2022-2023学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中考试数学
试题
一、单选题
1．直线l ：230x y -+=的斜率和在x 轴上的截距分别为（ ） A ．1
2，3
B ．1
2
，3-
C ．1
2-，3
D ．1
2
-，3-
【答案】B
【分析】由230x y -+=可得3
22
x y =+，据此可得答案. 【详解】323022
x x y y -+=⇔=+，则直线斜率为1
2，
又令0y =，则3
0322
x x +=⇒=-，故直线在x 轴上的截距分别为3-. 故选：B
2．已知点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则BC =（ ）
A B ．5
C D ．【答案】A
【分析】求出点B 、C 的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得BC 的值.
【详解】因为点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则()3,4,0B 、()0,4,5C ，
因此，BC =故选：A.
3．直线1l ：16x y -+=，直线2l ：30x y --=，则1l 与2l 之间的距离为（ ）
A B ．2
C ．
D ．4
【答案】C
【分析】根据平行线的距离公式d =
.
【详解】
d ==
= 故选:C.
4．已知空间三点O (0，0，0)，A (1
2)，B -1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的
面积为（ ）
A ．8
B ．4
C ．
D ．【答案】D
【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出OAB 的面积进而求得四边形的面积. 【详解】因为O (0，0，0)，A (1
2)，B -1，2)，
所以OA =
OB =
(132),(31,2),OA OB ==-，，，
1cos ,
2
OA OB =
=
， 所以3
sin ,2
OA OB =
以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC
S =⨯⨯=故选：D.
5．已知圆M 的半径为r 且圆心在x 轴上，圆M 与圆22:220N x y x y +--=相交于AB 两点，若直线AB 的方程为y x =，则（ ）
A ．A
B =r =B ．AB 4=，r =
C ．AB =2r =
D ．AB 4=，2r =
【答案】C
【分析】分析可知圆心N 在直线AB 上，可求得AB ，求出圆心M 的坐标，可求得圆心M 到直线AB 的距离，利用勾股定理可求得r 的值.
【详解】圆N 的标准方程为()()2
2
112x y -+-=，圆心为()1,1N
易知点N 在直线AB 上，所以，AB =
因为圆心N 在直线AB 上，则圆心N 为线段AB 的中点，
易知过圆心N 且与直线AB 垂直的直线的方程为20x y +-=，该直线交x 轴于点()2,0M ，
点M 到直线AB 的距离为
d ==2r ∴=. 故选：C.
6．已知直线1l 与直线2:20l x y a -+=关于x 轴对称，且直线1l 过点()2,1，则=a （ ）
A ．5-
B ．5
C ．4-
D ．4
【答案】A
【分析】分析可知，直线2l 经过点()2,1关于x 轴的对称点，由此可求得实数a 的值. 【详解】点()2,1关于x 轴的对称点的坐标为2,1，
由题意可知，直线2l 过点2,1，则2210a ⨯++=，解得5a =-. 故选：A.
7．在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB =，2CN ND =，则MN =（ ）
A ．2
B
C
D ．【答案】B
【分析】将MN 用AB 、AC 、AD 表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得MN . 【详解】因为2AM MB =，所以，2
3
AM AB =
， 又因为2CN ND =，则()
2AN AC AD AN -=-，所以，12
33
AN AC AD =+， 所以，122
333
MN AN AM AC AD AB =-=
+-， 由空间向量的数量积可得2
9
3cos602
AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==
， 因此，(
)
2
11222233
MN AC AD AB AC AD AB
=
+-=+-
222444845AC AD AB AB AC AB AD AC AD =
++-⋅-⋅+⋅=. 故选：B.
8．已知P 是圆()2
2:54C x y -+=上一动点，()1,0A -，M 为线段AP 的中点，O 为坐标原点，则（ ）
A ．22
MA MO +为定值 B ．22
MA MC +为定值 C ．2
2
MO MC +为定值 D ．2
2
2
MA MO MC ++为定值
【答案】B
【分析】设点()00,P x y ，可得22
0001021x y x +=-，求出点M 的坐标，利用平面两点间的距离公式化
简可得出合适的选项.
