高考数学总复习 第三章 导数及其应用 课时规范练15 理 新人教A版

课时规范练15 导数与函数的小综合
一、基础巩固组
1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是()
A.(-∞,2)
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,+∞)
2.(2017山东烟台一模)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()
A.a>0,b>0,c>0,d<0
B.a>0,b>0,c<0,d<0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d>0
3.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=()
A.0
B.2
C.-4
D.-2
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'(x),若f'(x)<f(x),且f(x+1)=f(3-x),f(2 019)=2,则不等式f(x)<2的解集为()
A.(1,+∞)
B.(e,+∞)
C.(-∞,0)
D.
5.(2017辽宁大连一模)函数f(x)=的图象大致为()
6.(2017河南濮阳一模)设f'(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足xf'(x)+2f(x)=,则下列不等式一定成立的是()
A.
B.
C.
D.〚导学号21500522〛
7.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,0)
B.
C.(0,1)
D.(0,+∞)
8.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围
是.
9.(2017河北保定二模,理16)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,设
a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是.
10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.
11.(2017山东泰安一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g'(x)为g(x)的导函数,对∀x∈R,总有g'(x)>2x,则g(x)<x2+4的解集为.
二、综合提升组
12.(2017广西南宁一模,理12)已知函数f(x)=-x2-6x-3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,m<-2,若∀x1∈[m,-
2),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为()
A.-5
B.-4
C.-2
D.-3
13.定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且对∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,其中f'(x)为f(x)的导函数,则()
A.
B.
C.
D.〚导学号21500523〛
14.(2017江西宜春二模,理16)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,0)中心对称,其导函数为f'(x),当x<1时,(x-1)[f(x)+(x-1)f'(x)]>0,则不等式xf(x+1)>f(2)的解集
为.
三、创新应用组
15.(2017安徽淮南一模)如果定义在R上的函数f(x)满足:对于任意x1≠x2,都有
x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则称f(x)为“H函数”.给出下列函数:
①y=-x3+x+1;
②y=3x-2(sin x-cos x);
③y=1-e x;
④f(x)=
其中“H函数”的个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0 〚导学号21500524〛
16.(2017安徽合肥一模)已知函数f(x)=-x3+3x2-ax-2a,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,则a 的取值范围是.
课时规范练15导数与函数的小综合
1.D函数f(x)=(x-3)e x的导数为f'(x)=[(x-3)e x]'=e x+(x-3)e x=(x-2)e x.由导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)e x>0,解得x>
2.
2.C由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;f'(x)=3ax2+2bx+c,
且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.
3.B因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'(x)=3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系可知m+n=-=2.
4.A∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x+1)=f(3-x)=f(x-3),
∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.
∵f(2 019)=f(-1)=f(1),
∴f(1)=2.
设g(x)=,
则g'(x)=<0,
故函数g(x)是R上的减函数.
∵不等式f(x)<2e x-1等价于,即g(x)<g(1),∴x>1,
即不等式f(x)<2e x-1的解集为(1,+∞),故选A.
5.B函数f(x)=的定义域为x≠0,x∈R,当x>0时,函数f'(x)=,可得函数的极值点为x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,当x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B,D满足题意.当x<0时,函数f(x)=<0,选项D不正确,选项B正确.
6.B∵xf'(x)+2f(x)=,
∴x2f'(x)+2xf(x)=,
令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增.
∴g(2)=4f(2)<g(e)=e2f(e)<g(3)=9f(3),故选B.
7.B∵f(x)=x(ln x-ax),∴f'(x)=ln x-2ax+1,由题意可知f'(x)在(0,+∞)内有两个不同的零点,令f'(x)=0,
得2a=,设g(x)=,则g'(x)=,∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)
内单调递减.
∵当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1,∴只需0<2a<1,即
0<a<
8.(0,1)∪(2,3)由题意知f'(x)=-x+4-=-
由f'(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由
t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.
9.a>c>b ∵方程f'(x)=0无解,
∴f'(x)>0或f'(x)<0恒成立,
∴f(x)是单调函数;
由题意得∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,
且f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数,则f(x)-log2 015x是定值.
设t=f(x)-log2 015x,则f(x)=t+log2 015x,∴f(x)是增函数.
又0<log43<logπ3<1<20.5,∴a>c>b.故答案为a>c>b.
10.(-∞,-1)∪(0,1)当x>0时,令F(x)=,
则F'(x)=<0,
∴当x>0时,F(x)=为减函数.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)内,F(x)>0;
在(1,+∞)内,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;
当x>1时,f(x)<0.
又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
11.(-∞,-1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)的图象过原点.
∵g(x)=f(x+1)+5,∴g(x)的图象过点(-1,5).
令h(x)=g(x)-x2-4,∴h'(x)=g'(x)-2x.∵对∀x∈R,总有g'(x)>2x,
∴h(x)在R上是增函数,又h(-1)=g(-1)-1-4=0,
∴g(x)<x2+4的解集为(-∞,-1).
12.A∵g(x)=2x3+3x2-12x+9,
∴g'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)·(x-1),
则当0<x<1时,g'(x)<0,函数g(x)递减,当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)递增, ∴当x>0时,g(x)min=g(1)=2.
∵f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函数y=f(x)的图象,如图所示,
当f(x)=2时,方程的两根分别为-5和-1,则m的最小值为-5,故选A.
13.B令g(x)=,x∈(0,+∞),
则g'(x)=
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,
∴0<,
∴g'(x)>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,
,又f(x)>0,
令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,
∴h'(x)=<0,
∴函数h(x)在(0,+∞)内单调递减,
又f(x)>0,
综上可得,故选B.
14.(-∞,-1)∪(1,+∞)设g(x)=(x-1)f(x),当x<1时,x-1<0,
∴g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)<0,
则g(x)在(-∞,1)内单调递减.
∵f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,
∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,则f(x+1)是奇函数,
令h(x)=g(x+1)=xf(x+1),
∴h(x)为R上的偶函数,且在(-∞,0)内单调递减,
∴在(0,+∞)内单调递增.
∵h(1)=f(2),∴xf(x+1)>f(2)⇔h(x)>h(1),即|x|>1,解得x>1或x<-1.
15.B根据题意,对于x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),
则有f(x1)(x1-x2)-f(x2)(x1-x2)≥0,
即[f(x1)-f(x2)](x1-x2)≥0,
分析可得,若函数f(x)为“H函数”,则函数f(x)为增函数或常数函数.
对于①,y=-x3+x+1,有y'=-3x2+1,不是增函数也不是常数函数,则其不是“H函数”;
对于②,y=3x-2(sin x-cos x),有y'=3-2(sin x+cos x)=3-2sin,易知y'>0, y=3x-2(sin x-cos x)为增函数,则其是“H函数”;
对于③,y=1-e x=-e x+1,是减函数,则其不是“H函数”;
对于④,f(x)=当x<1时,f(x)是常数函数,当x≥1时,f(x)是增函数,则其是
“H函数”.
故“H函数”有2个,故选B.
16由题意设g(x)=-x3+3x2,h(x)=a(x+2),
则g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),
所以g(x)在(-∞,0),(2,+∞)内递减,在(0,2)内递增,
且g(0)=g(3)=0,g(2)=-23+3×22=4.
在同一个坐标系中画出两个函数图象如图所示.
因为存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,即g(x0)>h(x0),
所以由图得x0=2,
则
即解得a<1,
所以a的取值范围是,故答案为。