一阶电路

vC (t ) = V0 e
−
t RC
t≥0 t≥0
iL (t ) = I 0e
−
R t L
分别为两个电路的初始条件， 式中 V0和 I0分别为两个电路的初始条件，V0和 I0还分 RC电路和RL电路的初始状态 电路和RL电路的初始状态。 别称为 RC电路和RL电路的初始状态。
§ 7-4 一阶电路的零状态响应
S(t＝0) 3 kΩ + 15 V 6 kΩ i C µF 5 i C
－ 6 uC ( ∞ ) = ×15 = 10V 3+ 6 3× 6 τ = RC = ×103 × 5 ×10 −6 = 10 ×10 −3 s 3+ 6
+ u C －
则：
uC (t ) = 10(1 − e −100t )V duC iC (t ) = C = 5e −100t mΑ dt uC (t ) 5 iC (t ) = = (1 − e −100t )mΑ 6 3
这个微分方程的解（ 的表达式） 这个微分方程的解（即vC的表达式）代表了电容 器电压的变化过程。 器电压的变化过程 。 将微分方程的解看成是两个分 的合成， 量vCh和vCp的合成，即 t≥0 vC=vCh+vCp t≥0 式中v 式中vCh也是齐次微分方程
dvCh RC + vCh = 0 dt
的通解，称为齐次解。方程所描述的是相当于电路中独立电 的通解， 称为齐次解。 源不存在的状态，称为自由状态； 的情况下， 源不存在的状态 ， 称为自由状态 ； 在 R ＞ 0 的情况下 ， 它又称 为瞬态或暂态。齐次微分方程( 39) 为瞬态或暂态。齐次微分方程(5.39)的通解是
vCh = ke
st
解：换路前电容相当于开路，则有： 换路前电容相当于开路，则有：
6 u（0 −） 90 × = = 60V C 6+3
根据换路定理有： 根据换路定理有：
+ 90V 3kΩ S（t=0）
4kΩ 6kΩ
+ uC 10μF
u（0 +） u（0 −） 60V = C = C
时间常数为： 时间常数为：
-
-
τ = RC = 4 + 6） 103 ×10 ×10 −6 = 0.1s （ ×
d a0 ( y1 (t ) + y2 (t )) + a1 ( y1 (t ) + y2 (t )) = w1 (t ) + w2 (t ) dt
§ 7-5
线性动态电路的叠加原理
综合以上两节所述， 综合以上两节所述，线性一阶电路的 叠加原理包含下述三点内容： 叠加原理包含下述三点内容： 全响应=零输入响应+ （1）全响应=零输入响应+零状态 响应； 响应； 零输入响应线性； （2） 零输入响应线性； 零状态响应线性。 （3） 零状态响应线性。
u R (t ) = RiL = U (1 − e τ )
iL uR ，L u U uR
−
t
U R
uL 0 t 0 t
(a)
(b)
对于一阶线性定常电路来说，零状态响应是 对于一阶线性定常电路来说， 输入的线性函数。 输入的线性函数。
dy (t ) a0 + a1 y (t ) = w(t ) dt
RL电路的零状态响应 二、 RL电路的零状态响应
如图， 闭合后，根据KVL KVL， 如图，S闭合后，根据KVL，有：
＋ S(t＝0) + R uR － iL + L uL －
diL iL R + L =U dt
这也是一个常系数一阶线性 非齐次微分方程，同样可求得。 非齐次微分方程，同样可求得。 电感电流的零状态响应为： 电感电流的零状态响应为：
vC(∞)= vCp = E 表明电路已达到直流稳态。 表明电路已达到直流稳态。 至此，已有v )=0 两个条件， 至此，已有vC(0)=0和vCp = E两个条件，可以用来求出 积分常数k 代入式( 41) 积分常数k。将vCp = E代入式(5.41)，得
vC = E + ke
−
t RC
以t=0和vC(0)=0代入，有 )=0代入， t=0 0 = E + k 可得 k = -E 于是，RC电路的零状态响应为 于是，RC电路的零状态响应为
零状态响应：在所有储能元件的储能为零的情况下， 零状态响应：在所有储能元件的储能为零的情况下，仅 由外加电源输入引起的响应。 由外加电源输入引起的响应。
RC电路的零状态响应 一、RC电路的零状态响应
t=0 时开关S合上，电路方程为： 时开关S合上，电路方程为：