【详解】设点()00,P x y ，则()22
00
54x y -+=，可得220001021x y x +=-，则点001,2
2x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭. 圆C 的圆心为()5,0C ，半径为2.
对于A 选项，()
2222220000002
2
022********M x y x x y y A M x O +++-⎛⎫=++++=
⎝+ ⎪⎭
()00021021212241
44
x x x -++-=
=
不是定值，A 错； 对于B 选项，2
2
2222
000002
002
111061
1524242M x y x y x y x A MC --+-+⎛⎫⎛⎫=+++-+=
⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭
0010211061
202
x x --+=
=，B 对；
对于C 选项，
()
()22222
2
000002002
0022212121021221214441524x y x x x x y MO M x y C +-+--+++=+==
-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
7924
x -=
不是定值，C 错； 对于D 选项，
()
22222222
2
2
2
0000000003201221115244244x y x x y x y x y MA MO MC +-+-+-⎛⎫⎛⎫++=++++-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()0003102120122
1059
4
4
x x x --++=
=
不是定值，D 错. 故选：B.
二、多选题
9．已知平行六面体111ABCD A B C D -，则下列各式运算结果是1AC 的为（ ） A ．1AB AD AA ++ B ．11111AA A B A D ++ C ．1AB BC CC ++ D ．1AB AC CC ++
【答案】ABC
【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项. 【详解】如下图所示：
对于A 选项，111AB AD AA AB BC CC AC ++=++=，A 对； 对于B 选项，1111111A C C A A B B A B C C A A D =+++=+，B 对； 对于C 选项，11AB BC CC AC =++，C 对；
对于D 选项，111AB AC CC AB BC C AC C +=+++≠，D 错. 故选：ABC.
10．直线:310l x y ++=，则（ ） A ．点()
2,3-在l 上 B ．l 的倾斜角为
5π6
C ．l 的图象不过第一象限
D ．l 的方向向量为
(
)
3,1
【答案】BC
【分析】利用点与直线的位置关系可判断A 选项；求出直线l 的斜率，可得出直线l 的倾斜角，可判断B 选项；作出直线l 的图象可判断C 选项；求出直线l 的方向向量，可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，()
2
23
10-+
+≠，所以，点()
2,3-不在l 上，A 错；
对于B 选项，直线l 的斜率为3
3
k =-
，故l 的倾斜角为5π6，B 对；
对于C 选项，直线l 交x 轴于点()1,0-，交y 轴于点30,3⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，如下图所示：
由图可知，直线l 不过第一象限，C 对；
对于D 选项，直线l 的一个方向向量为(
)3,1-，而向量
(
)3,1-与这里()
1,3不共线，D 错.
故选：BC.
11．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P ，Q 分别为棱A 1D 1，B 1B ，AB ，D 1D 的中点，则（ ） A ．MN PQ =
B ．直线MN 与直线BQ 相交
C ．点Q 到直线MN 的距离为2
D ．点D 到平面MNP 的距离为
5511
【答案】AC
【分析】A 选项：用勾股定理可求出长度；B 选项：作BQ 的平行线与MN 相交，则可判断是否为异面直线；C 选项：求出三边长度，即可求出结果；D 选项：过点M 做//MH DP ，利用线面平行将点
M 到平面DPN 的距离转化为点H 到平面DPN 的距离，等体积转化得到D MPN V -=D HPN V -，求体积和面积计算距离.
【详解】A 选项：2221216MN PQ =++==，故A 正确；
B 选项：连接1D N ，则1D N 与MN 相交，1//BQ D N ，则MN 与BQ 为异面直线，故B 错误；
C 选项：连接,MQ QN ，则2MQ =，22QN =，6MN =，由勾股定理可知：MQ MN ⊥，所以Q 到直线MN 的距离即为MQ ，故C 正确；
D 选项：过点M 做//MH DP ，DP ⊂平面DPN ，MH ⊄平面DPN ，则//MH 平面DPN ，所以点M 到平面DPN 的距离等于点H 到平面DPN 的距离，点H 到直线PN 的距离为3252
2424
⨯+=
，1525
2244
HPN
S
=⨯⨯=，又点D 到平面HPN 的距离为2， 所以155
2346M DPN H DPN D HPN V V V ---===⨯⨯=，
又D MPN V -=M DPN V -，6MP =，2PN =，6MN =，所以12211
2222
PMN
S
=⨯⨯=
，设点M 到平面DPN 的距离为h ，则有1115326h ⨯⨯=，所以511
11
h =
，故D 错误.
