(整理)柱面锥面旋转曲面与二次曲面

第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
⎩
⎨
⎧=+-+=-+++-0225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程
⎩⎨
⎧=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z 即：02
3
5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩
⎨⎧==c z y
x 的直线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000 而0M 在准线上，所以
⎩⎨
⎧=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232
2
2
=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 22
2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{
}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧+==-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+=t z z y
y t
x x t
z z y y t
x x 220
0000
而0M 在准线上，所以：
⎩⎨
⎧+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******
2
2
=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为
())3
4,31,3
1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为
)15
13
,1511,152(0--
M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧
=++=
-++++0
7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
S v u Y x +=)(
与
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。

证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，
S v M M ='
即S v M O OM ='-
亦即S v u Y Y =-)(，S v u Y Y +=)( 此即为柱面的矢量式参数方程。

又若将上述方程用分量表达，即：
{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 此即为柱面的坐标式参数方程。

§ 4.2锥面
1、求顶点在原点，准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程。

解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：
z
Z
y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：
0)()(222=-+--y z y z z x
即：02
22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12
2
2
=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
21133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
⎪⎩⎪
⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。

3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。

解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1 ∴与l 垂直的平面之一令为1=++z y x
平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，该圆的圆心为)3
1
,31,
31(，故该圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧
=++=-+-+-1
)
32()31()31()31(2222z y x z y x 它即为要求圆锥面的准线。

对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：
z
Z
y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：
0=++zx yz xy
此即为要求的圆锥面的方程。

4、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。

解：轴线的方程为：
1
42221-=
-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：
0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即： 01122=-++z y x
该平面与轴的交点为)9
37,920,911(
，它与)1,2,3(的距离为： 3
116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d
∴要求圆锥面的准线为：
⎪⎩⎪⎨⎧
=-++=
-+-+-0
11229116)937()920()911(222z y x z y x 对锥面上任一点),,(z y x M ，过该点与顶点的母线为：
4
4
2211--=--=--z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使,)1(10t x X -+=,)2(20t y Y -+=
t z Z )4(40-+=
将它们代入准线方程，并消去t 得：
01299252516518525210412515122=+---+++++z y x zx yz xy z y x
5、已知锥面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，顶点A 决定的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
0()(1)v u v γγγ=+-
与
000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z
=+-⎧⎪
=+-⎨⎪=+-⎩
式中，v u ,为参数。

证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于
((),(),())M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。

//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上） AM vAM '∴=
即00(())v u γγγγ-=- 亦即0()(1)v u v γγγ=+-
此为锥面的矢量式参数方程。

若将矢量式参数方程用分量表示，即：
000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-
⎪⎩
⎪
⎨⎧-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(z
v u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。

§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；
111112x y z -+-==-绕1
112x y z -==
-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112x y z -==
-旋转 （3）1133
x y z -==-绕z 轴旋转；
（4）空间曲线2
221
z x
x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩绕z 轴旋转。

解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线
111
112
x y z -+-==
-上任一点，过1M 的纬圆为： 111222222111()()2()0
(1)(1)(1)
(2)
x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩
又1M 在母线上。

111111
112
x y z -+-∴
==
- 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
22255224444480x y z xy yz xz x y z ++++-+---=
此为所求的旋转面方程。

（2）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
111222222111()()2()0
(1)(1)(1)
(2)
x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩
因1M 在母线上， 1111
211
x y z -∴
==
- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=
此为所求的旋转面的方程。

（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩
又1M 在母线上，所以：
111
1133
x y z -==- （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2229()10690x y z z +---=
此为所求的旋转面方程。

（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1
222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩
又1M 在母线上，所以
2
112211(1)1
(2)
z x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
221x y +=
211101z z x z ==≤∴≤≤
即旋转面的方程为：2
2
1x y += (01)z ≤≤ 2、将直线
01
x
y z
βα
-=
=绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？
解：先求旋转面的方程式：
任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩
又
1
11
01
x y z βα
-=
= （3）
x
从（1）——（3）消去
111
,,
x y z，得到：
222220
x y z
αβ
+--=
此即为所求旋转面的方程。