S
uC = U
由于
U
t UC（t） 0
τ
0.368 U0
2τ
3τ
4τ
5τ
…
∞
U0
0.135U0
0.05U0
0.018U0
0.007U0
…
0
uC Uo
τ1＜τ2＜τ3
0.368Uo 0
τ1 τ2
τ3
t
过渡过程基本结束， 当 t=5τ 时，过渡过程基本结束，uC为0。 τ 。
如图所示电路原已稳定，试求开关S 例1：如图所示电路原已稳定，试求开关S断开后 的电容电压uC。
第七章 一阶电路
在实际工作中， 在实际工作中，常遇到只含一个 动态元件的线性定常电路，这种电路 动态元件的线性定常电路， 是用线性、 是用线性、常系数一阶常微分方程来 描述。 描述。
7－1 分解方法在动态电路分析中的运用 － 7－3 一阶电路的零输入响应 － 7－4 一阶电路的零状态响应 － 7－5 线性动态电路的叠加原理 － 7－6 分解方法和叠加方法的综合运用 － 分解方法和叠加方法的综合运用----- 三要 素方法 7－7 阶跃响应和分段常量信号响应 － 7－8 冲激响应 － 7－9 卷积积分 － 7－10 瞬态和稳态 正弦稳态的概念 － 7－11 子区间分析 方波激励的过渡过程和稳态 －
uC U
i U U R
uR
uR i
0
t
0
t
(a)
(b)
例2. 如图所示电路，t=0时开关S闭合。已知uC(0_)=0， 如图所示电路， =0时开关S闭合。 (0_)=0， 时开关 ≥0时的 求t≥0时的uC(t)、iC(t)和i(t)。 。
(0_)=0， 解： 因为uC(0_)=0，故换路后电路 属于零状态响应。因为电路稳定后， 属于零状态响应。因为电路稳定后， 电容相当于开路， 电容相当于开路，有：
＋ US －
1 R0 2 L
S(t＝0) iL R
diL L + RiL = 0 dt
这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程， 这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，同样可求 电感电流的零输入响应为： 得。电感电流的零输入响应为：
iL (t ) = i（0 +）e L
R − t L
= i（0 +）e L
uC (t ) = U o e
式中： 式中： 电路的电流为： 电路的电流为：
−
t
τ
τ = RC 为电路的时间常数，单位为：秒 为电路的时间常数，单位为：
duC U o −τ i (t ) = −C = e dt R
τ
电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)随时间变化的曲 线如图所示，它们都是同样按指数规律衰减的。 线如图所示，它们都是同样按指数规律衰减的。
uC （uR） U0 0.368U0
0
i
U0/R 0.368U0/R
τ
(a )
t
0
τ
(b )
t
时间常数τ的大小反映了电路过渡过程的快慢 时间常数 的大小反映了电路过渡过程的快慢 的意义。 现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。将 t=τ、2τ、3τ、…等不同时间的响应uC值列于下表中。 等不同时间的响应 值列于下表中。
− U U −τ U iL (t ) = − e = (1 − e τ ) R R R t t
U －
L 式中： 式中： τ = R
为电路的时间常数，单位为： 为电路的时间常数，单位为：秒
电感电压 uL(t) 和电阻电压 uR(t) 分别为： 分别为 ：
− diL u L (t ) = L = Ue τ dt t
§7-1 分解方法在动态电路分析中的运用
一阶电路可以看成由两个单口网络组成， 一阶电路可以看成由两个单口网络组成，其一含 所有的电源及电阻元件， 所有的电源及电阻元件 ， 另一则含有一个动态元件 。
dvC i=C dt
dvC RC + vC = E dt
t≥0 t≥0
这是一个具有常系数的一阶线性非齐次微分 方程。 方程。
τ
L τ= R
u 、i Io RIo uR 0 uL iL
t
－RIo