故选：AC
12．已知1,0A 、()4,0B ，P 为圆22:4C x y +=上一动点，则（ ） A ．PAB
S
的最大值为3 B ．PA PB +的最大值为9 C ．A 到直线PB 距离的最大值为4
3
D ．2PB PA =
【答案】ABD
【分析】求出点P 到直线AB 的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A 选项；求出PBA ∠的最大值，可得出A 到直线PB 距离的最大值，可判断C 选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D 选项；利用圆的几何性质可判断B 选项.
【详解】对于A 选项，圆C 上的一点P 到直线AB 的最大距离为圆C 的半径2，故PAB
S
的最大值为
1
232
AB ⨯⨯=，A 对； 对于C 选项，如下图所示：
点A 到直线PB 的距离为sin AB PBA ∠，
圆C 的圆心为原点O ，当直线PB 与圆C 相切时，此时PBA ∠最大，则点A 到直线PB 的距离取最大值，
连接OP ，则OP PB ⊥，则1
22
OP OB ==
，故30PBA ∠=， 因此，点A 到直线PB 的距离为3
3sin 302
=
，C 错； 对于D 选项，设点()00,P x y ，则22
004x y +=，
所以，()
2
22200000004816208252PB x y x y x x x =
-++-+=--()
2
22
2
0000022112x y x x y PA =+-+=-+=，D 对；
对于B 选项，()333
69222
PA PB PB PO OB +=
≤+=⨯=， 当且仅当点P 为直线BO 与圆C 的交点，且点O 在线段BP 上时，等号成立，
所以，PA PB +的最大值为9，B 对. 故选：ABD.
三、填空题
13．已知向量()1,2,1a =-，()2,,1b k =，()()
a b a b +⊥-，则k =__________． 【答案】1±
【分析】分析可得()()
22
0a b a b a b +⋅-=-=，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数k 的值.
【详解】因为()()a b a b +⊥-，则()()
()2
2
2
650a b a b a b k +⋅-=-=-+=，解得1k =±.
故答案为：1±.
14．设直线1l ：210ax y -+=，直线2l ：()30x a y a +-+=，若1l ∥2l ，则实数a ＝____________． 【答案】2
【分析】由两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得12210A B A B -=，由此列式求出a 的值，然后再检验即可．
【详解】若1l ∥2l ，则(3)(2)10a a ---⨯=，解得2a =或1a =， 当2a =时，直线1l ：2210x y -+=，直线2l ：20x y -+=，符合题意；
当1a =时，直线1l ：210x y -+=，直线2l ：210x y -+=，两直线重合，不符合题意. 故答案为：2．
15．已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，空间一动点Q ，满足()1PQ xPA yPB x y PC =++--，则PQ 的最小值为____________．
【分析】化简向量关系式证明,,,Q A B C 四点共面，结合轴截面特征可求PQ 的最小值. 【详解】因为()1PQ xPA yPB x y PC =++--， 所以x PQ PC xPA y P PB P C C y --+-=， CQ xCA yCB =+，
所以,,CQ CA CB 共面，
又A ，B ，C 为底面圆周上三点， 所以点Q 为平面ABC 上一点， 由已知PO ⊥平面ABC ， 所以PQ PO ≥，
又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以3PO =， 所以PQ 的最小值为
16．设直线l ：()()110R a x ay a +--=∈与圆C ：224x y +=交于,A B 两点，则AB 的取值范围是___________．
【答案】4]
【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到AB 的取值范围．
【详解】直线l ：()()110R a x ay a +--=∈即为()10a x y x -+-=，
由 010x y x -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩,可得直线l 过定点(1,1)P ， 圆C ：224x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径2r =， 由于22114+<,故(1,1)P 在圆C ：224x y +=内，
||CP =，则当直线l CP ⊥时，AB 最小，min ||AB ==
AB 的最大值即为圆的直径，
∴AB 的取值范围是 4⎡⎤⎣⎦
故答案为：4⎡⎤⎣⎦ ．
四、解答题
17．已知ABC 三个顶点的坐标分别为()2,4A 、()1,1B -、()9,3C -，求： (1)BC 边上的中线所在直线的方程； (2)BC 边上的高所在直线的方程；
(3)BAC ∠的平分线所在直线的方程． 【答案】(1)52180x y +-= (2)5220x y --= (3)2x =
【分析】（1）求出线段BC 的中点坐标，利用两点式可得出BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求出直线BC 的斜率，可得出BC 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
（3）分析可得0AB AC k k +=，数形结合可得出BAC ∠的平分线所在直线的方程. 【详解】（1）解：BC 的中点为()41-,，所以BC 边上的中线所在直线的方程为42
1442
y x --=---， 整理可得52180x y +-=. （2）解：132195
BC k +=
=---，则BC 边上的高所在直线的斜率为5
2，
所以BC 边上的高所在直线的方程为()5
422
y x -=-，整理可得5220x y --=. （3）解：41121AB k -=
=+，43
129
AC k +==--，所以0AB AC k k +=， 所以，BAC ∠的平分线所在直线的方程为2x =.