当0,0
αβ
=≠时，旋转面为圆柱面（以z轴为轴）；
当0,0
αβ
≠=时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴，顶点在原点）；
当,0
αβ≠时，旋转面变为z轴；
当0,0
αβ
=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。

3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()
x x u y y u z z u
===，将曲线Γ绕z轴旋转，求旋转曲面的参数方程。

解：如图，设((),(),())
M x u y u z u为Γ上任一点，则对经过M的纬圆上任一点(,,)
p x y z，令p在xoy面上的射影为p'
令(,)
i opθ
'
∠=，则op op p p
γ''
==+，
而2
op x
'=
2222
()()cos()()sin
op x u y u i x u y u
θθ
'=+⋅++⋅
而()
p p z u k
'=
2222
()()cos()()sin
x u y u i x u y u j
γθθ
=+⋅++⋅
此即为旋转面的矢量式参数方程，v
u,为参数。

其坐标式参数方程为：
(02)
()
x
y
z z u
θ
θθπ
⎧=
⎪
⎪
=≤<
⎨
⎪=
⎪⎩
§4.4椭圆面
1、做出平面20
x-=与椭球面
222
2
1
494
x y z
++=的交线的图形。

解：平面20
x-=与椭球面
222
2
1
494
x y z
++=的交线为：
2
2
39
442
y z x ⎧+=
⎪⎨⎪=⎩ ，即 22
12734y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪ ——椭 图形为
2 解：设动点(,,)M x y z ，要求的轨迹为∑，则
2221
(,,)4344122
M x y z x x y z ∈∑⇔
=
-⇔++=
即：222
1433
x y z ++= 此即为∑的方程。

3、由椭球面222
2221x y z a b c
++=的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r ，
设定方向的方向余弦分别为,,λμν，试证：
222
22221r a b c
λμν=++ 证明：沿定方向{,,}λμν到曲面上一点，该点的坐标为{,,}r r r λμν 该点在曲面上
222222
2221r r r a b c λμν∴++=
即22222221r a b c
λμν=++
4、由椭球面222
2221x y z a b c
++=的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,,p p p ，
设112233,,op r op r op r ===，试证：
222222
123111111
r r r a b c ++=++ 证明：利用上题结果，有222
2222
1(1,2,3)i i i i i r a b c
λμν=++=
其中,,i i i λμν是i op 的方向余弦。

若将(1,2,3)i op i =所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,,λλλ是坐标矢量关于
新坐标系的方向余弦，从而222
1231λλλ++=，同理，
2221231μμμ++=，2221231ννν++= 所以，
222222222
123123123222222123222
111111()()()111
r r r a b c a b c λλλμμμννν++=++++++++=
++
即：
222222
123111111r r r a b c ++=++ 5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ，当直线变动时，直线上的三定点
,,A B C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p ，它与三点的距离分别为,,a b c ，当直线按照这样的规定（即保持,,A B C 分别在三坐标面上）变动，试求p 点的轨
迹。

解：设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ，则知：
2121331221,x z z y
x y z z z z =
=-- 21211221
(
,,0)x z z y
C z z z z ∴-- 又设(,,)p x y z ，,,pA a pB b pC c ===
2222
11
2222222222
21211221()()(1)()()(2)()()(3)
x y y z z a x x y z z b x z z y
x y z c z z z z ⎧
⎪+-+-=⎪⎪-++-=⎨⎪⎪-+-+=--⎪⎩
又p 在AB 的连线上，11
1121
y y z z x x y z z --∴
==--（4） 从（1）——（4）消去1122,,,y z x z ，得到
222
2221x y z a b c
++= 此为点的轨迹方程。

