高一数学《必修二》期末综合复习题(一)(答案)

高一数学《必修二》期末综合复习题(一)
1．已知(1－i )2
z
＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i 答案 D
2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC
的中点，则AE →
等于( )
A ．23A
B →＋12AD → B ．12AB →＋23AD →
C ．56AB →＋13A
D → D ．13AB →＋56AD →
答案 A
3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为3
2
，则BC 的长为( ) A ．32 B ． 3 C ．2 3 D ．2
答案 B
4．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥OABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 答案 C
5．(多选)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列命题正确的是( ) A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变； B ．A 1P ∥平面ACD 1； C ．DP ⊥BC 1；
D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1． 答案 ABD
6．设复数z 满足z 2＝3＋4i ，则|z |＝________． 答案 5
7．某三棱锥的三视图如 图所示，则该三棱锥的表 面积是 . 答案 30＋6 5
8．已知四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为 .
答案 5
9．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ．要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．
答案 12
10．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案 3
11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61． (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；
解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61． 又∵|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6．
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12
，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π
3
．
(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13．
12．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1
2
AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点． (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD ． 证明 (1)连接EC ，
∵AD ∥BC ，BC ＝1
2AD ，
∴BC 綊AE ，
∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．
又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF ． (2)连接FH ，OH ，
∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD ． 又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，
∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD ．
又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD ． 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD ．
13．如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．
证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE ． 证明 (1)在四棱锥P —ABCD 中， ∵P A ⊥底面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ．
∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC ．
而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE ． (2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 可得AC ＝P A ．
∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ． 由(1)，知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， ∴AE ⊥平面PCD ．
而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD ． ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB ． 又∵AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ，而PD ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥PD ．又∵AB ∩AE ＝A ， ∴PD ⊥平面ABE ．
14．如图，在△ABC 中，B ＝π
3，AB ＝8，点D 在BC
边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝1
7
．
(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD 、AC 的长． 解 (1)在△ADC 中，
因为cos ∠ADC ＝1
7，
所以sin ∠ADC ＝43
7．
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝
437×12－17×3
2 ＝3314．
(2)∵∠ADB ＋∠ADC ＝π， ∴sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝43
7．
在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BAD
sin ∠ADB ＝8×
331443
7＝3．
在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B
＝82＋(2＋3)2－2×8×5×1
2＝49．
所以AC ＝7．。