2016-2017年四川省成都市新津中学高二(下)5月月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年四川省成都市新津中学高二（下）5月月考数学
试卷（文科）
一、选择题
1．（5分）点M的柱坐标为（4，，4），则它的直角坐标为（）
A．（﹣6，，4）B．（2，，4）C．（﹣6，﹣，4）D．（﹣6，，﹣4）
2．（5分）i为虚数单位，则（）2011＝（）
A．﹣i B．﹣1C．i D．1
3．（5分）已知函数f（x）＝2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10B．﹣10C．﹣20D．20
4．（5分）y＝4cos x﹣e|x|图象可能是（）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知数列{a n}满足：点（n，a n）（n∈N*）都在曲线y＝log2x的图象上，则a2+a4+a8+a16＝（）
A．．9B．10C．20D．30
6．（5分）f（x）＝x3+ax+在（，+∞）是增函数，求a取值范围（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[，+∞）D．（，+∞）7．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．R
C．[0，2）D．（﹣∞，0）
8．（5分）f（n）＝+…则（）
A．f（n）中有n项，且f（2）＝+
B．f（n）中有n+1项，且f（2）＝++
C．f（n）中有n2+n+1项，且f（2）＝++
D．f（n）中有n2﹣n+1项，且f（2）＝++
9．（5分）已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A．20πB．16πC．8πD．17π
10．（5分）y＝2sin（）﹣+在x∈R上有零点，记作x1，x2，…x n，求x1+x2+…
+x n＝（）
A．16B．12C．20D．﹣32
11．（5分）定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）
A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）
C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）
12．（5分）若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）二、填空题
13．（5分）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k＝．
14．（5分）已知Z是复数，|Z﹣2+i|＝，则|z|的取值范围．
15．（5分）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ＝0为直角坐标方程为．
16．（5分）已知函数f（x）＝[x3+（a﹣1）x2﹣ax+a]e x，若x＝0是f（x）的一个极大值点，则实数a的取值范围为．
三、计算题
17．（10分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；
（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a＞b的概率．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，顶点A1在底面ABC内的射影恰好是AB的中点O，且AB＝BC＝2．OA1＝2，
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）求直线A1C与平面ABC所成的角的余弦值．
19．（12分）已知函数，其中k∈R且k≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当k＝1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）{a n}数列的前n项和S n符合S n＝k（2n﹣1）且a3＝8，
（1）求{a n}通项公式；
（2）求{na n}的前n项和T n．
21．（12分）已知椭圆方程为：+＝1（a＞b＞0）过点P（0，1），且离心率e＝．（1）求椭圆方程；
（2）过原点的直线交椭圆于B，C两点，A（1，），求△ABC面积最大值．
22．（12分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆（θ是参数）相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
2016-2017学年四川省成都市新津中学高二（下）5月月
考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）点M的柱坐标为（4，，4），则它的直角坐标为（）
A．（﹣6，，4）B．（2，，4）C．（﹣6，﹣，4）D．（﹣6，，﹣4）
【解答】解：4cos＝2，4sin＝2，
∴M的直角坐标系为（2，2，4）．
故选：B．
2．（5分）i为虚数单位，则（）2011＝（）
A．﹣i B．﹣1C．i D．1
【解答】解：∵＝i
∴（）2011＝i2011＝i3＝﹣i
故选：A．
3．（5分）已知函数f（x）＝2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10B．﹣10C．﹣20D．20
【解答】解：函数f（x）＝2ln（3x）+8x，
∴f′（x）＝+8，
∴f′（1）＝10，
∴＝﹣2＝﹣2f′（1）＝﹣20，
故选：C．
4．（5分）y＝4cos x﹣e|x|图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：显然y＝4cos x﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；
又当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除B，
故选：D．
5．（5分）已知数列{a n}满足：点（n，a n）（n∈N*）都在曲线y＝log2x的图象上，则a2+a4+a8+a16＝（）
A．．9B．10C．20D．30
【解答】解：由题意可得a n＝log2n，∴a2+a4+a8+a10 ＝log22+log24+log28+log216＝1+2+3++4＝10，
