上海市徐汇区高三数学下学期学习能力诊断测试理沪教版新课标

上海市徐汇区最新届高三下学期学习能力诊断卷
数学（理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分）
一． 填空题：本题满分60分，每小题5分
1．设集合则_____。

2．的展开式中，的系数是________________。

3．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，
则圆锥挖去该圆柱后所剩余的几何体的体积为____________。

4．已知是的重心，则=__________。

5．在中，三边之比为，则中最大角的大小是___________。

6．函数的值域是________________________。

7．已知椭圆，，，试问， 在所有的椭圆中，其中椭圆焦点落在轴上的概率是 _______________。

（用数值表示） （2） 8
．
执行右边的程序框图，若
2
2{|10},{|log 0}A x x B x x =->=>=B A 8
1()x x
+
ABC ∆PA PB PC ++ABC ∆::2:3:19a b c =ABC ∆()lg 2lg ()01
lg x x f x x x
-=
>22
1x y m n
+={}1,2,3,4,5m ∈{}1,2,3,4n ∈()()135200924620081005
a a a a a a a a a +++
+-+++
+=(),Q x y 2
2
1x y +=20x +=2
1
()2
f x x x =++
[]
,1n n +,,O A B ,OA a OB b ==AOB ∆OM pa qb =+(,ai a R i
∈z z =,,a b c a b b c
⋅=⋅1111x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
()
f x ()()()2f m n f m f n +=++()()
1g x f x =-()
1,2-D ABC -AB BC
⊥3
DA AB BC ===D ABC -D ABC -,,,A B C D
22
()21
x x a a f x ⋅+-=
+A
B
C
D
的值；
（3） 设有定理：若数列
满足，且
，
则；由上述定理判断是否存在，如果存在，
求出该极限的值，如果不存在，说明理由。

21．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设过抛物线对称轴上的定点作直线与抛物线交于两点，
且，相应于点的直线称为抛物线的“类准线” （1） 若，求抛物线方程；
（2） 若点是“类准线”上任一点，记直线的倾斜角依次为，试探索
余切值之间的关系式，并给出证明；
（3） 如果，判定：是否存在常数，使成立，若存在，求出值，若不存在，请说明理由。

通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使你研究的结果（即是否存在常数，使成立）不变，并证明你的结论。

最新学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷
理科试卷参考答案及评分标准（）
一． 填空题：
1． 2．28 3． 4 5． 6． 7． 8． 4 9．
10． 11．12． 二．选择题： 13．D 14．B 15．B 16．C
三．解答题
(),-∞+∞()f x t =(),0-∞1BC =3OB =2OA =1
,tan 2
θθ=
BPC ∠BPC ∠2000m S ={}{}{}
,,n n n a b c ()
n n n a b c n N *
≤≤∈lim lim n n n n a c A →∞
→∞
==lim n n b A →∞
=lim n
n S n
→∞()2
20x py p =>()()0,0F m m >()()()112212,,,0,0A x y B x y x x <>:l y m =-124x x m =-,,MA MB MF ,,αβγ,,αβγ5,63
ππ
αβ=
=αβγλ+-=αβγλ+-=}1|{>x x 533π9[,)4-+∞5
8
135200510032462004b b b b b b b b b ⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅269y x =+22n +1
2
17．解：如图建立空间坐标系，
则由
得------------4分
设向量与所成角为， 则，所以异面直线与所成角的大小为---------------------------------7分 （2）设为中点，由已知条件得，
且三角形DAC,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边， 所以， 所以，外接球的球心为的中点，外接球的半径为
，----------------------10分 所以外接球的体积。

----------------------------------------12
分
18．解：（1）函数是定义域为的奇函数，
则，于是，解得，即，-------------------------5分
由， 知，当且仅当时，函数是奇函数。

（注：这步不写不扣分）
对任意，且， 所以，在上是增函数；-------------------------------------------------------------8分
（2）关于的方程在上有解， 此时，于是，解得。

----------------------------14分 19．解：（1）过作交于，
()()()()
0,0,0,0,3,0,0,3,3,3,0,0B A D C -()()0,3,0,3,3,3BA CD ==33
cos 333
θ=
=⋅3
arccos
3
6DB CA ==
3CD =32
BM AM CM DM ====
3
2
3
439322
V π
π⎛⎫== ⎪⎝⎭(0)0f =1
(22)02a -=21()21x x f x -=+2112()()2112x x
x
x
f x f x -----===-++22
()21
x x a a f x ⋅+-=+12,x x R ∈12x x <()()()
12121212122222121
()()021212121x x x x x
x x x f x f x ----=-=<++++(),-∞+∞21
21
x x
t -=+(),0-∞1021,21x
x
t t +<<=
-1011t
t
+<<-10t -<<PM OC ⊥ Z
D
Y
A
C
B
于是，
所以；--------------------------2分 （2）过作垂直于水平地面，垂足为， 设点的高度为，则， 所以，--------5分 于
是
，--------------8分 令，则 ----12分
当且仅当（百米）即（百米）时取得最大值。

