高等几何中完全四点_线_形的调和性质应用于初等几何中某些问题的初探

推论 1: 在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共 轭点, 其中两 个点是对 边点, 另两个 点是这条边 与 通过第三个对边点的一对对边的交点。
如图 1 中, ( QR, YZ) = - 1, ( PQ, XE) = - 1 等。 推论 2: 在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点, 其中两个点是顶 点, 另一 对点偶里 , 一个点 是对边 点, 另 一个点是这个边与对边三点形的边的交点。 如图 1 中, ( AB, YP) = - 1, ( AD, ER) = - 1 等。 对偶地, 可以得出完全四线形的调和性质。
( AB、AC, AD、AH) = - 1
又由线束交比的几何意义, 即得( AB、AC, AD、AH) =
sin ( sin (
AB, AB,
AD) AH )
sin( AC, sin( AC,
AH) AD)
=
sin(
故 sin = sin ( + ) , 又 sin = sin ( - )
所以 sin ( - ) = sin ( + )
33
楚雄师范学院学报
2002 年第 3 期
4 证共线点问题
例5
设 D、E、F 分别是 ∃ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上的点,
且DDBC
EC EA
FFAB =
1,
则它们三点共线 ( 梅
尼劳斯定理的逆定理) 。
证明: 如图 6, 因为DDBC( 1, 则FFAB ( EEAC, 故 EF 必与 BC 相交。
即 ( AG,
A A+)
=
AA AA+
GA+ GA
=
2 3
AA+
AA+ [ -
( AA+- AG)
( AG-
2 3
AA+ )
]
=
-
1
34
梁 林 袁丽晴 马嘉芸: 高等几何中完全四点 ( 线) 形的调和性质应用于初等几何中某些问题的初探
即
AG=
4 5
AA+
,
又 AA+=
1 2
AH =
1 4
AC ,
所以 AG=
2 证明平分角度问题 例 2 设 X 为 ∃ ABC 的高线 AD 上的任一点, BX、CX 延长线交对边于 Y、Z, 则 DA 平分 % YDZ。 证明: 如图 4, 设 DY 与 CZ 交于 O, 则 DCYX 为完全四点形, 由完全四点形的调和性, 有 ( CX, OZ) = - 1 以 D 为射影中心向这四点投影得 ( DC、DX, DO、DZ) = - 1 又因 DX & DC, 则知 DX, DC 分别为 %ODZ 的内、外角平分线, 即 DA 平分 % YDZ。 当 ∃ABC 为钝角三角形时, 仿上同理可证。 例 3 两圆相交于 A、B 两点, 过 A 引 AB 的 垂线, 交两 圆于 C、D, 连 BC、BD 交 两圆 于 E、F, 证 明 AB 平 分 %EAF 或其外角。 设 AF 交 CB 于 G, 视 ABGD 为完全四点形, 仿上例可同理证明本题结论。 由以上两例不难看出, 利用完全四点 ( 线 ) 形的调 和性解 决某些 初等几 何平分 角问 题时, 主 要在 于完成 两个 步 骤, 一是构造四边形, 得四直线调和分割, 二是设法建立交错二直线相互垂直关系, 由此即可证明平分角结论。 3 证线共点问题 例 4 设 X、Y、Z 是完全四点形 ABCD 的三个对边点, XZ 分别交 AC、BD 于 L、M , 证明 YZ、BL 、CM 共点。 证明: 如图 5, 在完全四点形 ABCD 中, 据定理 1 的推论 1 知, 边 AC 上的四个点 A、C、Y、L 是 一组调和 点, 即 ( AC, YL) = - 1。 又在完全四点形 YBZL 中, 设 LB 与 YZ 交于 N, MN 交 YL 于 C , 据定理 1 的推论 1 知, 边 YL 上的四点 Y、L、C 、 A 是一 组调和点, 即 ( YL , AC ) = - 1。 由于 ( YL, AC ) = - 1, 故 C ∋ C , 所以 YZ、BL、CM 共点于 N。
第十七卷第三期 2 00 2年 6 月
楚 雄师 范 学 院 学 报 JOURNAL OF CHUXIONG NORMAL UNIVERSITY
