2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)充分条件与必要条件(解析版)

第04讲充分条件与必要条件
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；
2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；
3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充
分条件与必要条件进行推理，解决数学问题.
知识点1充分条件与必要条件
1、命题
（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．
2、充分条件与必要条件
（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .
这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.
这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．（3）充分条件与必要条件的关系
p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p
的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．
而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系．3、充要条件
（1）充要条件的概念：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有
q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，
简称充要条件．
（2）充要条件的含义：若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．
（3）充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价．4、充分条件与必要条件的传递性
（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p q ⇒，q s ⇒，则有p s ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q p ⇒，s q ⇒，则有s p ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p q ⇔，q s ⇔，则有p s ⇔，即p 是s 的充要条件．5、条件关系判定的常用结论
p 与q 的关系
结论
p q ⇒，但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件
p q ¿且q p
¿p 是q 的既不充分也不必要条件
知识点2从不同角度理解充分必要性
1、从命题的角度充分理解充分必要性
若把原命题中的条件和结论分别记作p 和q ，则原命题与逆命题同p 与q 之间有如下关系:（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题和逆命题都是真命题，则p 和q 互为充要条件；
（4）若原命题和逆命题都是假命题,则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性
若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，（1）若A
B ，则p 是q 的充分不必要条件；
（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；（3）若A
B ，则p 是q 的必要不充分条件；
（4）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；
（5）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
知识点3充分、必要、充要条件的证明
1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。

2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。

尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。

一般地，证明p 成立的充要条件为q ，在证明充分性时，应以q 为“已知条件”，p 是在该步中要证明的“结论”，即q p ⇒；在证明必要性时，则是以p 为“已知条件”，q 在该步中要证明的“结论”，即p q
⇒
考点一：命题的概念判断
例1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（）
A ．3是偶数吗?
B ．三角形的内角和等于180°
C ．这里的景色山真美啊!
D ．2
x >【答案】B
【解析】对于A ：命题是陈述句不是疑问句，A 错误；
对于B ：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B 正确；
对于C ：这是感叹句，不是命题，C 错误；
对于D ：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D 错误，故选：B
【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；③1-的绝对值为1；④你是高一的学生吗?A ．0B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.故选：C.
【变式1-2】（23-24高一上·广西河池·月考）有下列语句，其中是命题的个数为（）
（1）数学真有趣；（2）0是自然数；（3）()2
10a a +>∈R ；（4）3x >；（5）素数都是奇数.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题；
（2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；
（3）因为()210a a +>∈R 是正确的，所以()2
10a a +>∈R 是命题，而且是真命题；
（4）不能判断3x >是否正确，所以3x >不是命题；（5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题；所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.
其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题.故选：B.
【变式1-3】（23-24高一·江苏·专题练习）以下语句：①{}0N ∈；②220x y +=；③2x x >；④{}
2
10x x +=，
其中命题的个数是（）A ．0B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．故选：B
考点二：命题的真假判断
例2.（23-24高一上·甘肃兰州·月考）下列命题中，是真命题的是（
）
A ．{}∅是空集
B ．{}N 13|x x ∈-<是无限集
C ．π是有理数B
D ．方程250x x -=的根是自然数
【答案】D
【解析】对于A ，{}∅有元素∅，所以不是空集，故A 不是真命题，A 错误；
对于B ，{}N 13|x x ∈-<，即{}N 24|x x ∈-＜＜，即{}0,1,2,3，为有限集，故B 错误；对于C ，π是无理数，故C 错误；
对于D ，方程250x x -=的根0和5是自然数，故D 正确.故选：D
【变式2-1】（23-24高一·全国·专题练习）下列语句中，为真命题的是（）
A ．直角的补角是直角
B ．同旁内角互补
C ．两个锐角的和是钝角
D ．过直线l 外一点A 作直线AB l ⊥于点B
【答案】A
【解析】对选项A ，直角的补角是直角，所以A 选项为真命题；
对选项B ，缺少两直线平行条件，结论不成立.
如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于180 ，所以B 选项为假命题；对选项C ，30 与20 的和为锐角，所以C 选项为假命题．对选项D ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；故选：A.
【变式2-2】（23-24高一·江苏·专题练习）下列语句为真命题的是（）
A ．a b >
B ．四条边都相等的四边形为矩形
C ．123+=
D ．今天是星期天
【答案】C
【解析】对于A ，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A 错误，
对于B ，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B 错误，对于C ，123+=是命题，且是真命题，所以C 正确，
对于D ，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D 错误，故选：C
【变式2-3】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）（多选）下列命题为真命题的是（）
A ．存在两个偶数，他们的商是奇
B ．对角线相等的平行四边形是矩
C ．所有实数的绝对值都是正
D ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【答案】ABD
【解析】若2,6a b ==，则3b a
=是奇数，故A 是真命题.