18．已知长方体111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，13AA =，点M ，N 分别在棱CD ，11A D 上，且11A N =，DM a =．
(1)若1MN B N ⊥，求a ；
(2)若MN 平面1A BD ，求a ．
【答案】(1)
32a =
(2)12a =
【分析】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， （1）得出MN 与1B N 的坐标，由已知得出10MN B N ⋅=，即可列式解出答案； （2）得出MN 与1A B 的坐标，求出平面1A BD 的法向量，即可根据已知MN 平面1A BD ，列式求解
得出答案.
【详解】（1）以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,4,0D ，()12,0,3B ，(),4,0M a ，()0,1,3N ，
所以(),3,3MN a =--，()12,1,0B N =-，
1MN B N ⊥，
10MN B N ∴⋅=，即230a -=，解得32
a =
； （2）由（1）得(),3,3MN a =--， ()10,0,3A ，()2,0,0B ，()12,0,3A B =-，
设平面1A BD 的法向量为n ，
则1
00BD n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取()6,3,4n = 由MN 平面1A BD ，得0n MN ⋅=，解得12
a =. 19．在正三棱柱111ABC A B C 中，AB =2，AA 1=3M 为BB 1的中点．
(1)求AB 与平面MAC 所成角的正弦值；
(2)证明：平面MA 1C 1⊥平面MAC ．
【答案】(1)64
(2)证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；
利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.
【详解】（1）解：取AC 的中点O ，则OB AC ⊥，以O 为原点．以OA ，OB 为x ，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
即O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (-1，0，0)，B (030)，M (033所以()1,3,0AB =-，()2,0,0AC =-，(1,3,3AM =-
设平面MAC 的法向量为n ，
则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩取()0,1,1n =-
所以(
)3cos ,AB n ==
故AB 与平面MAC （2
）解：由（1）得A 1(1，0，
，C 1(-1，0
，，
则()(1112,0,0AC A M =-=-
设平面11MAC 的法向量为m ，则11100AC m A M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩取()0,1,1m = 所以0m n ⋅=，即m n ⊥，
故平面MA 1C 1⊥平面MAC ．
20．已知圆O ：221x y +=与圆C ：22680x y x y m +--+=相外切．
(1)求m 的值；
(2)若直线l 与圆O 和圆C 都相切，求满足条件的所有l 的方程．
【答案】(1)9m =
(2)10x +=或724250x y --=或3450x y +-=
【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可.
(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.
