于P 点，F 为右焦点，若||2||FN FM =，又
()NP PM R λλ=∈，则实数λ
的值为
A ．12
B ．1
C ．2
D ．1
3
3.【山西大学附中2011-2012学年第二学期高三月考】
函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。

如果定义域为R 的函
数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那
么实数a 的取值范围是
A.10<<a .
B. 22<<-a
C.11≤≤-a
D.22≤≤-a
答案：C
解析：当0x ≥时，22
()||f x x a a =--
222,((0,]()(0);()||(0)2,((,)
x x a f x a f x x a x a x a ⎧-∈⎪∴=≠==⎨-∈+∞⎪⎩ 据
()f x 是定义域在为R 上的奇函数画出图像若图所示
据图知：244a ≥11a ∴-≤≤.
4.【河北省衡水中学2012届高三下学期二调考试】已知函数
⎩
⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ， 把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和
n S ,则10S ＝( )
A ．1210-
B ．129-
C ．45
D ．55
5.【宁夏银川一中2012届高三第一次模拟考试】试题若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】若0PA PB PC ++=，则P 为△ABC 重心，设BC 中点为M ，则22,, 3.
3A B A C A M A P A M m +==∴= 6.【宁夏银川一中2012届高三第一次模拟考试】
函数)(x f y =的最小正周期为2，且)()(x f x f =-．当]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，
那么在区间]4,3[-上，函数)(x f y =的图像与函数|
|)21(x y =的图像的交点个数是
A. 8
B. 7
【答案】C
交点为6个。

7.【2012上海第二学学期七校联考】 椭圆22
143
x y +=上有n 个不同的点12n P P P 、、、()
*N n ∈，F 是右焦点，{}n P F 组成公差1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．99 B ．100 C ．199 D ．200
如图，建立直角坐标系，则113(1,0),(0,0),(,),(,0),(,22344
A B C D E
133(,),(,
64CD BE =--=
13131
(,(,)6244882
CD BE ⋅=--⋅=--=-
9．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考理科9)已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数,a b 满足23a =，32b =，则n 等于
A ．1-
B.2-
C ．1
D ．2
10.(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科12)已知函数()f x 对任意
∈x R 都有(6)()2(3)f x f x f ++=，(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且
4)4(=f ，则(2012)f =
A ．0
B ．4-
C ．8-
D ．16-
11.【2012年云南省第一次统一检测理科数学】
如果直线10ax by ++=被圆2
2
25x y +=截得的弦长等于8，那么2235
a b
+的最小值等于 ．
解:∵直线10ax by ++=被圆2
2
25x y +=截得的弦长等于8，
∴8=，化简得22
19a b +=. ∵
22
22222235135359()9()()9a b a b a b a b
+=⨯⨯+=⨯+⨯+
22
22359(8)9(872b a a b
=⨯++≥⨯+=+“=”能取到，
∴
2235a b
+
的最小值等于72+
()p q pnb mqa ma nb pm nq a b a b ⎛⎫++=+++
⎪⎝⎭
（此模型pm qm c +=（常数），而正数
pnb mqa a b 与相乘可消去变量a 与b ，且pnb mqa
a b
与
相等）.本题涉及到几何、代数模型，对形模与代数变形能力要求较高，这可能是学生不能得出正确答案的一个 重要原因.
12．【宁夏银川一中2012届高三第一次模拟考试】 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 . 【答案】16π
【解析】由三视图知该几何体为直三棱柱，底面为边长为3的正三角形，高为2，直观图如下：
在Rt △2OO A 中，求求得半径24,OA =故球的表面积为16π.
13.(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科16)如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则以1B 为顶点，以平面1ACD 被球O 所截
A B
C O O 2
O 1
A 1
B 1
C 1
得的圆为底面的圆锥的全面积为________.
14.【山西大学附中2011-2012学年第二学期高三月考】
已知定义域为0+∞（，）的函数)(x f 满足：①对任意),0(+∞∈x ，恒有)(2)2(x f x f =
成立；当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(。

给出如下结论：
①对任意Z m ∈，有0)2(=m f ；②函数)(x f 的值域为[0+∞，）；③存在Z n ∈，使
得9)12(=+n f ；④“函数)(x f 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”。

其中所有正确结论的序号是 。

15.【东北三省三校2012届高三第一次
联合模拟考试理科】
已知椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与
椭圆相交所得的弦长为2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l ：y=kx+m （0km ≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，若线段AB 中点在直线x+2y=0上，求∆FAB 的面积的最大值。