6、已知椭球面222
2221()x y z c a b a b c
++=<<，试求过x 轴并与曲面的交线是圆的平面。

解：设要求的平面为：0y z λ+= 它与椭球面的交线为：
（*） 222
2221
0x y z a b c y z λ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩
若（*）为圆，因（*）以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为a ，从而交线上的点都在球面：2
2
2
2
x y z a ++=上
即有：2
22
22222
21[1(
)]z a z z a b c
λλ-+
++= 亦即：22
2
2
22
2(1)0a a z b c
λλ-
-+= 22
2
2
2210a a b c
λλ∴-
-+= 即：22
2
22(1)1a a b c
λ-=-
222
2
222
a c
b
c b a λ-=⋅-
λ∴=满足要求的平面方程为：0y =
§ 4.5双曲面
1、画出以下双曲面的图形：
（1）
22211694x y z -+=； （2）222
11649
x y z -+=- 解：图形如下：
2、给定方程
222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- 试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？
解：对方程222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- （*） 1º、当A λ>时，（*）不表示任何实图形； 2º、当A B λ>>时，（*）表示双叶双曲面； 3º、当B C λ>>时，（*）表示单叶双曲面； 4º、当C λ<时，（*）表示椭球面。

3、已知单叶双曲面222
1494
x y z +-=，试求平面的方程，使这平面平行于yoz 面（或xoz 面）且与曲面的交线是一对相交直线。

解：设所求的平面为x k =，则该平面与单叶双曲面的交线为：
（*） 222
1
494
x y z x k ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩
亦即 2221944y z k x k ⎧-=-
⎪⎨⎪=⎩
为使交线（*）为二相交直线，则须：2
104
k -=，即2k =± 所以，要求的平面方程为：2x =±
同理，平行于xoy 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：3y =± 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x =的距离的两倍，试求这动点的轨迹。

解：设动点(,,)M x y z ，所求轨迹为∑，则
2222(,,)21(4)4(1)M x y z x x y z x ∈∑⇔
=-⇔-++=-
亦即：222
141212
x y z -
++= 此为∑的轨迹方程。

5、试求单叶双曲面
222
11645
x y z +-=与平面230x z -+=的交线对xoy 平面的射影柱面。

解：题中所设的交线为：
222
1
1645
230x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩
从此方程中消去z ，得到：
2220241160x y x +--=
此即为要求的射影柱面方程。

6、设直线l 与m 为互不垂直的两条异面直线，C 是l 与m 的公垂线的中点，,A B 两点分别在直线l ，m 上滑动，且90ACB ∠=，试证直线AB 的轨迹是一个单叶双曲面。

证明：以l ，m 的公垂线作为z 轴，C 作为坐标原点，再令x 轴与l ，m 的夹角均为α，公垂线的长为2c ，若设tg αλ=，则l 0:y x l z c λ+=⎧⎨=⎩
0:y x m z c
λ-=⎧⎨=-⎩
令11(,,)A x y c ，22(,,)B x y c -，则有：
11220,0y x y x λλ+=-=
又AC CB ⊥，所以：222222222
11221212()()(2)x y c x y c x x y y c +++++=-+-+ 亦即 2
12120x x y y c +-= （2）
又设(,,)M x y z 为AB 上任一点，则
c
c
z y y y y x x x x 2121121--=--=-- (3)
从（1）——（3）中消去2211,,,y x y x ，得：
222222222)1()1(c z y x λλλλλ=+---
即：11122
2
22222
2=+---c z c y c x λλλ (4) l 不垂直m ，1≠∴λ
（4）表示单叶双曲面，即AB 的轨迹是一单叶双曲面。

7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec 与 ⎪⎩
⎪
⎨⎧===u c z v btgu y v
atgu x sec sin cos 解：对方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec
消去参数v u ,，有：122
2222=-+c
z b y a x
此即为单叶双曲面；
又对方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧===u c z v btgu y v atgu x sec sin cos
消去参数v u ,，有：122
2222-=-+c
z b y a x
此即为双叶双曲面方程。