Vol 17 No 3 Jun 2002
高等几何中完全四点 ( 线) 形的调和性质 应用于初等几何中某些问题的初探
梁 林1 袁丽晴1 马嘉芸2
( 1 楚雄师范学院数学系, 云南楚雄 675000 2 云南省财贸学校, 云南昆明 650221)
DB DC
EC EA
FFAB =
1,
又
DB DC
EC EA
FA FB
=
1,
故 有DD BC=
DB DC
,
且 D、D 在 BC 上,
从 而 D C= DC,
所 以 D、D 重 合,
即 F、
E、D 共线。
仿此可证朱德祥编 ! 高等几何∀ P66第 4、8 题。由以上说明处 理共点、共线的 问题, 最 常用的方 法一是 把四边 形 视为四点形或四线形, 二是用重合法进行证明。
6 证比例线段问题
例7
已知在
ABCD 中 , 点 E 是 AB 的中点,
AF=
1 2
DF,
EF 交 AC 于 G,
求证:
AG=
1 5
AC。
证明: 如图 8, 连 BD 交 AC 于 H, 过 E 作 EE ∗ BD 交 AD 于 E , 连 E G 交 AB 于 F , 连 FF 交 AC 于 A , 视 AF GF
为完全四点形。
因 E 为 AB 中点, 且 EE ∗ BD, 所以 EE 为 ∃ABD 之中 位线, A+ 为 EE 之 中点, 由初 等几 何知 识易 证 EE ∗ FF ,
所以
AF AE
=
AA AA+
AF=
1 3
AD
AAAA+ =
2 3
,
由定理 1,
得
AE =
1 2
AD
( AG, A A+) = - 1
sin sin + ) sin( -
)= - 1
即 cos
sin = 0,
故 cos = 0 或 sin = 0,
于是
=
! 2
或
= !。
但
是 ∃ABC 的一个内角, 不可能等于 !,
所以
=
! 2
,
从而 AH & AD,
即垂直于 AH 的直线平 行于 AD,
并 且 AH
即为 %A 的外角平分线。由例 1 及本例不难得到利用完全四点 ( 线) 形的调和性 质证明二直线平行的一般方法。
收稿日期: 2002- 04- 21 作者简介: 梁林, 楚雄师范学院数学系讲师。 32
梁 林 袁丽晴 马嘉芸: 高等几何中完全四点 ( 线) 形的调和性质应用于初等几何中某些问题的初探
定理 2: 设 C、D 是完全四线形 abcd 的一对对顶点, 它们的连线是对顶线 x, 若 x 与其它二对顶点的交点是 A、B, 则有 ( AB, CD) = - 1。
4 5
)
1 4
AC
=
1 5
AC。
由此题的证明, 不难得到更一般性的结论成立。
推广:
在
ABCD 中,
E 在 AB 上, F AF=
1 n
AD,
EF 交 AC 于 G,
则 AG=
1 m+
n
AC
。
证明略。
7 解决作图问题
从以上可以看出, 利用完全四点 ( 线) 形的调和性质可以使我们由纯粹几何方法得到调和共轭点列 或调和共轭 线
关键词: 完全四点 ( 线) 形; 调和性; 应用 中图分类号: O18 文章标识码: A 文章编号: 1671- 7406 ( 2002) 03- 0032- 04
一、完全四点 ( 线) 形的概念
定义 1: 平面内无三点共线的四点及其两两 联线所 构成的图 形称为 完全四 点形 ( 完全四角 形) , 记作完 全四点 形 ABCD。
摘 要: 本文对高等几何中的完全四点 ( 线 ) 形的调 和性质 进行了 归纳整 理, 并从初 等几何 与高等 几何之 间的本质联系出发, 主要讨论了高等几何中的完全四点 ( 线) 形的调和性质 应用于初 等几何中某 些问题的 作用, 以达到化难为易, 拓广解题思路, 并进一步获得某些初等几 何命题的推广, 以更加充实和完善初等几何的内容。
设 EF 交 BC 于 D , 连 BE、CF 交于 H 点, 连 AH 交 BC 于 F , 得到完全四点形 AFHE, 由定理 1 的推论有
(DF ,
BC )
=
DB DC
F F
CB=
-
1
( 1)
又 AF 、BE、CF 共点于 H,
由塞瓦定 理有F B EC F C EA
FFAB=
-1
( 2)
( 1) ) ( 2) 得
