一维对流扩散方程的格子Boltzmann模型研究

一维对流扩散方程的格子Boltzmann模型研究
雷娟霞;李春光
【摘要】给出了一维对流扩散方程(e)u/(e)t+α(e)u/(e)x=β(e)2u/(e)x2的一种三速格子Botzmann模型(D1Q3模型).采用Chapman-Enskog多尺度展开技术,导出了该模型的平衡态分布函数.理论分析和数值算例均表明,该模型方法具有计算量小、精度较高等特点.
【期刊名称】《宁夏工程技术》
【年(卷),期】2018(017)003
【总页数】4页(P218-221)
【关键词】格子Boltzmann方法;对流扩散方程;Chapman-Enskog展开;平衡态分布函数;数值模拟
【作者】雷娟霞;李春光
【作者单位】北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川 750021;北方民族大学数值计算与工程应用研究所,宁夏银川 750021
【正文语种】中文
【中图分类】O242.1
对流扩散方程在数学物理领域扮演着非常重要的角色。

近年来，关于这类方程的一些数值模拟方法逐渐发展起来，包括有限差分法[1—2]、有限元法[3]、有限体积法[4]等。

然而，由于对流扩散方程求解的复杂性，传统的数值模拟方法很难对其
进行有效模拟。

格子 Boltzmann 方法（Lattice Boltzmann method，简称LBM）不同于传统的数值方法，它是介于宏观和微观的介观方法。

LBM在求解非线性偏
微分方程，特别是在流体力学的研究中取得了很大成果，这是由于LBM具有物理背景清晰、边界容易处理、编程实现简单等优点。

LBM提供了联系宏观和微观的
可能性和现实性，除了在一般的流体力学问题中得到了成功的验证之外，在湍流[5—6]、多相流[7]、粒子悬浮流[8]等相关领域也具有广阔的应用前景。

本文利用LBM构造了一个D1Q3模型，该模型具有3个速度方向，平衡态分布函数的最小量也展开到三阶。

本文给出了详细的理论推导，同时用数值算例验证了模型的有效性。

1 模型及方法
1.1 一维对流扩散方程
考虑如下一维对流扩散方程：
式中：α，β为常数为对流项为扩散项。

将一维空间离散成均匀的线性格子，将速度离散成3个方向，每个节点与相邻的
节点相连。

沿每一格线运动的粒子分布函数为 fi（x，t）。

其中，离散方向速度 ei （i=1，2，3）分别为[0，1，-1]，此即 LBM 中的D1Q3模型。

根据统计物理，选择的格子Boltzmann方程为
式中分别为分布函数和局域平衡态分布函数；Δt为空间步长；τ为弛豫时间。

为
满足稳定性条件，要求τ≥0.5。

式（2）也称 LBGK（Lattice BGK，简称 LBGK）方程。

同时，由于模型需要，定义宏观量 u（x，t）满足
1.2 D1Q3模型
对式（2）做 Taylor展开，可得：
即
采用 Chapman-Enskog[9—10]多尺度展开技术，可得
将式（5）代入式（4）得：
比较上式两端的同阶项，可得：
对式（7）求和：
对式（8）求和：
局部平衡分布函数按Chapman-Enskog多尺度技术展开成如下形式：
式中，γ0，γ1，γ2为待定参数，由密度定义和宏观对流扩散方程决定。

因为
所以
为恢复对流项，令
事实上，
所以
故
则式（9）变为
由式（7）得：
把式（13）代入式（10）可得：
即
由此便得到了由对流系数和扩散系数确定的局域平衡态分布函数的系数，由式（2）循环迭代即可得到系统化的演化结果。

1.3 格子Boltzmann方法的计算步骤
采用LBM求解物理问题的基本过程有以下流程[11]，如果对于一个特定的流动（换热问题与之相差不大）问题，首先采用辅助步骤：
（1）简化各种模型假设，分析并确定出初边界问题和计算区域等，并根据不同的物理问题，选择格子模型。

