高精度数控机床非均匀有理b样条曲线插补控制研究
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高精度数控机床非均匀有理B样条曲线 插 * 补控制研究
□ 张盼盼 口 吴凤彪 □ 张子英
山西能源学院机电工程系太原030600
摘 要：在复杂曲面数控加工中，经常应用非均匀有理B样条曲线。介绍了非均匀有理B样条曲
线插补原理，分析了传统非均匀有理B样条曲线插补方法，即泰勒展开法，确认泰勒展开法在计算精度
proposed to adopt the secant method to carry out NURBS curve interpolation. The principle of secant
interpolation was introduced, and the problems of the initial value and the termination judgment of iterative
(1) 确定初始插补点的参数“，和初始点的坐标 G {%(“；) ,y(u；) ,z(u. )}；
(2) 根据设定的插补算法，利用初始插补点参数 对下一处的插补点参数““，进行计算；
(3) 将插补点参数代入NURBS曲线方程，计 算新的插补点坐标 C,.| { x( uifI ) ,y( uitl ) ,z( uit, ) | o
high-precision NC machine tool.
Keywords: NC Machine Tool NURBS Curve Interpolation Control
1研究背景
插补计算是数控系统的核心技术，也是系统软件 对机床实时运动控制的关键，可以实现对刀具加工轨 迹的插值细化，使刀具轨迹逼近给定零件的轮廓外形， 并在各插补周期内输出机床运动的实时控制数据。中 低精度数控机床在复杂曲线加工中，通常采用直线插 补法或圆弧插补法，将曲线分解为多段微小线段或圆 弧。这种方法的问题在于线段连接处一阶不可导，从 而严重影响加工曲线的光滑性、加工精度和刀具寿命。 另一方面，为提高精度，这种方法会生成大量数据点， 从而造成机床负载严重，传输错误概率增大。为解决 以上问题，在高端数控领域引入了非均匀有理B样条 (NURBS)曲线插补控制技术，但对于具体插补算法， 仍有诸多问题需要解决，笔者对此进行研究。
文献标志码：A 文章编号：1000 - 4998(2020)03 - 0059 - 04
Abstract: In NC machining of the complex surface, the NURBS curve is often used. The principle of
NURBS curve interpolation was introduced. The traditional interpolation method for NURBS curve i. e. the
NURBS曲线方程的可变参数为u,u是关于时间t
•国家自然科学基金资助项目(编号:51905496)；山西能源学院科研基金资助项目(编号:ZY- 2018004) 机植制凿总第667期
2020,58(3) | 59
制造.材料
的函数。以上插补过程实际是利用特定插补方法求取 ""时刻参数5“的过程。这一插补方法的优劣直接影 响实际所得曲线的逼近误差和插补计算时间，可见，插 补方法是NURBS曲线插补控制的核心技术宀“。
2 NURBS曲线插补原理
数学研究表明，三维空间下任意形状曲线都可以 表达为特定的NURBS曲线方程。正是由于这一特性， NURBS曲线被广泛应用于计算机辅助制图和辅助加 工等领域。数控加工过程中.通过不断对NURBS曲线 进行分段插补计算.最终可以近似得到所要的零件外 形。插补周期为系统预设值，插补原理如下：
题，笔者釆用割线法进行NURBS曲线插补。 4. 1 原理
实际上，任何NURBS曲线插补都是用微小直线段
和时效性等方面存在不足。针对泰勒展开法存在的不足，提出采用割线法进行非均匀有理B样条曲线
插补。介绍了割线法插补原理，分析了迭代运算初值及终止判定问题。通过对比确认，割线法求解时间
短，精度较高，可以满足高精度数控机床非均匀有理B样条曲线的插补控制要求。
关键词：数控机床非均匀有理B样条曲线插补控制
中图分类号：TH162
3传统NURBS曲线插补方法
泰勒展开法在数控机床控制系统中应用广泛，是 一种较为传统和成熟的NURBS曲线插补方法[5-6Io 3.1 原理
根据高等数学泰勒展开公式，NURBS曲线上参数 u关于t的泰勒展开为：
式中：八为设定插补周期为展开式中
三阶以上的高阶项。