推论 1: 达完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共 轭线束, 其中 两直线是 对顶线, 另两 条直线是此 顶 点与第三条对顶线上两对顶点的连线。如图 2 中 , E ( BA, CD) = - 1 等。
推论 2: 在完全四线形的每个顶点上, 有一组调和线束, 其中两条边是过 此点的 两边, 在另 一对线 偶里, 一条 是 对顶边, 另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。如图 2 中, F ( BA, CD) = - 1 等。
上述定理及推论的证明可详见于 ! 高等几何∀ ( 朱德祥编) 。 利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题, 以使得初几与高几的学习能够 融会贯通, 并 从 中体现高几对初几的指导作用。
三、应用举例
1 证明平分线段问题 例 1 四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD 交于 M , BC 与 AD 交于 N, 直线 MN 平行于四边形 ABCD 的对角线 BD, 求证: 另一对角线 AC 平分线段 MN。 证明: 如图 3 所示, 设平行线 BD 与 MN 交于 Q # , AC 与 MN 交于 P, 视四边形 ABCD 为 完全四点 形 ( 或四线 形) , 则 MN 为完全四点形 ABCD 的对边三点形的一条边, 由定理 1 的推论 1 或定理 2, 易得 (MN, PQ # ) = - 1, 即 ( MN , PQ # ) = ( MNP) = MNPP= - 1 故 P 为线段 MN 的中点, 从而对角线 AC 平分线段 MN。 由此题的证明过程不难证明其逆命题成立。 逆命题: 四边形 ABCD 的对边 AB、CD 交于 M , BC、AD 交于 N, 对角线 AC 平分线段 MN, 求证: 直线 MN 平行于 四边形 ABCD 的对角线 BD。 由以上说明, 这一类初等几何问题通过构造四边形, 进而把问题转化为完全四点 ( 线) 形的问题, 然后用其调 和 性极易得到解决。
两条连线交于点 D, 连接 A、D 与已知直线的交点 P 即为所求。
由以上作图可看出, 如果点 偶 P1, P2 与 Q1, Q2 和 共轭, 则 存在一 个完 全四 点形 ABCD, 两 对对 边分 别交 于 P1、
5 证线平行问题 例 6 如图 7, 在 ∃ABC 中, AD 是 % A 的内角平分线, 在 AD 上任 取点 P, 连 BP 交 AC 于 F, 连 CP 交 AB 于 E, EF
交 BC 于 H, 求证: 垂直于 AH 的直线平行于 AD。
证明: 如图 7, 设 % BAD= % DAC= , % DAH= , % CAH= 。 视四边形 AEPF 为完全四线形, 则由定理 2 的推论 2 或定理 1 有
束, 即仅用直尺可作出已知点列上的三点的第四调和点或已知线束中三直线的第四调和直线的方 法。
例8
已知共线三点 F、E、G,
求作第四点 P,
使得EEGP
FP FG
=
-
1 或EEGP
GFPF=
1。
解: 如图 9, 过 E、F 分别任作一直线交于点 A, 在 FA 上任取一点 B, 连接 BG 交 EA 于点 C, 再连接 FC、EB, 这
定义 2 : 完全四线形 abcd 含四线六点, 每一直线称为边, 每一点称 为顶点, 不在 同一边上的 两个顶点 称为对顶, 六个顶点分为三对, 每一对对顶的联线称为对顶线 ( 对角线) , 三条对顶 线构成的三角形称为对角三角形, 如图 2。
二、完全四点 ( 线) 形的调和性质
定理 1: 设 s、s 是完全四点形 ABCD 的一对对边, 它们 的交点 是对边 点 X, 若 X 与其它 二对边点 的连线 是 t、t , 则有 ( ss , tt ) = - 1。
定义 1 : 完全四点形含四点六线, 每一点称为顶点, 每一直线称为边, 不过同一顶点的两边称为 对边, 六边分 为 三对, 每一对对边的交点称为对边点 ( 对角点) , 三个对边点构成的三角 形称为对角三角形, 如图 1。
定义 2: 平面内 无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线形 ( 完全四边形) , 记作完全四线 形 abcd。