二次函数解析式的求法

二次函数解析式的求法

一﹑已知三点，求解析式，一般情况下用它的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)较方便。

例1 已知二次函数图像过(-1，-9），(1，-3）和(3，-5）三点，求其解析式。

解设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c

由题意得-9=a-b+c a=-1

-3=a+b+c 解之得b=3 -5=9a+3b+c c=-5 ∴所求二次函数解析式为：y=-x2+3x-5

二﹑已知定点坐标﹑对称轴﹑最大值或最小值，求解析式，一般用它的定点式y=a(x-h)2+k求较方便。

例2已知二次函数的图像定点为(1,1)且过(-1,-7)点，求其解析式。

解设二次函数解析式为：y=a(x-h)2+k

由于图像的定点坐标为(1,1),得y=a(-1-1)2+1.又

图像过(-1,-7 )点，则-7=a (-1-1)2+1 解之得

a=-2

∴ y=-2(x-1)2+1 即y=-2x2+4x-1

三﹑已知图像与x轴两交点坐标，可用y=a(x-x1)(x-x2)的形式求。

例3 二次函数的图像与x轴两交点的横坐标是1和2，与

y轴交点的纵坐标是-4，求其解析式。

解设二次函数解析式为：y=a(x-x1)(x-x2)。

已知ｘ１＝１，ｘ２＝２，

∴ｙ＝ａ(x-1)(x-2)

又图像过(0，-4)点，

∴-4=a(0-1)(0-2),

解之得：a=-2.

∴所求二次函数解析式为y=-2x2+6x-4.

四﹑由已知图像的平移求解析式。

例5把二次函数y=0.5x2+3x+2.5的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析

式。

解y=0.5x2+3x+0.5=0.5(x+3)2-2,

向右平移2个单位得：y=0.5(x+3-2)2-2,

再向上平移3个单位得：y=0.5(x+1)2-2+3，

即y=0.5(x+1)2+1=0.5x2+x+1.5

此即所求二次函数解析式。

说明解此类题，一般是先把已知图像的解析式写成

y=a(x-h)2+k的形式，若图像左(右)移动几个单位，h的

值就加(减)几个单位；若图像上(下)平移几个单位，则k

的值就加(减)几个单位。

五﹑二次函数图像绕顶点旋转1800或沿x轴翻折，求其解析

式。

例6二次函数y=-2x2+4x+5的图像绕顶点旋转1800，求所得二次函数解析式。

解y=-2(x-1)2+7.

旋转1800后所得二次函数解析式为：

y=2(x-1)2+7, 即y=2x2-4x+9.

说明解此类题，，一般是先把已知图像的解析式化成

y=a(x-h)2+k的形式。绕顶点旋转1800后，旋转前后图

像的顶点不变，开口方向相反，故二次项的系数互为

相反数。

例7例7 二次函数y=x2+6x+7的图像沿x轴翻折，求所得二次函数解析式。

解y=x2+6x+7=(x+3)2-2

.沿x轴翻折后二次函数解析式为：

y=-(x+3)2+2= -x2-6x-7

说明解此类题，，一般是先把已知图像的解析式化

成y=a(x-h)2+k的形式，图像沿x轴翻折，翻折前后

图像的开口方向相反，二次项的系数互为数，顶点坐

标关于x轴对称。

六﹑二次函数图像与x轴两交点间的距离d，求解析式，可用y= a(x-x0)﹝x-( x0+d )﹞的形式。

例8 二次函数图像与x轴两交点间的距离是2，且过(2，1)，

(-1,-8)两点，求其解析式。

解设二次函数解析式为y= a(x-x0)﹝x-( x0+d )﹞由已知d=2

∴y= a(x-x0)﹝x-( x0+2 )﹞.

由题得

1= a(2-x0)﹝2-( x0+2 )﹞，

-8= a(-1-x0)﹝-1-( x0+2 )﹞。

解之得a=-1或a=-9／5

. x0=1 x0=1／3

∴所求二次函数的解析式有两个：

Y1= -(x-1)(x-3)=- x2+6x-3，或

Y2= -9／5 (x-1／3)(x-7／3)= -9／5 x2+24／5x-7／5