高中物理必修一《牛顿运动定律》专题--4.6动力学中的临界与极值问题

高中物理必修一《牛顿运动定律》专题--动力学中的临界
与极值问题
一、单选题（本大题共3小题，共12.0分）
1.如图，在光滑水平面上有质量分别为3 m，2 m，m的长木板A、B、C叠加起
来，各木板之间的滑动摩擦系数都相同，假定木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。

现给中间的木板施加一随时间t增大的水平力F= kt（k是常数），A、B、C的加速度的大小分别为、、下列反映、、随时间变化的图线中正确的是（）
A. B.
C. D.
2.如图，质量m＝10kg的物块甲与质量为M＝4kg长木板（足够长）乙，静止于水平
地面上，已知甲、乙之间动摩擦因数μ1＝0.1，地面和长木板之间动摩擦因数μ2＝
0.2，若将木板乙从物块甲下面抽出，则力F应满足条件（）
A. B. C. D.
3.如图，质量m＝10kg的物块甲与质量为M＝4kg长木板乙（足够长），静止于水平
地面上，已知甲、乙之间动摩擦因数μ1＝0.1，地面和长木板之间动摩擦因数μ2＝
0.2，若将木板乙从物块甲下面抽出，则力F应满足条件（）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共8.0分）
4.如图所示，A、B两物块的质量分别为和，静止
叠放在水平地面上。

A、B间的动摩擦因数为，B与
地面间的动摩擦因数为。

最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度为。

现对A施加一水平拉力F，对于A、B加速度可能的值，下列说法中正确的是（）。

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.如图所示，A，B，C三个物体静止叠放在水平桌面上，物体A的质量分别为2m，
B和C的质量都是m，A、B间的动摩擦因数为μ，B、C间的动摩擦因数为，B和地面间的动摩擦因数为。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A 施加一水平向右的拉力F，则下列判断正确的是（）
A. 若A，B，、C三个物体始终相对静止，则力F不能超过
B. 当力时，A，B间的摩擦力为
C. 无论力F为何值，B的加速度不会超过
D. 当力时，B相对A滑动
三、计算题（本大题共3小题，共30.0分）
6.如图所示，为传送带传输装置示意图的一部分，传送带与水平地面的倾角θ＝37°，
A、B两端相距L＝5.0 m，质量为M＝10 kg的物体以v0＝6.0 m/s的速度沿AB方向
从A端滑上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数处处相同，均为0.5.传送带顺时针运转的速度v＝4.0 m/s，(g取10m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)物体从A点到达B点所需的时间；
(2)若传送带顺时针运转的速度可以调节，物体从A点到达B点的最短时间是多少？
7.物体A的质量M=1kg，静止在光滑水平面上，平板车B的质量为m=0.5kg、长L=1m。

某时刻A以v0=4 m/ s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力。

忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数μ=0.2，取重力加速度g=10m/s2，试求：
（1）若F=2N，物体A在小车B上相对小车B滑行的最大距离和时间；
（2）如果要使A不至于从B上滑落，拉力F的大小应满足的条件。

8.如图所示，质量的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量
的小球B相连。

今用与水平方向成角的力拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M,m相对位置保持不变，取。

求：
（1）运动过程中轻绳与水平方向夹角；
（2）木块与水平杆间的动摩擦因数；
（3）当为多大时，使球和木块一起向右匀速运动的力最小。

答案和解析
1.【答案】B
【解析】
条件：质量分别为3m，2m，m、滑动摩擦系数相同、随时间t增大的水平力
F=kt（k是常数）
问题：三个物体的加速度随时间的变化关系
途径：根据受力分析得到各物体的受力情况，根据牛二定律判断各物体的运动情况
【解题步骤】：利用整体法和隔离法画出对应的受力图如下：
对A：对B：对C：
再对应ABC写出牛顿第二定律的方程如下：
对
A：；对B：
对C：
所以有；；即A的加速度到达，C的加速度到达后就不再增加。

当时，三者是一个整体，此时，；图像斜率为；
当时，BC为一个整体，此时，；图像斜率为；
当时，BC也分离，此时对B有，；图像斜率为：
；
所以随着时间的增加，图像的斜率会出现两次增大，而AC的加速度增大到一定值后就不再增加，对比选项可以得到结果为B图。

故选B.
【总结】：本题属于牛顿第二定律中的临界问题，重点是要找到出现变化的物
理量以及发生突变的临界点，再结合整体法就可以轻松搞定。

本题属于难
题。

2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题属于动力学中的滑块—模板模型中的极值问题，利用牛顿第二定律和分离的条件即可解答。

解决本题的关键是模板所受的摩擦力的分析。

【解答】
若将由牛顿第二运动定律可得：对于甲，此时木板乙，
木板乙从物块甲下面抽出，需要满足，综上解得：，故D正确。

3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题属于动力学中的滑块—模板模型中的极值问题，利用牛顿第二定律和分离的条件即可解决。

要使木板乙从物块甲下面抽出，乙的加速度必须大于甲的加速度，对甲乙受
力分析，根据牛顿第二定律求得。

【解答】
由牛顿第二运动定律，对于甲有：
，解得：，对木板乙有：
，若将木板乙从物块甲下面抽出，需要满足，联立解得：，故D正确，ABC错误。

故选D。

4.【答案】BD
【解析】
【分析】
对整体分析，根据牛顿第二定律，求出AB一起加速但不相对滑动的拉力的范围，从而求解出一起加速的加速度的范围；再根据受力分析找到AB之间有相对滑动的临界值，隔离分析两物体，求出B物体的加速度。