对角线相等的平行四边形是矩形，故B 是真命题.0的绝对值是0，不是正数，故C 是假命题.
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D 是真命题.故选：ABD.
考点三：充分、必要、充要条件的判断
例3.（23-24高一上·河南濮阳·月考）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，
所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．故选：B ．
【变式3-1】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知:p x A ∈，:q x A B ∈⋂，则p 是q 的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】因{|}A B x x A x B =∈∈ 且，故由x A ∈得不出x A B ∈ ，即p 不是q 的充分条件；
而由x A B ∈ 可得x A x B ∈∈且，故必有x A ∈成立，即p 是q 的必要条件，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.
【变式3-2】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数x ，“1x ≠”是“21x -≠”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“21x -≠”等价于“1x ≠且3x ≠”，
只知道1x ≠时无法保证3x ≠，但1x ≠且3x ≠时必然有1x ≠，故“1x ≠”是“21x -≠”的必要不充分条件.故选：B
【变式3-3】（23-24高一上·广东潮州·期末）“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由名言可知其意为如果不“积小流”，便不能“成江海”，
即“积小流”是“成江海”的必要条件，而非充分条件，
荀子的名言表明“成江海”一定是从“积小流”开始的，而“积小流”未必一定能“成江海”，故“成江海”是“积小流”的充分不必要条件.故选：A.
考点四：充分、必要、充要条件的探究
例4.（23-24高一上·江苏宿迁·月考）（多选）使>4x 成立的一个充分条件是（）
A ．5x >
B ．6
x >C ．3
x >D ．3
x <【答案】AB
【解析】根据充分条件的定义可知54x x >⇒>，64x x >⇒>，即A 、B 正确；
而3x >不能推出>4x ，3x <更不能推出>4x ，故C 、D 错误.故选：AB.
【变式4-1】（23-24高一上·福建泉州·月考）使不等式414x -≤+≤成立的一个必要条件是（）
A ．23x ≤≤
B ．63
x -≤≤C ．52
x -≤≤D ．62
x -≤≤【答案】B
【解析】414x -≤+≤53x ⇔-≤≤，
因此只有B 是其必要条件．故选：B ．
【变式4-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知:02p x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）．
A ．01x <<
B ．11x -<<
C ．02x <≤
D ．03
x <<【答案】A
【解析】对于A ，0102x x <<⇒<< ，0201x x <<<<¿，
01x ∴<<是p 的一个充分不必要条件，A 正确；
对于B ，1102x x -<<<< ¿，0211x x <<-<<¿，
11x ∴-<<是p 的一个既不充分也不必要条件，B 错误；
对于C ，0202x x <≤<< ¿，0202x x <<⇒<≤，
20x ∴<≤是p 的一个必要不充分条件，C 错误；
对于D ，0302x x <<<< ¿，0203x x <<⇒<<，
03x ∴<<是p 的一个必要不充分条件，D 错误.故选：A.
【变式4-3】（22-23高一上·甘肃临夏·月考）“1
32
x -<<”的一个必要不充分条件是（）A ．1
32
x -
<<B ．132
x -<<
C ．16x -<<
D ．1
02
x -
<<【答案】C
【解析】根据题意，132x -
<<的一个必要不充分条件即1
32x -<<为所求结果的真子集，根据选项可得1
32
x -<<是16x -<<的真子集，通过132x -
<<，可推出16x -<<，通过16x -<<不可推出1
32
x -<<，故16x -<<是1
32
x -
<<的一个必要不充分条件.故选：C.考点五：由条件关系求参数取值范围
例5.（23-24高一上·广东佛山·月考）集合{}24M x x =-<<，{}3N x x a =-<<，若x ∈N 的充分
条件是x M ∈，则实数a 的取值范围是（）
A ．()2,4-
B ．[)
4,+∞C ．(]
3,4-D ．()
,4-∞【答案】B
【解析】由题意，因为“x ∈N ”的充分条件是“x M ∈”，
所以M N ⊆，即(2,4)(3,)a -⊆-，解得4a ≥，即实数a 的取值范围为[4,)+∞.故选：B
【变式5-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）（多选）设2{|8150},{|10}A x x x B x ax =-+==-=，B 是A 的充分不必要条件，则实数a 的值可以为（）A ．
15
B ．0
C ．3
D ．
1
3
【答案】ABD
【解析】因为28150x x -+=的两个根为3和5，所以{}3,5A =，
B 是A 的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，
所以B =∅或{}3B =或{}5B =，当B =∅时，满足0a =即可，
当{}3B =时，满足310a -=，所以1
3
a =，
当{}5B =，满足510a -=，所以1
5a =，
所以a 的值可以是0，13，1
5
.故选：ABD.