设22()(6)(u m m m =-(0m m <≠)，
'()2(2u m m m m ∴=-+由＝0得：
2
m =-
或m =或m =
当2m <<-
时，'()0u m >；当2
m -<<时，'()0u m <；
当m <<'()0u m >m '()0u m <
又3(,324
u u ==
所以当m =时，FAB ∆的面积取最大值
8
3
. ……12分
（Ⅱ）方法一：设交点11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，
则
易得
2
S =
.
--------------6分
当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =+（0≠k ），联立椭圆方程2
214
x y +=，得
方法二：设交点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，
则
易
得
S =
.
----------6分
16.【东北三省三校2012届高三第一次联合模拟考试理科】 已知函数()ln(1+x)f x =，23
11()23
g x a bx x x =+-
+，函数()y f x =与函数()y g x =的图像在交点（0,0）处有公共切线
（1）求a 、b ；
（2）证明：()()f x g x ≤
（3）对任意的1212(1,),()x x x x ∈-+∞<、，当12(,)x x x ∈时，证明：
1212
()()()()
f x f x f x f x x x x x -->
-- 解： (Ⅰ) x
x f +=
'11)(，2
)(x x b x g +-='， 由题意⎩
⎨
⎧'='=),0()0(,
0)0(g f f 解得0=a ，1=b ． ……4分
（Ⅱ）令x x x x x g x f x h -+-
+=-=2
32
131)1ln()()()( )1(->x
111)(2
　x x x x h -+-+='1
3+-=x x ． ……5分
)0,1()(-在x h 为增函数，在)0(∞+，
为减函数． ……6分 0)0()(max ==h x h ，0)0()(=≤h x h ，即)((x g x f ≤）
． ……8分
【东北三省三校2012届高三第一次联合模拟考试文科】
已知函数1
()(2)ln x+
2()f x a ax a R x
=-+∈， （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，求()f x 的单调区间；
（3）对任意的12(3,2),[13],a x x ∈--∈及、，恒有12ln3)2ln3|()()|m a f x f x +->-（成立，求m 的取值范围。