【详解】（1）圆O 的圆心为O (0，0)，半径1r =
由圆C ：22680x y x y m +--+=得()()22
3425x y m -+-=-，25m <．
所以圆C 的圆心C (3，4)，半径R =
因为两圆相外切，所以1OC R =+，
5OC ==,4=，解得9m = （2）由（1）得圆C ：()()223416x y -+-= ①当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x t =
依题意134t t ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1t =-，即l 的方程为=1x - ②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，
依题意22113441b k k b k ⎧=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩
，所以344k b b +-=
当344k b b +-=时，334b k =-，代入上式可得()223491)(k k -=+，
解得724
k =，即2524b =- 所以此时l 的方程为7252424
y x =- 当344k b b +-=-时543b k =-，代入上式可得()()
2243251k k -=+， 解得34k =-即54
b = 所以此时l 的方程为3544
y x =-+ 故满足题设的l 的方程为10x +=或724250x y --=或3450x y +-=．
21．如图，四边形ABCD 为正方形，以BD 为折痕把BCD △折起，使点C 到达点P 的位置，且二面角A BD P --为直二面角，E 为棱BP 上一点．
(1)求直线AD 与BP 所成角；
(2)当PE EB 为何值时，平面ADE 与平面PAB 2 【答案】(1)60
(2)
12PE EB =
【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O =，推导出PO ⊥底面ABD ，然后以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设1OA =，利用空间向量法可求得直线AD 与BP 所成角；
（2）设PE PB λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.
【详解】（1）解：连接AC 、BD ，设AC BD O =，则O 为BD 的中点， 由已知AB AD =，PB PD =，则OP BD ⊥，AO BD ⊥，
所以AOP ∠为二面角A BD P --的平面角，所以90AOP ∠=，因此AO OP ⊥， 因为AO BD O =，AO 、BD ⊂平面ABD ，故PO ⊥底面ABD ．
以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、
y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OA =．
则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，
()1,1,0AD =--，()0,1,1BP =-， 所以1cos ,222AD BP
AD BP AD BP ⋅<>===⨯⋅，故直线AD 与BP 所成角为60． （2）解：设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，()1,1,0AB =-，()1,0,1AP =-， 则111100
m AB x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =， 设()()0,1,10,,PE PB λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，
()()()1,0,10,,1,,1AE AP PE λλλλ=+=-+-=--，()1,1,0AD =--，
设平面ADE 的法向量为()222,,x n y z =，
则()22222010n AD x y n AE x y z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩
，取1x λ=-，可得()1,1,1n λλλ=--+， 由题意可得()()221
2cos ,3211m n
m n m n λλλ⋅+<>===⋅⨯-++ 因为01λ≤≤，解得13λ=，则13PE PB =，故12
PE EB =， 因此，当12PE EB =时，平面ADE 与平面PAB 夹角的余弦值为23
. 22．已知圆C ：()222(0)x a y r r -+=>，四点P 1(1，1)，P 2(0，2)，P 3(13，P 4(1，3中恰有三
点在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)设以k 为斜率的直线l 经过点Q (4，-2)，但不经过点P 2，若l 与圆C 相交于不同两点A ，B ． ①求k 的取值范围；
②证明：直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值．
【答案】(1)224x y +=
(2)①413
k -
<<-或10k -≤< ；②证明见解析
【分析】（1）先判断出2P ，3P ，4P 在圆C 上，然后通过列方程组的方法求得,a r ，从而求得圆C 的方程.
（2）①将直线l 的方程代入圆C 的方程，化简后利用0∆>求得k 的取值范围. ②利用根与系数关系证得22P A P B k k +为定值.
【详解】（1）显然圆C 关于x 轴对称，3P (1
，4P (1
，关于x 轴对称，所以3P 、4P 在圆C 上，
因此1P 不在圆C 上，即2P ，3P ，4P 在圆C 上，代入圆的方程可得:
()2222413a r a r ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得02a r =⎧⎨=⎩． 所以圆C 的方程为224x y +=．
（2）直线l ：2(4)y k x +=-，1k ≠-．
①将直线l ：2(4)y k x +=-代入圆C 的方程得()()222218416160k x k k x k k +-+++=．
()()()
2222844116160k k k k k ∆=+-++>，解得403k -<<， 又1k ≠-，所以413
k -<<-或10k -≤<， ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122841k k x x k ++=+，2122
16161k k x x k +⋅=+， 2112P A y k x -=，222
2P B y k x -=，112(4)y k x +=-，222(4)y k x +=-， 所以()()22121221244244144
P A P B x x k k k k k k k x x k +++=-+⋅=-+⋅=-+， 圆直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值.。