§ 4.6抛物面
1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz 面与yoz 面，且过点)6,2,1(和)1,1,3
1(-，求这个椭圆抛物面的方程。

解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
z b
y a x 222
22=+ 令确定a 与b
)6,2,1( 和)1,1,3
1
(-均在该曲面上。

∴有：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+219112412
222b a b
a 从而
56
1,536122
==b a
所以要求的椭圆抛物面的方程为：z y x 25
65362
2=+ 即：z y x 53182
2
=+
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；
（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2。

解：（1）取定平面为xoy 面，过定点且垂直于xoy 面的直线作为z 轴，则定点的坐标设为
),0,0(a ，而定平面即为0=z ，设比值常数为c ，并令所求的轨迹为∑，则
点c z
a z y x z y x M =-++⇔
∑
∈2
22)(),,(
即02)1(2
2
2
2
2
=+--++a az z c y x
此为的方程。

（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x 轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
⎩
⎨
⎧==⋅+a z x tg y 0
α 与 ⎩
⎨
⎧-==⋅-a z x tg y 0
α 设所求的轨迹为∑，则
α
α
αα
α
α22
2222
221110011100),,(tg tg y
x x a z tg a z y
tg tg y
x x a z tg a z y z y x M +-+-+--=
+++++⇔
∑∈
即
：
22222222)()()()()()(y xtg a z a z tg y xtg a z a z tg ++-+-⋅=-++++⋅αααα
经同解化简得：xy a
z ααcos sin =
此即所要求的轨迹方程。

3、画出下列方程所代表的图形：
（1）1942
2=++z y x ；（2）xy z =；（3）⎩⎨⎧=+=2
22z z y x 4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：
（1）6,1223,63,0,0=++=+=+==z y x y x y x z y （2）;1,2
2
=+=+y ，x z y x 三坐标平面 （3）1,2
1
,
2==-=
y x y z y x （4）1,12
2
2
2=+=+z y y x
解：略。

5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
===2
21sin cos u z v bu y v au x 与 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()
( 式中的v u ,为参数。

解：对方程
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
===2
21sin cos u z v bu y v au x
消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=+
这正是椭圆抛物面的方程。

对方程
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=-
这正是双曲抛物面的方程。

§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、 求下列直纹面的直母线族方程：
（1）02
22=-+z y x （2）axy z = 解：（1）从原方程得：2
2
2
y z x -=- 即：y y z x z x ⋅-=-+))((
亦即：
⎩⎨
⎧-=-=+⇔=--=+y
t z x ty z x t z x y
y z x )( 为了避免取极限，将上方程写成：
⎩⎨
⎧-=-=+sy
t z x ty
z x s )()( （1） 若将原方程变形为：2
22x z y -=-，则可得到： ⎩
⎨
⎧-=-=+ux z y v vx
z y u )()( （2）
若令)(2
1s t u -=
，)(2
1s t v +=
，则（2）便是（1）
∴原曲面的直母线族是（1），其中t s ,不全为零。

（2）原方程变形为：ay x
z
=
亦即：t ay x
z
==
⎩⎨
⎧==∴t
ay xt
z （1）
由
ax y
z
= 得： ⎩⎨
⎧==s
ax sy
z （2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。

2、 求下列直线族所成的曲面（式中的λ为参数）
（1）0112λ
λ-=-=-z y x ； （2）⎩⎨⎧=--=++4
42442z y x z y x λλλλ 解：（1）原方程等价于⎩⎨⎧=-=-λ
λz y
x 2
从此式中消去λ，得：y x z +=2
此即为直母线（1）所形成的曲面。