本题的关键是受力分析和临界值的求解。

【解答】
AB、如果要拉动AB运动，对AB整体进行受力分析可以得到，拉力
才能拉动AB，当时，AB之间发生相互滑动，所以AB以相同加速度
一起滑动的加速度范围为：，故A错误，B正确；
CD、当AB之间发生相互作用时，B物体的受力是确定的，在水平方向上受到A给B向前摩擦力，地面给的向后的摩擦力，由
牛顿第二定律得B的加速度为,此时A的加速度为大于的任何值，
故C错误，D正确。

故选BD。

5.【答案】AB
【解析】
【分析】
先计算出A与B、C与B、B与地之间的最大静摩擦，然后灵活运用整体法和隔离法应用牛顿第二定律结合临界条件列式求解即可.
本题是整体法与隔离法在牛顿第二定律中的应用问题，同时要注意临界条件. 【解答】
A与B间的最大静摩擦力的大小为：，C与B间的最大静摩擦力的大小为：，B与地间的最大静摩擦力的大小为：
；
A.要使A、B、C都始终相对静止，三者一起向右加速，则对整体有：
，假设C恰好与B相对不滑动，则对C有：，联立解得：，，设此时A与B间的摩擦为f，对A有：
，解得：，表明C达到临界时A还没有，故要使三
者始终相对静止，则力F不能超过，故A正确；
B.由A选项知，当时由整体表达式可得：，代入A的表达式
可得：，故B正确；
C.当F较大时，A、C都会相对B滑动，B的加速度达到最大，对B有：
，解得：，故C错误；
D.当A相对B滑动时，C早已相对B滑动，对A、B整体得：
，对A有：，解得：，故
当拉力F大于时，B与A相对滑动，故D错误.
故选AB.
6.【答案】解：
（1）因为物体速度大于传送带速度，所以冲上传送带，物体受到向后的摩擦力（沿斜面向下），根据牛顿第二定律可知：，
解得：，
物体以加速度做匀减速运动，，
当减速到跟传送带速度相等时，传送带对物体的摩擦力方向发生改变，变为沿斜面向上，根据牛顿第二定律可知：，
解得：，
则物体继续以一个较小的加速度做匀减速运动，则减速到零运动位移为，
，
由可知，物体恰好运动到B点，，，
则物体从A点到达B点所需的时间为：；
（2）要想使物体从A点到达B点的时间最短，则传送带对物体的摩擦力方向沿斜面向上，则物体一直以加速度做匀减速运动，直到B点，
计算可得。

【解析】
本题考查了牛顿定律和运动学定律的综合知识，准确掌握相关知识是解题的关键。

（1）结合相对运动情况对物体进行受力分析可知，当物体的速度与传送带一
样时，摩擦力的方向将发生变化，加速度的大小也将发生变化，根据不同阶
段的受力情况分别列方程进行求解即可。

（2）求物体运动的最短时间，根据实际情况分析可知，只有物体一直做匀减速运动时，其所需要的时间最短，据此列方程求解即可。

7.【答案】解：（1）物体A滑上木板B以后，作匀减速运动，有µMg=Ma A得：a A=µg=2m/s2木板B作加速运动，有F+µMg=ma B
代入数据解得：a B=8m/s2
两者速度相同时，有v0-a A t=a B t
代入数据解得：t=0.4s
A滑行距离：
B滑行距离：
最大距离：△s=s A-s B=0.80m
物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离为0.8m；
（2）物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v1，则：
又：
可得：a B=6m/s2；
再代入F+µMg=ma B得：F=ma B-µMg=1N
若F＜1N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从B上滑落，所以F 必须大于等于1N，
即：拉力F的最小值为1N；
当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B 静止，才不会从B的左端滑落，
即有：F=（m+M）a，µMg=ma，所以：F =3N。

若F大于3N，A就会相对B向左滑下。

综上所述：力F应满足的条件是：1N≤F≤3N。

【解析】
本题考查了牛顿第二定律；匀变速直线运动的位移与时间的关系。

解决本题的关键理清物块在小车上的运动情况，抓住临界状态，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解。

（1）物块滑上平板车，物块做匀减速运动，小车做匀加速直线运动，当两者速度相同时，物块在小车上相对运动的距离最大，结合牛顿第二定律和运动学公式求出物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；
（2）物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度，结合牛顿第二定律和运动学公式求出拉力的最小值，另一种临界情况是A、B
速度相同后，一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出拉力的最大值，从而得出拉力F的大小范围。

8.【答案】解：（1）对小球B进行受力分析，设细绳对N的拉力为T由平衡条件可得：
F cos30°=T cosθ，F sin30°+T sinθ=mg
代入数据解得：T=，tanθ=，即：θ=30°；
（2）对M进行受力分析，由平衡条件有：
F N=T sinθ+Mg
f=T cosθ
f=μF N
解得：μ＝；
（3）对M、N整体进行受力分析，由平衡条件有：
F N+F sinα=（M+m）g，
f=F cosα=μF N，
联立得：F cosα=μ（M+m）g-μF sinα，
解得：，
令：,,即：
，
则：；
所以：当α+β=90°时F有最小值．所以：tanα=μ=时F的值最小．即：α=arctan。

答：（1）运动过程中轻绳与水平方向夹角θ为30°；
（2）木块与水平杆间的动摩擦因数μ=；
（3）当α=arctan时，使球和木块一起向右匀速运动的拉力最小。

【解析】
对小球B进行受力分析，设细绳对N的拉力为T由平衡条件可列式子.。