【变式5-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知:x 2p <-或0x >，:q x a >，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）
A ．2a ≤-
B ．0
a ≤C ．0
a >D ．0
a ≥【答案】D
【解析】因为:x 2p <-或0x >，:q x a >，
令()(),20,A =-∞-+∞ ，(),B a =+∞，
因为q 是p 的充分不必要条件，所以B A ，所以0a ≥.故选：D
【变式5-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）关于x 的一元二次方程20x x m ++=有实数解的一个必要不充分条件的是（）
A ．12
m <
B ．14
m ≤
C ．12
m <-
D ．14
m <
【答案】A
【解析】因为一元二次方程20x x m ++=有实根，
所以140m ∆=-≥，解得14
m ≤
.又1(,]4
-∞是1
(,)2-∞的真子集，
所以“1
(,2-∞”是“1(,]4
-∞”的必要不充分条件.故选：A
考点六：充要条件的证明
例6.（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：222a b c ab ac bc ++=++是ABC 是等边三角形的充要条件.（这里a ，b ，c 是ABC 的三边边长）.【答案】证明见解析【解析】先证明充分性：
由222a b c ab ac bc ++=++，
得()
222
2222a b c ab ac bc ++=++，
整理得，()()()222
0a b a c b c -+-+-=，所以a b c ==，即ABC 是等边三角形.然后证明必要性：
由ABC 是等边三角形，则a b c ==，所以222a b c ab ac bc ++=++.
综上所述，222a b c ab ac bc ++=++是ABC 是等边三角形的充要条件.
【变式6-1】（23-24高一上·安徽亳州·月考）设a ，b ，c ∈R ，求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根是1的充要条件为0a b c ++=.【答案】证明见解析【解析】充分性：
0a b c ++= ，c a ∴=--代入方程20ax bx c ++=得20ax bx a b +--=，即()()10x ax a b -++=．
∴关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1；
必要性： 方程20ax bx c ++=有一个根为1，1x ∴=满足方程20ax bx c ++=，
2110a b c ∴⨯+⨯+=，即0a b c ++=．
故关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根是1的充要条件为0a b c ++=．
【变式6-2】（22-23高三·全国·对口高考）设a ，b ，c 为ABC 的三边，求方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件．【答案】答案见解析【解析】必要性：
设方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=的公共根为m ，
则2220m am b ++=，2220m cm b +-=，
两式相加得()m a c =-+（0m =舍去），
将()m a c =-+代入2220m am b ++=，
得()()2
220a c a a c b -++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，整理得222a b c =+.所以90A = .
充分性：
当90A = 时，222a b c =+，
于是2220x ax b ++=等价于22220x ax a c ++-=，
所以()()0x a c x a c +++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
该方程有两根()1x a c =-+，()2x a c =--.
同样2220x cx b +-=等价于22220x cx a c +-+=，
所以()()0x a c x c a +++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
该方程亦有两根()3x a c =-+，()4x c a =--.
显然13x x =，两方程有公共根.
故方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件是90A = .
【变式6-3】（23-24高一上·全国·期中）求证：等式22111222a x b x c a x b x c ++=++对任意实数x 恒成立的充要条件是121212,,a a b b c c ===.
【答案】证明见解析.
【解析】充分性：
若121212,,a a b b c c ===，则等式22111222a x b x c a x b x c ++=++显然对任意实数x 恒成立，充分性成立；必要性：
由于等式22111222a x b x c a x b x c ++=++对任意实数x 恒成立，
分别将0x =，1x =，=1x -代入可得12111222111222c c a b c a b c a b c a b c =⎧⎪++=++⎨⎪-+=-+⎩，解得121212
a a
b b
c c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，必要性成立，
故等式22111222a x b x c a x b x c ++=++对任意实数x 恒成立的充要条件是121212,,a a b b c c ===
.