故选：B．
6．（5分）f（x）＝x3+ax+在（，+∞）是增函数，求a取值范围（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[，+∞）D．（，+∞）【解答】解：由f（x）＝x3+ax+，得f′（x）＝3x2+a﹣，
∵f（x）＝x3+ax+在（，+∞）是增函数，
∴f′（x）＝3x2+a﹣≥0在（，+∞）上恒成立，
即a≥在（，+∞）上恒成立．
令g（x）＝，
则g′（x）＝＜0在（，+∞）上恒成立．
∴g（x）在（，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（）＝．
则a．
∴a的取值范围是[）．
故选：C．
7．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）
A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．R
C．[0，2）D．（﹣∞，0）
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x+2，代入不等式得：x+2＜x2，
即（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2，x＜﹣1，所以原不等式的解集为（2，+∞）；
当x≤0时，f（x）＝x﹣2，代入不等式得：x﹣2＜x2，
解得x∈R，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]，
综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．
故选：A．
8．（5分）f（n）＝+…则（）
A．f（n）中有n项，且f（2）＝+
B．f（n）中有n+1项，且f（2）＝++
C．f（n）中有n2+n+1项，且f（2）＝++
D．f（n）中有n2﹣n+1项，且f（2）＝++
【解答】解：f（n）中的项数为n2﹣n+1，
f（2）＝．
故选：D．
9．（5分）已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，
则该三棱锥外接球的表面积为（）
A．20πB．16πC．8πD．17π
【解答】解：作出几何体的直观图如图所示：
由三视图可知底面ACD是等腰三角形，∠ACD＝，AD＝2，
BC⊥平面ACD，BC＝2，
取AD的中点E，连接CE，则CE⊥AD，
以E为原点，以AD为x轴，以EC为y轴，以平面ACD的垂线为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，
则A（﹣，0，0），B（0，1，2），C（0，1，0），D（，0，0），
设三棱锥的外接球的球心为M（x，y，z），则MA＝MB＝MC＝MD．
∴（x+）2+y2+z2＝x2+（y﹣1）2+（z﹣2）2＝x2+（y﹣1）2+z2＝（x﹣）2+y2+z2，
解得x＝0，y＝﹣1，z＝1．
∴外接圆的半径r＝MA＝＝．
∴外接球的表面积S＝4πr2＝20π．
故选：A．
10．（5分）y＝2sin（）﹣+在x∈R上有零点，记作x1，x2，…x n，求x1+x2+…
+x n＝（）
A．16B．12C．20D．﹣32
【解答】解：由题意，函数y有零点，令y＝0，即2sin（）＝﹣，
转化为函数f（x）＝sin（）与g（x）＝﹣图象的交点问题．
函数f（x）的周期T＝12．
从图象可以看出，函数f（x）与g（x）只有3个交点．
即函数y＝2sin（）﹣+只有3个零点，
∴x1＝﹣5，x2＝4，x3＝13，
那么：x1+x2+x3＝12．
故选：B．
11．（5分）定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）
A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）
C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）
【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴f′（x）＜0，
又∵＞x，
∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，
设h（x）＝，则h（x）＝为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵＞x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）＜0．
∵h（x）＝为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴＞⇔＞0⇔2f（3）﹣3f（2）＞0⇔2f（3）＞3f（2），故A正确；由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；
同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；
1•f（2）＞2f（1），排除D；
故选：A．
12．（5分）若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣＝（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）＝0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）＝e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）＝e0﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A．
二、填空题
13．（5分）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（﹣k，10），且A、B、C三点共
线，则k＝．
【解答】解：向量，
∴
又A、B、C三点共线
故（4﹣k，﹣7）＝λ（﹣2k，﹣2）
∴k＝
故答案为
14．（5分）已知Z是复数，|Z﹣2+i|＝，则|z|的取值范围[，]．【解答】解：|Z﹣2+i|＝的几何意义为复平面内动点Z到定点P（2，﹣1）的距离为的轨迹，
如图：
∵|OP|＝，
∴|z|的最小值为，最大值为．
取值范围为[，]．
故答案为：[，]．