所以此人距水平地面100米时，观看塔的视角最大为。

---------------14分 20．解：（1）由于第12个1前面有个数，
所以第12个1为该数列的第133项；----------------------------------------------------------------4分 （2）将第个1与第个1前的3记为第对，即为第1对，共项；为第2对，
共项；为第对，共项；…。

故前对共有项数为-------------------------------------------------6分
前对所在全部项的和为-------------------------------8分
易得，，
且自第652项到第702项均为3，而能被3整除，
故存在，使。

-----------------------------------------------------10分 （3）对任意，总存在，使得，
于是，且，，
,BPM CPM αβ∠=∠=BPC βα∠=-1PP h =12AP h =34tan ,tan 2222h h
h h
αβ--==
++()431
222222tan tan 43431122222222h h h h h BPC h h h h h h h h
βα---
+++∠=-==
----+⨯+⨯++++1h t +=222
1
1122tan 510992092011122242t BPC t t t t t t t t t
∠===≤
-+-++-++BPC ∠2
arctan 11
()21211132++
=112+=()1,3,3,3()12214+⨯-=1,3,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
共2k-1个3()1212k k +-=()24621k k k +++
+=+()()2
1313k k S k k k k k k +=++-=+⎡⎤⎣⎦()225251325251900S +=⨯+=()2
26261326262054S +=⨯+=6511901S =2000190199333-==⨯65133684m =+=6842000S =n N *
∈k N *
∈()()11k k n k k -≤≤+()111k k n ≤+()()22
311352n S k k k k ≥-+-=-+()23521n S k k k k n
-+∴≤+ C
B
山坡 M P O A
水平地面
显然，当时，，所以，----------------------------------14分
另一方面显然有
，所以，由上述定理知：。

-------------------------16分
21．解：（1）设：，代入，得，
由韦达定理得所求抛物线的方程为。

--4分
（2）首先从特殊情况探索 当轴时，
，又
，猜想成等差数列。

-----------------------------7分
以下在一般情况下加以证明：
当不平行于轴时，由（1）知
，同理， 又，
，
成等差数列。

--------------------10分
（3）当时，由， 利用（
2）的结论 ，由介于之间知，
所以，存在常数，使成立。

------------------------------------------------14分
一般地，当时，即时，存在常数，使
n →+∞k →∞()
2352
lim 31k k k k k →∞-+=+33n S n n n
≤=lim 3n n S
n →∞=y kx m =+2
2x py =2
220x pkx pm --=122,24,2,x x pm pm m p =-∴-=-∴=∴2
4x y =//AB OX 1212,y y m x x ====0cot cot x m αβ∴+=
=-000cot 22x x
m m
γ-==-cot cot 2cot αβγ∴+=cot ,cot ,cot αγβ∴122x x pm =-()()()10101022
1111222cot 22p x x p x x x x
x x pm x x x m p
α---=
==+-
+()()
202212cot
p x x x x x β-=-0cot 2x m γ=-()()()2120121012122cot cot p x x x x x x x x x x x x αβ---⎡⎤⎣⎦+=
-()()12001222cot 2p x x x x
pm x x m
γ-=
=-=--cot ,cot ,cot αγβ∴5,63ππ
αβ=
=()tan tan 6παβ+==
()52cot cot
cot cot tan 63ππγγαβ=+==∴=-+()tan tan 2παβγ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
2παβγ∴+=+2
π
λ=
2
π
αβγ+-=
2
π
αβ-=
AM BM ⊥2
π
λ=
2
π
αβγ∴+-=
成立。

论证如下：由或可知，
又由（2）的结论知，
即， 或且， 又
，成立。

----------------------------------18分 2
π
αβ-=
2
π
αβ-=-
tan cot cot cot 1αβαβ=-⇒=-()cot cot 12cot tan cot cot cot 2cot 2αβπαβγγαβγ--⎛⎫
+=
==-=+ ⎪+⎝⎭
()cot cot 2παβγ⎛⎫
+=+
⎪⎝⎭
αγβ<<βγα<<2
π
αβ-=
32
2
π
π
αβ∴
<+<
302
2
2π
π
πγπγ<<∴
<+
<
2
π
αβγ+-=。