河北省唐山市开滦第二中学高一数学导学案：必修五等差数列的前n项和

【学习目标】1、掌握等差数列的前n 项和公式，了解等差数列前n 项和公式的推导方法----倒序相加法。

2、能够利用等差数列的前n 项和公式进行有关计算。

3、掌握等差数列的前n 项和的最值问题的方法。

4、掌握等差数列的前n 项和的性质及其应用。

5、理解n n S a 与的关系，会利用这种关系解决有关的问题。

【重点难点】等差数列的前n 项和的性质及其应用。

【学习内容】
问题情境导学
你听说过高斯求和的故事吗?高斯在解决问题：?1004321=+++++ 时，不是将各项逐项相加，而是采取了下述方法：=++++++++=+++)5150()983()992()1001(321 505050101=⨯，很巧妙也很迅速地得到了问题的答案。

阅读课本相关内容，尝试推导等差数列的前n 项和公式。

一、等差数列前n 项和公式
等差数列{}n a 前n 项和公式：
（1）=n S _______________
（2）=n S _________________
1：推导等差数列前n 项和的方法，称为倒序相加法2：等差数列前n 项和公式的两种形式中，一共涉及哪几个量？怎样由已知量求未知量？
3：等差数列前n 项和公式的两种形式分别适合在什么情况下使用？
4：从函数的角度看n S 与n 的关系，这是什么函数关系？解析式有何特点？
二、n n S a 与关系
填一填：一般地，我们称n a a a a +++321为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即=n S ___________
思考：如果已知数列{}n a 的前n 和n S ，怎样求其通项公式n a ？
三、等差数列前n 项和性质
1、等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，则 n n n n n S S S S S 232,,--构成等差数列，且公差为______
2、等差数列{}n a 中，公差为d ，奇S 表示奇数项和，偶S 表示偶数项和，则
(1)=-奇偶S S ____________
=偶奇
S S ___________
(2)若项数为奇数12-n ，则=-12n S __________=-奇偶S S ___________
=偶奇
S S ________
课堂互动探究
类型一、等差数列前n 项和公式的基本运算 例1、 (1)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且7,141==a a ，则=5S _________
（2）、已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，*N n ∈，若20,16203==S a ，则10S 的
值为？
变式训练：（1）已知等差数列{}n a 中，,1253=+a a 22=a ，则前6项和=6S _________
（2）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，已知,9,433==S a 则=4S ___________
类型二、等差数列前n项和的最值问题
例2、在等差数列{}n a 中，9171,25S S a ==，求前n 项和n S 的最大值。

变式训练：已知等差数列{}n a 中，13511,3851-==a a a
（1） 求公差d 的值，
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值。

类型三、等差数列前n 项和的性质及应用
例3、在等差数列{}n a 中，若,4,184==S S 则20191817a a a a +++的值为？
变式训练：已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且==815,30a S 则________
类型四、n n S a 与的关系及应用
例4、已知数列{}n a 的前n 项和222++-=n n S n
（1） 求{}n a 的通项公式；
（2） 判断{}n a 是否为等差数列?
变式训练：已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 32-=n ，则=n a __________
【课后作业与练习】
基础达标
1、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则=7S （ ）
A 、13
B 、35
C 、49
D 、63
2、已知数列{}n a 的前n 项和n S 1
1+=
n ，那么=4a （ ） A 、 121- B 、201- C 、121 D 、201 3、已知数列{}n a 满足n a n 226-=，则使其前n 项和n S 取最大值的n 的值为（ ）
A 、11或12
B 、12
C 、13
D 、12或13
4、等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若10,242==S S ，则6S 等于（ ）
A 、12
B 、18
C 、24
D 、42
5、 一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是（ ）
A 、21,21
B 、1,21
C 、2,21
D 、2
1,1 6、设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若1236==S a ，则{}n a 的通项=n a ____________
7、在数列{}n a 中，,4,3211-==+n n a a a 当n=___________时，前n 项和n S 取最大值，最大值是_________
能力提升
8、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且342a a =，则=5
7S S __________ 9、设数列{}n a 中，1,211++==+n a a a n n ，则通项=n a ___________
10、已知等差数列{}n a 中，,54,155243==+a a a a 公差0<d
（1）求数列{}n a 的通项公式n a
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值及相应的n 的值。

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。