第三章 连续型随机变量

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第三章 连续型随机变量

教学目的

1．使学员掌握一、二维分布函数的定义及性质

2．使学员熟练掌握一维连续型分布函数与密度函数的关系，熟悉均匀分布，指数分布，

-Γ分布的密度。

3．使学员熟记正态密度及其性质，牢固掌握正态分布表的查法。

4．使学员掌握二维连续型随机变量联合分布（密度）与边际分布（密度）的概念及计算，了解条件分布的概念。

5．使学员牢固掌握连续型随机变量独立性的概念及判别。

6．使学员掌握一、二维连续型随机变量函数的分布，熟记2χ，t ，F 分布的构造性定理（了解其推导）

7．使学员牢固掌握连续型随机变量期望、方差的定义、性质，熟记正态分布的期望、方差、均方差，掌握随机变量协方差（含协方差阵）相关系数，矩概念，了解条件期望的概念。

8．掌握一维随机变量特征函数的定义及性质，熟记单点分布，二项分布、正态分布的特征函数，了解有关结论的推导，了解逆转公式，理解唯一性定理的含义。

§3.1 随机变量及分布函数

定义3.1 设（P F ,,Ω）是一个概率空间，对于()ωξω,Ω∈是一个取实值的单值函数，对任意的1B ∈B ，有{()B ∈ωξω:}F ∈，则称()ωξ为（F ,Ω）上的一个（实）随机变量。

上面的1B 表1

R 上的Borel -σ域

由1B 的构成可见{()x ,:∞-∈ξω}}{x ξ∆

=是一个事件，这个事件的概率是研究()ωξ的统计规律的基础，这个概率显然与x 有关，是x 的函数，我们称它为()ωξ的分布函数。

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定义 3.1' （P F ,,Ω）是一概率空间，ξ为定义在（F ,Ω）上的随机变量，我们称()()x P x F ξ= 1R x ∈ （3.1） 是随机变量()ωξ的概率分布函数,简称分布函数或分布用f d .简记。 由概率测度的性质易推出，分布函数具有如下基本性质

定理3.1 变量()x F 是ξ..v r 的f d .，则有

（1）对任意实数21x x ，有()()21x F x F ≤，（单调不减性） （3.2） （2）()(),0lim ==∞--∞

→∆x F F x （3.3）()()1lim ==∞++∞

→∆

x F F x （3.3）

（3）对一切1

R x ∈，()()x F x F =-0（左连续性） (3.4) 证：（1）由()()21x x ξξ⊂可得

（2）由分布函数的定义有()10≤≤x F ，由（1）()x F 又是单调函数，故有

()()m F x F m x -∞

→-∞

→=lim lim ，()()n F x F n x +∞

→+∞

→=lim lim （n m ,为整数）

由概率的可列可加性有

1={}()⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+≤=+∞∞-∑∞-∞=k k k P P 1 ξξ

=

()∑∞

-∞

=+≤k k k P 1 ξ

=()()()[]∑∑=+∞

→-∞→=+∞

→-∞→-+=+≤n

m

k n m n m

k n m k F k F k k P 1lim 1lim

ξ

=()()m F n F m n -∞

→+∞

→-lim lim

所以必有()()0lim lim ==-∞

→-∞

→x F m F x m

()()1lim lim ==+∞

→+∞

→x F n F m m

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（3）因()x F 单调有界，所以对任一实数点x ，()x F 的左极限存在，且

()()()n n n x

x x F x F x F n ∞

→→==-lim lim 0

其中()∞→→n x x x x n 21 又因为()()∑∞

=+≤=≤1

11k k k

x x

x x ξξ

由概率的可列可加性

()()∑∞

=+≤=≤1

11k k k x x P x x P ξξ

由上述消去()1x F 得()()()0lim -==∞

→x F x F x F n n

反过来，也能证明，满足上述（1）——（3）的函数是一个概率分布函数。

由上述可知，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理。易验，对任意

1B ∈B ()B P ∈ξ可用ξ的f d .表示出来。

由() ∞

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=

≤11n n x x ξξ及概率的连续性得 {}()01lim 1lim +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=≤∞→∞→x F n x F n x P x P n n ξξ （3.5）

()()01+-=x F x F ξ （3.6） ()()x F x F -=≥1ξ （3.7） ()()()x F x F x F -+==0ξ （3.8） ()()()01221+-=x F x F x x F ξ （3.9） 可见分布函数()x F 全面描述了随机变量的统计规律，对于离散型随机变量来说，其分布列和分布函数是一一对应可互推的，但在离散型场合，我们用分布列更方便。

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例3.1 将三个可辨的质点随机投入三个格子（假定每个格子装任意多质点）以ξ表空格数，求ξ的分布列及分布函数。并求()23 ξ-P 。

解：显然ξ的的可能取值为0，1，2，……

()92

3!303===ξP ，()32313

231213=⨯⨯==C C C P ξ ()91

3

231

3===C P ξ

即

其分布函数为

()()⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧==1

98920x P x F ξ 221100 x x x x ≤≤≤ ()()()9

8

09803223=-=

+--=-F F P ξ 可见离散型分布函数是一个阶梯函数，它在ξ..v r 的每一个可能取值点k a 处有 跃度

()k k a P P ==∆

ξ

例3.2 若()1==a P ξ

()⎩⎨⎧=10x F a x a

x ≤ ()x F

正好是示性函数()a x I -

例3.3 Poisson 分布的分布函数。