（2）从原方程中消去λ得：14
1622
2=-+z y x 此即为（2）的直母线族所形成的曲面。

3、在双曲抛物面z y x =-4162
2上，求平行于平面0423=-+z y x 的直母线。

解：双曲抛物面z y x =-4
162
2的两族直母线为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+z y x u u
y
x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z y
x v v y
x )2
4(2
4
第一族直母线的方向矢量为：},1,2{u - 第二族直母线的方向矢量为：},1,2{v 据题意，要求的直母线应满足：
2
04232104232=⇒=-+⨯=⇒=--⨯v v u u
要求的直母线方程为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x y
x 2412
4 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-2
2422
4z y x y
x 4、试证单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的任意一条直母线在xoy 面上的射影，一定是其腰圆
的比线。

证明：单叶双曲面的腰圆为⎪⎩
⎪⎨⎧==+
0122
22z b y a x
两直母线为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=--=+)1(1)1(b y v
c z a x b
y v c z
a x 它在xoy 面内的射影为 ： ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=0
)
1(12z v v
b y v v a x
（2） 将（2）的第一式代入（1）的第一式得：
44)]1(1[222
=+-++b
y v v b y v v
即：0)1()1(2])1(1[
22
2
222=-+-++v v y v v b y v v b
上述方程的判别式为：
0)1()1(4)1(42
22
2222=-+--=
∆v v v v b
v v b ∴ （2）与（1）相比，证毕。

5、求与两直线11236-==-z y x 与21
4
283-+=
-=z y x 相交，而且与平面0532=-+y x 平行的直线的轨迹。

解：设动直线与二已知直线分别交于),,(),,,(111000z y x z y x ，则
11236000-==-z y x ，21
4
283111-+=-=z y x 又动直线与平面0532=-+y x 平行，所以，0)(3)(21010=-+-y y x x
对动直线上任一点),,(z y x M ，有：
10
010010z z z z y y y y x x x x --=--=--
从（1）——（4）消去111000,,,,,z y x z y x ，得到：z y x 44
92
2=- 6、求与下列三条直线
⎩⎨
⎧==z y x 1
， ⎩⎨
⎧-=-=z
y x 1 与52
4132+=+=--z y x 都共面的直线所构成的曲面。

解：动直线不可能同时平行于直线⎩
⎨
⎧==z y x 1
及直线⎩⎨⎧-=-=z y x 1
不妨设其与第一条直线交于),,1(λλp
注),,1(λλp 与第二条直线的平面为：0)()1(=+-+z y x λ 过p 与直线
5
2
4132+=
+=--z y x 的平面为0)]()1(3[)](3)1[(=++----+z y x z y x λ 动直线的方程为：⎩⎨
⎧=++----+=+-+0
)]()1(3[)](3)1[(0
)()1(z y x z y x z y x λλ
从上式中消去参数λ，得：12
2
2
=-+z y x
此为所要求的轨迹方程。

7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。

证明：单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的一族直母线为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-+=+)1()()1()(b y u c
z a x v b
y v c z
a x u 过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()(
[=---++-+b
y
u c z a x v t b y v c z a x u s 即：0)1()()1()(=---++-+b
y
tu c z a x tv b y sv c z a x su （1）
另一族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=--=+)1()()1()(b
y m c
z a x n b y
n c
z
a x m
过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()(
[=+--+--+b
y
m c z a x n l b y n c z a x m k 即0)1()()1()(=+--+--+b
y
ml c z a x nl b y kn c z a x km （2）
对照（1）、（2）得，只要令v l t n u k s m ====,,,，得（2）便是（1）了 亦即过u 族每一直母线的任一平面都经过v 族中的一条直母线，
同理，对v 族的直母线也有类似性质。

对双曲抛物面：z b
y a x 222
22=-
其族直母线为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+z b
y a
x u u b y
a x )(2 （*）
取其中的一条（即取定u ），显然平面u b
y
a x 2=+通过直母线（*）
，但该平面不通过v 族直母线中的任何一条，这是因为：
v 族直母线
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=-z v b
y a x w b
y a x )( 的方向矢量为}2,1,
1{ab
v
a b 而 02201111≠=⋅+⋅+⋅ab ab v a b b a
∴平面u b
y
a x 2=+不能通过v 族中的任何直母线。

8、试求单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。

解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u 母线和一条v 母线，
所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-+=+)1()()1()(b y w c
z a x u b
y u c z
a x w
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=--=+)1()()1()(b
y t c
z a x v b y
v c z
a x t 将两方程化为标准式，得：
)
(2)(2)(2)(22222222t v c vt t v a z bvt y t v a vt v t a x +--
=-=-+- 由此求出二直线的交点坐标为：
ut
vw wt uv c z ut vw ut vw b y ut vw wt uv a x +-=
+-=++=
)
(,)(,)( 又二直线垂直，
0))((4))((22222222222=+++---∴t v w u c uvwt b t v w u a
2222222222222222222222222
2222222222222222222222222222222222
2
222222
2
2
)()2)(()(4)(2)())(()()(2)())(()()(2)()()()()()()(ut vw uvwt t u v w c b a ut vw uvwt b uvwt c b a t u w v b t u v w c a ut vw uvwt c b a t u w v b c a t w v u ut vw uvwt c b a t w v u c t u w v b t w v u a ut vw wt uv c ut vw b wt uv a z y x +++-+=
++--++++-=
+--+++++=
+--++++++=
+-+-++=
++∴
222c b a -+=
即2
2
2
2
2
2
c b a z y x -+=++
又交点在单叶双曲面上，所以：122
2222=-+c
z b y a x
故交点的轨迹为⎪⎩
⎪⎨⎧-+=++=-+
c b a z y x c z b y a x 2222222
22221
9、试证明双曲抛物面)(222
22b a z b
y a x ≠=-上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲
线上。

证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条u 族直母线，也仅有一条v 族直母线，所以同族的直母线不能相交。

设两相交的直母线为：
⎩⎨
⎧=--=-+0
2abz uay ubx abu ay bx 其方向矢量为}2,,{u b a - 与 ⎩
⎨⎧=-+=--00
2abz uay ubx abu ay bx 其方向矢量为}2,,{v b a
由二直线直交，所以：)(4
10422
22a b uv uv b a -=
⇒=+- （*）
二直母线的交点坐标为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 但由（*）式有：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=-22
22
22
222a b z a b b y a x （* *）
（* *）为一双曲线方程，∴交点在一双曲线上。

10、已知空间两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2，过这两条直线分别作平面，并使这
两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。

解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z 轴，公垂线的中点为原点O ，让x 轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为：
⎩
⎨
⎧==⋅+a z x tg y 0
α 与 ⎩
⎨
⎧-==⋅-a z x tg y 0
α 过这两直线的平面为：
0)()(:1=⋅++-x tg y u a z αλπ
0)()(:2=⋅-++x tg y m a z l απ
二平面的交线为：⎩⎨⎧=⋅-++=⋅++-0
)()(0
)()(x tg y m a z l x tg y u a z ααλ （1）
21ππ⊥
0)1(2=-+∴αλtg um l
（2）
当二异面直线不直交时，1≠αtg ，从（1）（2）中消去m l u ,,,λ，得：
1)1()1(2
2
222222=+---a z tg a y ctg a x αα ——单叶双曲面
此为要求的轨迹方程。

当二异面直线直交时，则1=αtg ，此时，（1）（2）变为：
⎩⎨
⎧=-++=++-0
)()(0
)()(x y m a z l x y u a z λ )1(' 0=l λ )2('
当0=λ时，)1('为⎩
⎨⎧=-++=+0)()(0x y m a z l x y
它的轨迹为平面0=+x y 。

当0=l 时，)1('为⎩
⎨⎧=-=++-00)()(x y x y u a z λ
它的轨迹为平面0=-x y
从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：
0=+x y 与 0=-x y。