15．（5分）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ＝0为直角坐标方程为x2+y2＝0或x﹣1＝0．
【解答】解：由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ＝0可得ρ＝0或ρcosθ﹣1＝0，
ρ＝0表示原点O（0，0）．
由ρcosθ﹣1＝0，化为x﹣1＝0．
综上可知：所求直角坐标方程为x2+y2＝0或x﹣1＝0．
16．（5分）已知函数f（x）＝[x3+（a﹣1）x2﹣ax+a]e x，若x＝0是f（x）的一个极大值点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．
【解答】解：解：f′（x）＝﹣x[x2+（2+a）x+a﹣2]e x；
令x2+（2+a）x+a﹣2＝0，则△＝a2+12＞0；
设g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣2，∵x＝0是f（x）的一个极大值点；
∴g（0）＞0；
即a﹣2＞0；
∴a＞2；
∴实数a的取值范围为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
三、计算题
17．（10分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；
（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a＞b的概率．
【解答】解：（1）根据茎叶图，
得甲组数据的平均数为：（10+10+14+18+22+25+27+30+41+43）＝24，
由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5．
（2）记事件A为“a＞b”，
∵乙组数据的平均数为26.7，
∴[10+18+20+22+23+31+32+（30+a）+（30+b）+43]＝26.7，
解得a+b＝8．∴a和b取值共有9种情况，它们是：
（0，8 ），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），
其中a＞b有4种情况，它们是：（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），
∴a＞b的概率P（A）＝．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，顶点A1在底面ABC内的射影恰好是AB的中点O，且AB＝BC＝2．OA1＝2，
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）求直线A1C与平面ABC所成的角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵A1O⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴A1O⊥BC，
又BC⊥AB，A1O∩AB＝O，A1O⊂平面ABB1A1，
AB⊂平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1，
又BC⊂平面BCC1B1，
∴平面ABB1A1⊥平面BCC1B1．
（2）解：∵A1O⊥平面ABC，
∴∠A1CO是直线A1C与平面ABC所成的角，
∵OB＝AB＝1，BC＝2，AB⊥BC，
∴OC＝，
又A1O＝2，∴A1C＝3，
∴cos∠A1CO＝＝．
19．（12分）已知函数，其中k∈R且k≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当k＝1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f′（x）＝
当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；当k＞0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；（2）当k＝1时，，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a＜
设g（x）＝（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，
，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
∴g（x）max＝g（e）＝
∴a＜．
20．（12分）{a n}数列的前n项和S n符合S n＝k（2n﹣1）且a3＝8，
（1）求{a n}通项公式；
（2）求{na n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）由S n＝k（2n﹣1），得a1＝S1＝k，
a3＝S3﹣S2＝7k﹣3k＝4k＝8，
∴k＝2．
则S n＝k（2n﹣1）＝2n+1﹣2．
∴当n≥2时，．
a1＝2适合上式，
∴；
（2）na n＝n•2n，
∴，
则，
两式作差得：＝．∴．
21．（12分）已知椭圆方程为：+＝1（a＞b＞0）过点P（0，1），且离心率e＝．（1）求椭圆方程；
（2）过原点的直线交椭圆于B，C两点，A（1，），求△ABC面积最大值．
【解答】解：（1）由题意知，e＝，b＝1，a2﹣c2＝1，…（4分）
解得a＝2，
所以椭圆的标准方程为．…（6分）
（2）由题意知，直线l的斜率存在时，直线l：y＝kx．
设直线l与椭圆交于C（x1，y1），B（x2，y2）两点，
由得可得（4k2+1）x2﹣4＝0，x1+x2＝0，x1x2＝．
|CB|＝|x1﹣x2|＝，
A到CB的距离为：d＝，
∴△ABC面积s＝|CB|×d＝×＝×＝．∵k+≥2或k+≤﹣2，当且仅当k＝时取等号．
所以当k＝﹣时，△ABC面积最大值2．
22．（12分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆（θ是参数）相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．（2分）（2）由（1）得直线l的参数方程为（t为参数）．（3分）
曲线的普通方程为x2+y2＝4．（6分）
把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得
t2+（+1）t﹣2＝0，
∴t1t2＝﹣2，（8分）
∴点P到A，B两点的距离之积为2．（10分）。