博弈论-混合策略纳什均衡PPT课件
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25
说明
• 如果纳税人逃税的概率小于q*, • 则q<C/a+F ，税收机关的最优选择是不检
查； • 如果纳税人逃税的概率大于q*, • 则q>C/a+F ，税收机关的最优选择是检查； • 如果纳税人逃税的概率等于q*, • 则q=C/a+F ，税收机关随机地选择检查或
不检查。
26
之二
• 假设采用混合策略是税务机关的最优选择 那么给定p ,纳税人选择逃税和不逃税的期 望收益相等：
那么，政府的期望效用函数为：
vG G , L 3 11 1 01
5 1
对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件 为：
vG
5
1 0 0.2
就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略— —流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8的概率选择 游闲。
• 答案是否定的。
• 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的， 策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大 的影响。
• 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略 组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方 又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。 如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏 好，他就能猜测到对手的策略而采用针对性 策略从而保证赢。
政府
不救济 （-1，1） （0，0） 8
政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这 个博弈有没有纯策略的纳什均衡？
• ——跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直 采用纯策略吗？
• 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ • ——使自己的预期支付最大化。 • ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针
vL 1, 1 3 vL 0,
0.5
14
政府和流浪汉的博弈
• 如果政府救济的概率小于0.5； • 则流浪汉的最优选择是寻找工作； • 如果政府救济的概率大于0.5； • 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 • 如果政府救济的概率正好等于0.5； • 流浪汉的选择无差异。
16
讨论
• 尽管混合策略不像纯比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈 中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
23
字母说明
• 此博弈不存在纯策略纳什均衡。 • 我们用p代表税收机关检查的概率；q代表
纳税人逃税的概率。
24
求解：混合战略纳什均衡之一
• 假定纳税人采用混合策略达到最优选择时， 则税收机关在检查和不检查两种策略的期 望收益相等：
• (a-C+F) q+(a-C)(1- q)=a(1- q) • q*=C/（a+F）
• -(a+F) p +0(1- p)= -a • 得p *=a/(a+F)
27
说明
• 如果税收机关检查概率小于p*, • 即p<a/（a+F），纳税人的最优选择是逃税； • 如果税收机关检查的概率大于p*, • 即p=a/（a+F），纳税人的最优选择是不逃税； • 如果税收机关检查的概率等于p*, • 即p=a/（a+F），纳税人的选择无差异。
策略
得益
博弈方1 （0.8，0.2） 2.6
博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
33
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
时装
丈夫
时装 妻 子
足球
2， 1 0， 0
足球 0， 0 1， 3
夫妻之争
34
2019/12/25
35
存在两个纯策略均衡
时装 妻 子
足球
时装
丈夫
足球
2， 1
0， 0
2
§剪刀、石头、布的游戏
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博
弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们 的选择是哪个策略，都不能保证得到较好的 结果。根据我们上一章所学的方法，这个博 弈没有纳什均衡。 • 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随 意选择，结果都一样呢？
3
§剪刀、石头、布的游戏
EUA p1X 1 p2 X 2 ... pnXn
7
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻 找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政 府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他 们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他 们获得的支付如图所示：
流浪汉
寻找工作
游闲
救济 （3，2） （-1，3）
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
vG 1, 4 1 vG 0,
0.2
13
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即：
这样甲的期望支付是UA( p, q) (1)[ pq (1 p)(1 q)]1[ p(1 q) (1 p)q]
2 p(1 2q) (2q 1) 乙的期望支付是UB( p, q) 1[ pq (1 p)(1 q)] (1)[ p(1 q) (1 p)q]
15
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率 选择纯策略。也就是说，一个参与人选择 不同策略的概率不是由他自己的支付决定 的，而是由他的对手的支付决定的。
• 正是由于这个原因，许多人认为混合策略 纳什均衡是一个难以令人满意的概念。
• 事实上，正是因为它在几个（或全部）策 略之间是无差异的，他的行为才难以预测， 混合策略纳什均衡才会存在。
对性的策略，使自己的支付增加。
9
求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略：
G ,1 即政府以的概率选择救济，1 的概率选择不救济。
2、流浪汉的混合策略为：
L ,1 即流浪汉以的概率选择寻找工作， 1 的概率选择游闲。
10
解一:支付最大化
28
混合战略纳什均衡
• p *=a/（a+F）， q*=C/（a+F）即税收机关以 a/（a+F）的概率检查，纳税人以C/（a+F）的 概率选择逃税。
• 这个均衡的另一个可能的解释是，经济中有许多 个纳税人，其中有C/（a+F）的比例的纳税人选 择逃税，（1- C/（a+F））比例选择不逃税；税 收机关随机地检查a/（a+F）比例的纳税人的纳 税情况。
11
• 解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为：
L
2 1 0
0.5 12
解二:支付等值法
• 政府选择救济策略
• 政府选择不救济策略
1
期望效用
0 期望效用
vG 1, 3 11 vG 0, 1 01
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 混合策略与期望支付 • 计算混合策略纳什均衡的三种方法 • 支付最大值法 • 支付等值法 • 反应函数法 • 多重纳什均衡及其甄别 • 混合博弈在现实经济中的运用案例
1
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石 头、布的游戏.