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西延安·月考）已知:225,:32p q +=≥，则下列判断中，正确的是（
）A ．p 为真，q 为假
B ．p 为假，q 为真
C ．p 为真，q 为真
D ．p 为假，q 为假【答案】B
【解析】p 为假，q 为真,故选：B
2．（2023·天津·高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（
）A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件【答案】B
【解析】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；
由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；
所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选：B
3．（23-24高一下·吉林白山·月考）““甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（
）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙；
若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同，
所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件.故选：A
4．（23-24高一上·浙江温州·期末）“3a ≥-”是“2a ≥-”的（
）A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】因{}{}|3|2a a a a ≥-≥-，故“3a ≥-”是“2a ≥-”的必要不充分条件．故选B ．
5．（23-24高一上·全国·月考）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（
）条件A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要【答案】A
【解析】由题意甲⇒乙⇔丙⇒丁，但乙推不出甲，
因此甲⇒丁，丁推不出甲，甲是丁的充分不必要条件，故选：A ．
6．（23-24高一上·天津北辰·月考）已知条件p ：13x -≤≤，条件q ：x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围（
）A ．{}
3a a >B ．{}3a a ≥C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】C
【解析】因为p 是q 的充分不必要条件，则{|13}x x -≤≤ {|}x x a >，于是1a <-，
所以a 的取值范围是{|1}a a <-.故选：C
二、多选题
7．（23-24高一上·湖南湘西·月考）下列句子中是命题的是（
）A ．三边对应相等的两个三角形全等
B ．如果3x =，则15x +=
C ．对于任意数n ，21n +不能被3整除
D ．八月的桂花真香啊
E ．210
x ->【答案】ABC
【解析】对于A ，三边对应相等的两个三角形全等，是命题；
对于B ，如果3x =，则15x +=，是命题；
对于C ，对于任意数n ，21n +不能被3整除，能判断真假，是命题；
对于D ，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题；
对于E ，210x ->，不能判断真假，所以不是命题，故选：ABC.
8．（23-24高一上·陕西西安·期中）使“01x <<”成立的一个必要不充分条件可以是（
）A ．0
x ≥B ．0x ≤或1x ≥C ．02x <<D ．0x <【答案】AC
【解析】因为()0,1 [)0,∞+，()0,1 ()0,2，
所以由01x <<推得出0x ≥，由0x ≥推不出01x <<，
即01x <<是0x ≥的充分不必要条件，则0x ≥是01x <<的必要不充分条件；同理可得02x <<是01x <<的必要不充分条件；
所以使“01x <<”成立的一个必要不充分条件可以是0x ≥，02x <<.故选：AC 三、填空题
9．（22-23高一上·上海静安·期中）命题“如果220x x --≠，那么2x ≠”是
命题（填“真”或“假”）.
【答案】真
【解析】由220x x --≠得(1)(2)0x x +-≠解得1x ≠-且2x ≠，
所以命题“如果220x x --≠，那么2x ≠”是真命题，
10．（23-24高一上·全国·专题练习）设*N n ∈，一元二次方程240x x n +=-有实数根的充要条件是n =
．【答案】1或2或3或4
【解析】 一元二次方程240x x n +=-有实数根,∴()24411640n n ∆=--⨯⨯=-≥，解得4n ≤，
又 *N n ∈，∴1,2,3,4n =.
11．（23-24高一上·广东佛山·月考）在下列所示电路图中，下列说法正确的是.（填序号）.
（1）如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A 闭合是奵泡B 亮的必要不充分条件.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）开关A 闭合，灯泡B 亮；灯泡B 亮时，开关A 不一定闭合.
所以开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件，故（1）正确；（2）开关A 闭合，灯泡B 不一定亮；灯泡B 亮时，开关A 必须闭合.
所以开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件，故（2）正确；
（3）开关A 闭合，灯泡B 亮；灯泡B 亮时，开关A 必须闭合.
所以开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件，故（3）正确；
（4）开关A 闭合，灯泡B 不一定亮；灯泡B 亮时，开关A 不一定闭合.
所以开关A 闭合是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误.故答案为：（1）（2）（3）
四、解答题
12．（23-24高一上·江苏南京·月考）求证：“关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为2”的充要条件是“420a b c ++=”．
【答案】证明见解析
【解析】必要性：若20ax bx c ++=有一个根为2，则2x =满足方程，即420a b c ++=，
充分性：若420a b c ++=，则2220a b c ⨯+⨯+=，即2x =满足方程220ax bx ++=，则关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为2；
综上命题得证．
13．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合{|2135}A x a x a =++≤≤，{|2B x x =≤-或5}x ³．（1）若1a =，求A B ⋃；
（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{|2x x ≤-或3}x ≥；（2）7,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦【解析】（1）因为1a =，{|2135}A x a x a =++≤≤，所以{|38}A x x =≤≤
因为{|2B x x =≤-或5}
x ³所以{|38}A B x x =≤≤ {|2x x ≤-或5}x ³={|2x x ≤-或3}x ≥.（2）因为“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以A B ,
所以①若A =∅，则2135a a +>+，即4a <-,满足题意；②若A ≠∅，
则2135215a a a +≤+⎧⎨+≥⎩或2135352
a a a +≤+⎧⎨+≤-⎩，即42a a ≥-⎧⎨≥⎩或473a a ≥-⎧⎪⎨≤-⎪⎩所以743
a -≤≤-或2a ≥综合①②知，实数a 的取值范围为[)7,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .。