三角函数全章练习

三角函数全章训练
一、单选题（共14题；共0分）
1.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线x=对称的函数是( )
A.
B.
C.
D.
2.设，则是( )
A.周期为的奇函数
B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
3.函数的最小正周期为( )
A.
B.
C.
D.
4.函数是（）
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
5.设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是()
A.p为真
B.为假
C.p且q为假
D.p或q为真
6.已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论错误的是()
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D.函数f(x)是奇函数
7.函数的最小正周期是（）
A.
B.
C.2π
D.4π
8.同时具有性质“（1）最小正周期是；（2）图像关于直线对称；（3）在上是增函数”的一个函数是（）
A.
B.
C.
D.
9.函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期（）
A.
B.
C.π
D.2π
10.每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y=Asinωt．音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数（振幅、频率）有关．我们听到声音是由许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y=sin4x+sin6x，则该复合音的周期为（）
A.
B.π
C.
D.
11.已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）
A.﹣
B.﹣
C.
D.
12.已知简谐运动的图像经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为（）
A.T=6，φ=
B.T=6，φ=
C.T=6π，φ=
D.T=6π，φ=
13.已知函数f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且f（﹣x）+f（x）=0，若tanα=2，则f（α）等于（）
A.
B.
C.
D.
14.为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是()．
A.98π
B.π
C.π
D.100π
二、解答题（共6题；共0分）15.已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
16.已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
17.已知：f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和增区间；
（2）若f（x）在[﹣，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
18.已知函数f（x）=sin2xcos2x+sin22x﹣．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）在△ABC中，角B为钝角，角A，B，C的对边分别为a、b、c，f（）= ，且sinC=
sinA，S△ABC=4，求c的值．
19.已知函数f（x）=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．
20.已知函数（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）若f（x）有最大值3，求实数a的值；
（3）求函数f（x）单调递增区间．
答案部分
第 1 题:
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性
【解析】【解答】首先选项C中函数的周期为4，故排除C；将分别代入
A，B，D，得函数值分别为，而函数在对称轴处取最值，故选B．
第 2 题:
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】根据题意，由于，则可以根据周期公式w=2，则其周期为T=，且是偶函数，因此答案为B.
【分析】主要是考查了诱导公式化简函数式，同时研究其性质的运用，属于基础题。

第 3 题:
【答案】C
【考点】二倍角的正弦，三角函数的周期性及其求法
【解析】【分析】，∴.
第 4 题:
【答案】B
【考点】诱导公式的作用，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的奇偶性
【解析】【解答】因为，所以函数是最小正周期为的偶函数.选B. 第 5 题:【答案】C
【考点】逻辑联结词“非”，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性
【解析】【解答】由正弦函数的性质，函数y＝sin 2x的最小正周期为，即命题是假命题；y ＝cos x的图像关于直线对称，所以，命题也是假命题，因此，且为假命题.选C.
第 6 题:
【答案】D
【考点】诱导公式的作用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性
【解析】【解答】∵y=sin（x-)=-cosx，∴由周期公式可知T=2π，A正确；
y=cosx在[0，]上是减函数，y=-cosx在[0，]上是增函数，B正确；
由图象知y=-cosx关于直线x=0对称，C正确．
y=-cosx是偶函数，D错误．
故选D
【分析】解决该试题的关键是先利用三角函数的诱导公式化简f（x)，利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．
第7 题:
【答案】B
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】，所以周期. 第8 题:
【答案】C
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，正弦函数的对称性
【解析】【解答】由分析可知函数最小正周期是；由
可知函数图像关于直线对称；由
可知函数在上是增函数.选c.
第9 题:
【答案】C
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解: 函数y=2sin2x+sin2x=2×，
则函数的最小正周期为=π，
故选：C．
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．
第10 题:
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】解: y=sin4x的周期为，y=sin6x的周期为
则y=sin4x+sin6x周期是π，
故选：B．
【分析】分别求出y=sin4x和y=sin6x的周期，然后进行求解即可．
第11 题:
【答案】C
【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）= ，
故= ，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．
f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．
又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）
= （Acosφ+Asinφ）=0，
∴f（0）=Acosφ= ．
故选C．【分析】求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acosφ+Asinφ）=0，然后求f（0）．
第12 题:
【答案】A
【考点】三角函数的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】解：由题意知图像经过点（0，1），即2sinφ=1，又因可得，，由函数的周期得T= =6，
故选A．
【分析】根据图像上点的坐标满足解析式，由已知的范围求出函数的初相，再根据正弦函数的周期和周期公式求出此函数的最小正周期．
第13 题:
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由=π得：ω=2，又f（﹣x）+f（x）=0，
∴f（x）=cos（2x+θ）为奇函数，
∴θ=kπ+ ，而0＜θ＜π，
∴θ= ，
∴f（x）=cos（2x+ ）=﹣sin2x，
∵tanα=2，
∴f（α）=﹣sin2α= = = ，
故选：B．
【分析】依题意，可求得θ= ，f（x）=cos（2x+ ）=﹣sin2x．tanα=2⇒f（α）=﹣sin2α= ，从而可得答案．
第14 题:
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】本题只需在区间[0，1]上出现（49+ )个周期即可，进而求出ω的值．根据题意，为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则可知（49+)T ，即可知
wπ,选B。

【分析】本题主要考查三角函数周期性的求法．属基础题．
第15 题:
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x，
∴f（）=cos（﹣）﹣cos = ﹣（﹣）=1；
（Ⅱ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x
=cos2xcos +sin2xsin ﹣cos2x
= sin2x﹣cos2x
=sin（2x﹣）；
∴函数f（x）的最小正周期为T= =π；
由y=sinx的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+ ]，（k∈Z）；
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+ ，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+ ；
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+ ]，（k∈Z）
【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的单调性
【解析】【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，计算f（）的值即可；（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期与单调递增区间．
第16 题:
【答案】（1）解：∵=
=
= = = ，
所以，函数f（x）的最小正周期是
（2）解：由2kπ+ ≤2x﹣≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，
可得函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
第17 题:
【答案】（1）解：f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a=1+cos2x+ sin2x+a=2sin（2x+ ）+a+1，∴T= =π，
由2kπ﹣≤2x+ ≤2kπ+ ，得kπ﹣x≤ +kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+ ]（k∈Z）
（2）解：∵x∈[﹣，]，
∴2x+ ∈[﹣，]
∴sin（2x+ ）∈[﹣，1]
∴f（x）max=2+1+a，f（x）min=﹣1+a+1=a，
∴3+a+a=3，a=0
【考点】两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用正弦函数的性质求得函数的单调增区间．（2）根据x的范围确定2x+ 的范围，进而确定sin（2x+ ）的范围，则函数的最大和最小值的表达式可得，最后相加即可求得a．
第18 题:
【答案】（1）解：函数f（x）=sin2xcos2x+sin22x﹣= = ，所以函数f（x）的最小正周期为．
由，解得，
所以函数f（x）的图象的对称中心为
（2）解：由（Ⅰ）知f（x）= ，
∵f（）= ，所以，∴．
∵＜B＜π，∴．
∵sinC= sinA，∴c=2a．
∵，，∴c=4
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦定理
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，得出结论．（2）由题意求得，结合＜B＜π，∴求得．利用正弦定理求得c=2a，再利用S△ABC=4，求得c的值．
第19 题:
【答案】【解答】（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1=sin2ωx﹣cos2ωx= sin（2ωx ﹣）（ω＞0），
故该函数的周期为=π，∴ω=1，f（x）= sin（2x﹣）．（Ⅱ）在[ ，]上，2x﹣∈[ ，]，
∵sin =sin（﹣）=sin cos ﹣cos sin = ，
sin（2x﹣）∈[ ，]，∴f（x）∈[ ，1]．
【考点】三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω的值。

（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在上的值域.
第20 题:
【答案】（1）解：函数=2sin（x+ ）+a，故该函数的最小正周期为=2π
（2）解：∵f（x）有最大值3，即2+a=3，求实数a=1
（3）解：令2kπ﹣≤x+ ≤2kπ+ ，求得[令2kπ﹣，2kπ+ ]，k∈Z．
【考点】三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值
【解析】【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．（2）根据正弦函数的最大值，求得a的值．（3）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）单调递增区间．。