• 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多？
2q(1 2 p) (2 p 1)
乙
红q
黑1-q
红p 甲
黑1-p
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
20
§ 反应函数
• A的目标是期望支付越大越好。我们之所以把A的 期望支付整理成不含p的一项和含p的一项这个样 子，是因为A只能选择p而不能q，因此，A能通过 选择p来影响第一项，而不能直接影响第二项。 （1-2q）>0即q<1/2时，A把p选择等于1最好； 当（1-2q）<0即q>1/2时，A把p选择等于0最好； 当（1-2q）=0即q=1/2时，A可以在[0，1]之间 随便选择一个p。这样我们可以得到A的反应函数 是，同样道理我们可以得到B的反应函数。
• 0， 如果q>1/2 p>1/2
1， 如果
• p [0,1], 如果q=1/2 q p=1/2
[0,1], 如果
21
§ 反应函数曲线相应方法
纳什均衡是A和B都出红牌或者黑牌的概率是
p
一半对一半
1
1/ 2
1/2
1
q
22
练习：税收检查（监督博弈）
• 设定a是应纳税款；C是检查成本；F是罚款， 假定是C<a+F。看看是否存在纯策略纳什均衡？ 混合策略纳什均衡在哪里？
• 思考一下:在这个博弈中,检查成本C,罚款F和应纳 税款数额a对纳税人逃税的影响是怎么样的?为什 么会有这样的影响?
29
• 在这个博弈中,检查成本C越高,纳税人逃税的概率 越大;罚款F越高,纳税人逃税的概率越小;应纳税款 越大，纳税人逃税的概率反而越小。
• 应纳税款越大，纳税人逃税的概率反而越小？这 跟我们的假设有关，假定一检查逃税行为就会被 发现；假定检查成本一定，而不是跟应交税额有 关，即应交税额越大，检查成本越高；不考虑纳 税人在应交税额高时贿赂税务人员的积极性越高 的情况。如果放开这些假设，其结果就有可能与 现实更贴近。纳税税款越高，纳税人逃税的概率 越高。
• 混合策略(mixed strategies)：如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。
• 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。
6
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n 可能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生的概 率分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数 量指标的期望值定义为发生概率作为权重的所有 可能取值的加权平均，也就是
核心概念的根本原因之一。
18
§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张 扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢， 如果出牌颜色不一样，则甲赢乙输。
• 找到这个博弈的纳什均衡。
乙
红
黑
红 甲
黑
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
19
§ 反应函数法
• 假设甲、乙均采用混和策略,随机地以p的概率出 红牌和以(1-p)的概率出黑牌,而乙则随机地以q的 概率出红牌和以(1-q)的概率出黑牌。
4
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此，秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜
测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性； • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好， 预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢 得这个博弈。
5
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略 规定参与人在一个给定的信息情况下只选择 一种特定的行动。
17
纳什均衡的存在性
纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈G {S1,Sn;u1,u中n}，
如果n是有限的，且 都S是i 有限集(对 i 1,)，n 则该博弈
至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。 • 证明过程省略，主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理。 • 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析
30
• 答案：用反应曲线法找到政府与流浪汉博 弈的混合策略纳什均衡
31
练习:混合策略的纳什均衡
下面的博弈是否存在纯策略的纳什均衡,如果没有采用混合策略
纳什均衡分析。试用支付最大化法和支付等值法两种方法算一
算混合策略的纳什均衡是多少？通过反应曲线,求得混合策略的
纳什均衡.
博弈方2
C
D
博
A
弈
方
1
B
2， 3 3， 1
0， 0
1， 3
夫妻之争
36
还存在混合策略纳什均衡
丈夫 时 装C 足 球F
妻 时装C
子 足球F
2， 1 0， 0
5， 2 1， 5
32
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异
pC 2 pD 5 pC 3 pD 1
解出PA=0.8,PB=0.2;PC=0.8,PD=0.2
说明
• 如果纳税人逃税的概率小于q*, • 则q<C/a+F ，税收机关的最优选择是不检
查； • 如果纳税人逃税的概率大于q*, • 则q>C/a+F ，税收机关的最优选择是检查； • 如果纳税人逃税的概率等于q*, • 则q=C/a+F ，税收机关随机地选择检查或
不检查。
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之二
• 假设采用混合策略是税务机关的最优选择 那么给定p ,纳税人选择逃税和不逃税的期 望收益相等：
那么，政府的期望效用函数为：
vG G , L 3 11 1 01
5 1
对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件 为：
vG
5
1 0 0.2
就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略— —流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8的概率选择 游闲。
• 答案是否定的。
• 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的， 策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大 的影响。
• 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略 组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方 又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。 如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏 好，他就能猜测到对手的策略而采用针对性 策略从而保证赢。
政府
不救济 （-1，1） （0，0） 8
政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这 个博弈有没有纯策略的纳什均衡？
• ——跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直 采用纯策略吗？
• 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ • ——使自己的预期支付最大化。 • ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针
vL 1, 1 3 vL 0,
0.5
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政府和流浪汉的博弈
• 如果政府救济的概率小于0.5； • 则流浪汉的最优选择是寻找工作； • 如果政府救济的概率大于0.5； • 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 • 如果政府救济的概率正好等于0.5； • 流浪汉的选择无差异。
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讨论
• 尽管混合策略不像纯比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈 中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
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字母说明
• 此博弈不存在纯策略纳什均衡。 • 我们用p代表税收机关检查的概率；q代表
纳税人逃税的概率。
24
求解：混合战略纳什均衡之一
• 假定纳税人采用混合策略达到最优选择时， 则税收机关在检查和不检查两种策略的期 望收益相等：
• (a-C+F) q+(a-C)(1- q)=a(1- q) • q*=C/（a+F）
• -(a+F) p +0(1- p)= -a • 得p *=a/(a+F)
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说明
• 如果税收机关检查概率小于p*, • 即p<a/（a+F），纳税人的最优选择是逃税； • 如果税收机关检查的概率大于p*, • 即p=a/（a+F），纳税人的最优选择是不逃税； • 如果税收机关检查的概率等于p*, • 即p=a/（a+F），纳税人的选择无差异。
策略
得益
博弈方1 （0.8，0.2） 2.6
博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
33
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
时装
丈夫
时装 妻 子
足球
2， 1 0， 0
足球 0， 0 1， 3
夫妻之争
34
2019/12/25
35
存在两个纯策略均衡
时装 妻 子
足球
时装
丈夫
足球
2， 1
0， 0
2
§剪刀、石头、布的游戏
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博
弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们 的选择是哪个策略，都不能保证得到较好的 结果。根据我们上一章所学的方法，这个博 弈没有纳什均衡。 • 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随 意选择，结果都一样呢？
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§剪刀、石头、布的游戏
EUA p1X 1 p2 X 2 ... pnXn
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政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻 找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政 府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他 们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他 们获得的支付如图所示：
流浪汉
寻找工作
游闲
救济 （3，2） （-1，3）
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
vG 1, 4 1 vG 0,
0.2
13
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即：
这样甲的期望支付是UA( p, q) (1)[ pq (1 p)(1 q)]1[ p(1 q) (1 p)q]
2 p(1 2q) (2q 1) 乙的期望支付是UB( p, q) 1[ pq (1 p)(1 q)] (1)[ p(1 q) (1 p)q]
15
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率 选择纯策略。也就是说，一个参与人选择 不同策略的概率不是由他自己的支付决定 的，而是由他的对手的支付决定的。
• 正是由于这个原因，许多人认为混合策略 纳什均衡是一个难以令人满意的概念。
• 事实上，正是因为它在几个（或全部）策 略之间是无差异的，他的行为才难以预测， 混合策略纳什均衡才会存在。
对性的策略，使自己的支付增加。
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求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略：
G ,1 即政府以的概率选择救济，1 的概率选择不救济。
2、流浪汉的混合策略为：
L ,1 即流浪汉以的概率选择寻找工作， 1 的概率选择游闲。
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解一:支付最大化
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混合战略纳什均衡
• p *=a/（a+F）， q*=C/（a+F）即税收机关以 a/（a+F）的概率检查，纳税人以C/（a+F）的 概率选择逃税。
• 这个均衡的另一个可能的解释是，经济中有许多 个纳税人，其中有C/（a+F）的比例的纳税人选 择逃税，（1- C/（a+F））比例选择不逃税；税 收机关随机地检查a/（a+F）比例的纳税人的纳 税情况。
11
• 解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为：
L
2 1 0
0.5 12
解二:支付等值法
• 政府选择救济策略
• 政府选择不救济策略
1
期望效用
0 期望效用
vG 1, 3 11 vG 0, 1 01
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 混合策略与期望支付 • 计算混合策略纳什均衡的三种方法 • 支付最大值法 • 支付等值法 • 反应函数法 • 多重纳什均衡及其甄别 • 混合博弈在现实经济中的运用案例
1
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石 头、布的游戏.