解：（Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞. -------------1分
当0a =时，1()2ln f x x x =+
，222121
()x f x x x x -'=-=. 令()0f x '=，解得1
2
x =
当1
02
x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '> .
()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上递增
所以12=x 时，()f x 有极小值为1
()22ln 22
f =-，无极大值
---------------3分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[]1,3单调递减.
当1x =时，()f x 取最大值；当3x =时，()f x 取最小值.
所以121()()(1)(3)(12)(2)ln 363f x f x f f a a a ⎡
⎤-≤-=+--+
+⎢⎥⎣
⎦
2
4(2)ln 33
a a =
-+-.
因为12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-恒成立， 所以2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m a a a +->
-+-，整理得2
43
ma a >-. ---------------10分
又0a < 所以243m a <
-， 又因为32a -<<- ，得122339
a -<<-， 所以13238
4339
a -
<-<-所以133m ≤- .
---------------12分
3
=
，解方程得a =
.
∴双曲线S 的方程为2222x y -=.
（Ⅱ）经过点(20)-，，斜率等于k 的直线的方程为(2)y k x =+.
根据已知设11(,2)A x kx k +，22(,2)B x kx k +
则AB 的中点为1212()4(,)22
x x k x x k M +++. ABP ∆是以AB 为底的等腰三角形⇔PM AB ⊥.
综上得k =0k =，或k =.
答题分析：1.第（Ⅰ）问考查方程的思想方法，即列出关于a 、b 、c
的三元方程组22223c a b c a
⎧⎪⎪=⎪⎪=-⎨=，接下来的任务就是解方程组，可惜的是很多考生没能得出正确答案，学生的运算求解能力有待提高
.
18.【2012年云南省第一次统一检测理科数学】（文）
已知实数a 是常数，2()()7ln 1f x x a x =+-+. 当1x >时，()f x 是增函数.
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设n 是正整数，证明：
22111111)1)ln(1)722n n n ⨯+++++++>+（（． 解：
（Ⅰ）∵2()()7ln 1f x x a x =+-+，∴7()22f x x a x
'=+-. ∵当1x >时，()f x 是增函数，
∴7()220f x x a x
'=+-≥在1x >时恒成立.
即72a x x
≥
-在1x >时恒成立. ∵当1x >时，72x x
-是减函数， ∴当1x >时，7522
x x -<. ∴52a ≥.
答题分析：1.一些考生把()f x '求错了，考生的求导运算有待加强，因为求导几乎是高考的必考题.
2. 第（Ⅰ）问实际上是一个含参不等式7()220f x x a x
'=+-
≥在1x >时恒成立的问题，常用分离参数、函数最值的方法加以解决.
3.第（Ⅱ）问难度较大，能做出来的考生寥寥无几.本问能较好地将高水平的学生筛选出来.
可以如下思考：要证关于n 的不等式恒成立，并且右边还有对数ln(1)n +，似乎无法下手.注意观察不等式的左边，分母上有一个7，两边乘以7后，右边变为7ln(1)n +.而条件2()()7ln 1f x x a x =+-+中，也有7ln x ，于是考虑借助第（Ⅰ）问来搭台阶.
（I ）求点P 与双曲线S 上的点的距离的最小值；
（II ）设直线)2(+=x k y 与双曲线S 交于A 、B 两点，且ABP ∆是以AB 为底的等腰三角形，求常数k 的值.
解：（Ⅰ）根据已知设双曲线S 的方程为122
22=-b
y a x 0(>a ，)0>b . ∵2
6==a c e ，∴a c 26=，22222a a c b =-=. ∴双曲线S 的方程可化为2222a y x =-，左焦点为)0,2
6(a -. ∵直线l 经过点)1,0(P ，倾斜角等于6
5π，
∴直线l 的方程为0333=-+y x .
∵直线l 上的点与双曲线S 的左焦点的距离的最小值等于3， ∴3123)2
6(3=--
⨯a ，解得2=a .
∴双曲线S 的方程为2222=-y x . ∵212124)(x x k x x k k PM +-++=， ∴124)(2
121-=+-++⨯x x k x x k k . 由⎩⎨⎧+==-)
2(2222x k y y x ，得0288)21(2222=----k x k x k . 根据已知得24222120644(12)(82)1680
k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩. ∴2
2±≠k . ∵22
21218k
k x x -=+，
∴212124)(x x k x x k k PM +-++=224122k
k k -+=. ∴141224122222-=-+=-+⨯=⨯k k k k
k k k k k PM ，即01622=-+k k ， 解方程得21131--=
k ，21132+-=k . 综上得2113--=k ，或0=k ，或2
113+-=k .
20.【2012年云南省第一次统一检测理科数学】（理）已知实数a 是常数，()2()()3l n 15f x x a x =+-+-.
当0x >时，()f x 是增函数. （I ）求a 的取值范围；
（II ）设数列2113n
n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，比较ln(1)n +与n S 的大小． 解：（I ）∵51ln 3)()(2-+-+=）（x a x x f ，∴1
3)(2)(+-+='x a x x f . ∵当0>x 时，)(x f 是增函数， ∴01
3)(2)(≥+-+='x a x x f 在0>x 时恒成立.
即x x a -+≥)
1(23在0>x 时恒成立. ∵当0>x 时，x x -+)
1(23是减函数， ∴当0>x 时，
23)1(23<-+x x . ∴2
3≥a .
答题分析：1.一些考生把()f x '求错了，考生的求导能力有待加强，因为求导几乎是高考的必考题.
2. 第（Ⅰ）问本质上是一个含参不等式01
3)(2)(≥+-
+='x a x x f 在0>x 时恒成立的问题，常用分离参数、函数最值的方法加以解决.
3.第（Ⅱ）问难度较大，能做出来的考生寥寥无几.本问能较好地将高水平的学生筛选
出来. 一些考生设法想去求出数列2113n
n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，这既不可能，也没必要.目标应该是n S 与ln(1)n +的大小，而不是要求出n S .
21.【山西大学附中2011-2012学年第二学期高三月考】
如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x
左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和
C D 、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，
证明12·1k k =；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得
·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
22.【山西大学附中2011-2012学年第二学期高三月考】 已知函数)1ln(21
)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈.
（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. （Ⅰ）解：(1)
(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 1
3a =. 经检验，1
3a =时，符合题意. ……4分
（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1x
f x x '=+.
故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21
1x a
=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：
)
所以，()f x 的单调增区间是(0,
1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a
-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a
-，
由1(1)(0)0f f a
->=，知不合题意. 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，
可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.
所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………12分
23.【宁夏银川一中2012届高三第一次模拟考试】
如图椭圆13
4:2
2=+y x C 的右顶点是A ，上下两个顶点分别为D B ,，四边形OANB 是
矩形（O 为原点），点M E ,分别为线段AN OA ,的中点．
（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点 在椭圆C 上；
（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，K 为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,不共线），
问：直线KS 是否经过x 轴上一定点，如果是， 求这个定点的坐标，如果不是，说明理由．
解
：
（
1
）
由
题
意
，
得
)2
3
,
2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -， 所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为34
3
+-=x y ，------2分
由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=343
33x y x y ，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==53358y x ，
所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)5
3
3,
58(，---------------4分
因为13)
533(4)58(22=+，所以点)5
33,58(在椭圆134:
22=+y x C 上．---------6分
24.【宁夏银川一中2012届高三第一次模拟考试】 设函数a ae x x f x -++=-)1ln()(，R a ∈． （Ⅰ）当1=a 时，证明)(x f 在),0(+∞是增函数； （Ⅱ）若),0[+∞∈x ，0)(≥x f ，求a 的取值范围．
解：（1）)
1()
1(11)('
x e x a e e a x x f x
x x ++-=-+=， 当1=a 时, )
1()
1()('
x e x e x f x
x ++-=, ---------2分 令x e x g x --=1)(，则1)('-=x
e x g ，
当),0(+∞∈x 时，01)('>-=x e x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数， 因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ， 则)(x f 在),0(+∞是增函数. ---------6分。