（2）剖分网格。

（3）根据不同的LBM模型，将速度离散为不同方向的个数，带入到格子Boltzmann方程中，得到离散控制方程。

（4）给出所划分网格节点上的宏观特征量（输运系数、温度、速度、密度等等），计算各节点上的平衡态分布函数。

（5）求解第（3）步。

（6）处理边界格式。

（7）计算网格节点上的宏观特征量。

（8）判断是否收敛。

（9）如果计算收敛，输出计算结果，反之则返回到第（5）步重新计算直至收敛。

2 数值算例
给出几个典型的算例验证本文模型的有效性，并与其他方法的数值结果进行比较。

算例1考虑如下方程：
该问题的精确解为
表 1给出了α=1.0，ν=0.001时的部分计算结果，并与Samarskii的分组显示格
式进行比较。

由表1可知，当α=1.0，ν=0.001时本文模型与Samarskii的分组
显示格式的结果比较接近，可计算出复合物理图像的数值解。

算例2 考虑下述方程：
表1 不同节点处本文模型与文献[12]的模拟值与解析解的对比方法 x 0.90 0.91
0.92 0.93 Samarskii 1.401 8×10-188.551 1×10-175.216 1×10-15 3.181
9×10-13本文模型1.503 6×10-184.761 5×10-173.201 6×10-15 3.287
3×10-13解析解3.783 5×10-448.193 9×10-401.580 48×10-353.975 6×10-
31方法x 0.94 0.95 0.96 0.97 Samarskii 1.940 9×10-111.1840×10-9 7.222
3×10-8 4.405 6×10-6本文模型7.653 1×10-112.584 3×10-10 4.327 4×10-
9 5.819 1×10-7解析解8.756 7×10-271.928 8×10-224.248 4×10-18 9.357
6×10-14
此例为一维非线性对流扩散的初边值问题，取ε充分小，为对流项占优问题。

表2给出了ε=0.001时的计算结果，并与其他结果进行比较。

当ε=0.001时，AGE产生非物理振荡，而本文建立的模型计算出与E-AGE格式同样好的结果。

表2 不同时刻下本文模型和其他模型的数值解与解析解的对比方法解析解 AGE[13] E-AGE[14] 本文模型-0.03 1.000 00 1.020 80 1.000 00 1.000 00-0.02 1.000
00 0.900 55 1.000 00 1.000 00-0.01 1.000 00 1.126 35 1.000 00 1.000 00
0.00 1.000 00 1.063 85 1.000 00 1.000 00 0.01 1.000 00 0.682 30 0.997 64 0.999 85 0.02 0.999 96 1.304 01 0.965 98 0.976 41 0.03 0.993 37 1.503 30 0.787 92 0.805 86 0.05 0.006 63 0.019 07 0.082 32 0.075 32 0.07 0.000 04 0.000 09 0.000 61 0.000 07 0.09 0.000 00 0.000 00 0.000 00 0.000 00 x
3 结论
本文针对一维对流扩散方程构造了1个三速格子 BGK模型（D1Q3模型），通过Taylor展开和Chapman-Enskog多尺度展开技术，将一维扩散方程从格子Boltzmann方程中得到了恢复。

通过2个数值实验，验证了本文模型的数值有效性。

本文的D1Q3模型可推广到二维或三维的情形，将在今后继续展开相关研究。

【相关文献】
[1] ÖZER S，KUTLUAY S.An analytical-numerical method for solving the Koreweg-de Vries equation[J].Applied Mathematics Computation，2005，164（3）：789-797.
[2]HELAL MA，MEHANNA MS.A comparison between two different methods for solving
KdV-Burgers equation[J].Chaos Solitions Fractals，2006，28（2）：320-326.
[3] GEYIKLI T，KAYA D.An application for a modified KdV equation by the decomposion method and finite element method[J].Applied Mathematics and Computation，2005，169（2）：971-981.
[4] 李仁宪.有限体积法基础 [M].北京：国防工业出版社，2005.
[5] CHEN H，KANDASAMY S，ORSZAG S，et al.Extended Boltzmann kinetic equation for terbulent flows[J].Science，2003，301（5633）：633-636.
[6]STRUMOLO G，BABU V.New directions in computational aerodynamics[J].Physics World，1997，10（8）：45-49.
[7] HE X.A lattice Boltzmann scheme for incompressible multiphase flow and its application in simulation of Rayleigh-Thylor instability[J].Journal of Computational Physics，1999，152（2）：642-663.
[8] LADD AJC，VERBERG ttice-Boltzmann simulations ofparticle-fluid
suspensions[J].JournalofStatistical Physics，2001，104（5/6）：1191-1251.
[9]CHAPMAN S，COWLING T G.The mathematical theory of non-uniform gases[M].3rd ed.Cambridge：Cambridge University Press，1970.
[10] WLLF-GLADROW D ttice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models：an introduction[M].New York：Springer，2000.
[11] 王立海.BGK模型的理论分析及其在流体力学中的应用研究[D].银川：北方民族大学，2016.
[12] HUANG J T，ZHANG L，YONG W A，et al.On complex boundry conditions of the lattice Boltzmann method for the diffusion equations [J].Applied Mathematics and Mechanics，2014，35（3）：305-312.
[13] EVANS D J，SAHIMI M S.The numerical solution of burgers’ equation by the alternating group explicit（age）method [J].International Journal of Computer Mathematics，2003，29（1）：39-64.
[14] 陈景良，陆金甫，肖世江.Burgers方程的基于指数型格式的AGE方法：全国第四届并行算法学术会议论文集[C].北京：航空工业出版社，1993.。