• 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多？
2q(1 2 p) (2 p 1)
乙
红q
黑1-q
红p 甲
黑1-p
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
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§ 反应函数
• A的目标是期望支付越大越好。我们之所以把A的 期望支付整理成不含p的一项和含p的一项这个样 子，是因为A只能选择p而不能q，因此，A能通过 选择p来影响第一项，而不能直接影响第二项。 （1-2q）>0即q<1/2时，A把p选择等于1最好； 当（1-2q）<0即q>1/2时，A把p选择等于0最好； 当（1-2q）=0即q=1/2时，A可以在[0，1]之间 随便选择一个p。这样我们可以得到A的反应函数 是，同样道理我们可以得到B的反应函数。
• 0， 如果q>1/2 p>1/2
1， 如果
• p [0,1], 如果q=1/2 q p=1/2
[0,1], 如果
21
§ 反应函数曲线相应方法
纳什均衡是A和B都出红牌或者黑牌的概率是
p
一半对一半
1
1/ 2
1/2
1
q
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练习：税收检查（监督博弈）
• 设定a是应纳税款；C是检查成本；F是罚款， 假定是C<a+F。看看是否存在纯策略纳什均衡？ 混合策略纳什均衡在哪里？
• 思考一下:在这个博弈中,检查成本C,罚款F和应纳 税款数额a对纳税人逃税的影响是怎么样的?为什 么会有这样的影响?
29
• 在这个博弈中,检查成本C越高,纳税人逃税的概率 越大;罚款F越高,纳税人逃税的概率越小;应纳税款 越大，纳税人逃税的概率反而越小。
• 应纳税款越大，纳税人逃税的概率反而越小？这 跟我们的假设有关，假定一检查逃税行为就会被 发现；假定检查成本一定，而不是跟应交税额有 关，即应交税额越大，检查成本越高；不考虑纳 税人在应交税额高时贿赂税务人员的积极性越高 的情况。如果放开这些假设，其结果就有可能与 现实更贴近。纳税税款越高，纳税人逃税的概率 越高。
• 混合策略(mixed strategies)：如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。
• 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。
6
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n 可能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生的概 率分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数 量指标的期望值定义为发生概率作为权重的所有 可能取值的加权平均，也就是
核心概念的根本原因之一。
18
§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张 扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢， 如果出牌颜色不一样，则甲赢乙输。
• 找到这个博弈的纳什均衡。
乙
红
黑
红 甲
黑
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
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§ 反应函数法
• 假设甲、乙均采用混和策略,随机地以p的概率出 红牌和以(1-p)的概率出黑牌,而乙则随机地以q的 概率出红牌和以(1-q)的概率出黑牌。
4
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此，秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜
测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性； • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好， 预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢 得这个博弈。
5
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略 规定参与人在一个给定的信息情况下只选择 一种特定的行动。
17
纳什均衡的存在性
纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈G {S1,Sn;u1,u中n}，
如果n是有限的，且 都S是i 有限集(对 i 1,)，n 则该博弈
至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。 • 证明过程省略，主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理。 • 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析
30
• 答案：用反应曲线法找到政府与流浪汉博 弈的混合策略纳什均衡
31
练习:混合策略的纳什均衡
下面的博弈是否存在纯策略的纳什均衡,如果没有采用混合策略
纳什均衡分析。试用支付最大化法和支付等值法两种方法算一
算混合策略的纳什均衡是多少？通过反应曲线,求得混合策略的
纳什均衡.
博弈方2
C
D
博
A
弈
方
1
B
2， 3 3， 1
0， 0
1， 3
夫妻之争
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还存在混合策略纳什均衡
丈夫 时 装C 足 球F
妻 时装C
子 足球F
2， 1 0， 0
5， 2 1， 5
32
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异
pC 2 pD 5 pC 3 pD 1
解出PA=0.8,PB=0.2;PC=0.8,PD=0.2