对于一阶线性定常电路来说，零输入响应可以看作是在 对于一阶线性定常电路来说， ≤t＜ 区间内定义的一个波形， 0≤t＜∞区间内定义的一个波形，它是初始状态的一个线性 函数。即零输入响应是初始状态的线性函数。 函数。即零输入响应是初始状态的线性函数。 从前面的分析可知，零输入响应是在电路输入为零时， 从前面的分析可知，零输入响应是在电路输入为零时，仅 由初始状态引起的响应， 由初始状态引起的响应，它取决于电路的初始状态和电路的 元件参数和拓扑结构，对于线性定常的一阶RC电路和RL电路 元件参数和拓扑结构， 对于线性定常的一阶RC电路和RL电路 RC电路和RL 来说， 来说，它们的零输入响应分别为
式中， 式中，
s=−
1 RC
vCh = ke
t − RC
st
k是任意常数，得到 是任意常数，
vC = ke
vCp是非齐次微分方程
+ vCp
dvCp dt
t≥0
RC
+ vCp = E
的任意一个特解。方程等式右边的函数称为强制函数。 的任意一个特解。方程等式右边的函数称为强制函数。该方 程所描述的电路状态称为强制状态，而特解v 称为v 程所描述的电路状态称为强制状态，而特解vCp称为vC的强制 分量，它与强制函数或输入波形有关。 分量，它与强制函数或输入波形有关。若电路中的独立电源 是周期函数或常量，则此时的强制状态称为稳定状态， 是周期函数或常量，则此时的强制状态称为稳定状态，或简 称稳态；相应地称强制分量为稳态分量或稳态响应。 称稳态；相应地称强制分量为稳态分量或稳态响应。
vC = vCp + vCh = E − Ee
t − RC
t≥0
§7-3
一阶电路的零输入响应
零输入响应： 零输入响应： 在无外加电源输入的条件下，由非零初始态（ 在无外加电源输入的条件下，由非零初始态（储能元件 的储能）引起的响应，称为零输入响应。 的储能）引起的响应，称为零输入响应。 RC电路的零输入响应 一、RC电路的零输入响应 接通后， 当K与“2”接通后，电路方程为： 接通后 电路方程为：
为电路的时间常数，单位为： 为电路的时间常数，单位为：秒
−
t
−
t
τ = RC
充电电流 i(t)和电阻电压uR(t)为
duC U i (t ) = C = e dt R u R (t ) = Ri = Ue
− t
−
t
τ
τ
随时间变化的曲线如图所示。 电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)随时间变化的曲线如图所示。
−
t
τ
电阻和电感上的电压分别为： 电阻和电感上的电压分别为：
u R (t ) = RiL = Ri（0 +）e L
−
t
τ
− t
diL u L (t ) = L = − Ri（0 +）e L dt
式中： 式中： 为电路 的时间常数，单位为： 的时间常数，单位为：秒 RL电路零输入响应 RL电路零输入响应 曲线如图所示。 曲线如图所示。
所以电容电压为： 所以电容电压为：
t
u（t） 60e = C
−
τ
= 60e −10tV
RL电路的零输入响应 二、 RL电路的零输入响应
如图所示，根据KVL可得： 如图所示，根据KVL可得： KVL可得
u L + RiL = 0
而电感元件的电压、电流关系为： 而电感元件的电压、电流关系为： diL 代入上式，可得： 代入上式，可得： uL = L dt
C
uC
duC i=C dt
可得： 可得：
du C RC + uC = U dt
这是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。 这是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。可得该方 程的解，也就是该电路的零状态响应为： 程的解，也就是该电路的零状态响应为：
u C = U − Ue
式中： 式中：
−
t
τ
= U（ − e τ ） u（∞） 1 − e τ ） 1 = C （
iCR +UC = 0
由于 1 +
t=0 K 2
iC R C
du C i = C dt
U
-
uC
可得： 可得：
du C RC + uC = 0 dt
这是一个常系数一阶线性齐次微分方程。 这是一个常系数一阶线性齐次微分方程。可得该方程 的解，也就是该电路的零输入响应为： 的解，也就是该电路的零输入响应为：