根据速度定义，NURBS曲线上各插补点的瞬时速 度。(“,)为曲线方程C(“)的一阶导数，可表示为：
dC(u)
dC( u) du
(2)
dz
u=u数为：
du
v( Ui)
(3)
dr t = r dC( u)
du u = u
将式(3)代入式(1 ),忽略二阶及高阶展开项，则
式(1)可简化为:
Q("i)
%
叫+ dC(u)
du
c,
:
▲图1 弓高误差示意图
4割线法
针对传统泰勒展开法在曲率较大位置的误差问
operation were analyzed. It is confirmed through comparison that the secant method has a short solution time
and high accuracy, which can meet the interpolation control requirements for the NURBS curve in
Taylor expansion method was analyzed. It is confirmed that the Taylor expansion method has shortcomings in
calculation accuracy and timeliness. In view of the shortcomings of the Taylor expansion method, it was
□ 张盼盼 口 吴凤彪 □ 张子英
山西能源学院机电工程系太原030600
摘 要：在复杂曲面数控加工中，经常应用非均匀有理B样条曲线。介绍了非均匀有理B样条曲
线插补原理，分析了传统非均匀有理B样条曲线插补方法，即泰勒展开法，确认泰勒展开法在计算精度
proposed to adopt the secant method to carry out NURBS curve interpolation. The principle of secant
interpolation was introduced, and the problems of the initial value and the termination judgment of iterative
(1) 确定初始插补点的参数“，和初始点的坐标 G {%(“；) ,y(u；) ,z(u. )}；
(2) 根据设定的插补算法，利用初始插补点参数 对下一处的插补点参数““，进行计算；
(3) 将插补点参数代入NURBS曲线方程，计 算新的插补点坐标 C,.| { x( uifI ) ,y( uitl ) ,z( uit, ) | o
high-precision NC machine tool.
Keywords: NC Machine Tool NURBS Curve Interpolation Control
1研究背景
插补计算是数控系统的核心技术，也是系统软件 对机床实时运动控制的关键，可以实现对刀具加工轨 迹的插值细化，使刀具轨迹逼近给定零件的轮廓外形， 并在各插补周期内输出机床运动的实时控制数据。中 低精度数控机床在复杂曲线加工中，通常采用直线插 补法或圆弧插补法，将曲线分解为多段微小线段或圆 弧。这种方法的问题在于线段连接处一阶不可导，从 而严重影响加工曲线的光滑性、加工精度和刀具寿命。 另一方面，为提高精度，这种方法会生成大量数据点， 从而造成机床负载严重，传输错误概率增大。为解决 以上问题，在高端数控领域引入了非均匀有理B样条 (NURBS)曲线插补控制技术，但对于具体插补算法， 仍有诸多问题需要解决，笔者对此进行研究。
文献标志码：A 文章编号：1000 - 4998(2020)03 - 0059 - 04
Abstract: In NC machining of the complex surface, the NURBS curve is often used. The principle of
NURBS curve interpolation was introduced. The traditional interpolation method for NURBS curve i. e. the
NURBS曲线方程的可变参数为u,u是关于时间t
•国家自然科学基金资助项目(编号:51905496)；山西能源学院科研基金资助项目(编号:ZY- 2018004) 机植制凿总第667期
2020,58(3) | 59
制造.材料
的函数。以上插补过程实际是利用特定插补方法求取 ""时刻参数5“的过程。这一插补方法的优劣直接影 响实际所得曲线的逼近误差和插补计算时间，可见，插 补方法是NURBS曲线插补控制的核心技术宀“。
2 NURBS曲线插补原理
数学研究表明，三维空间下任意形状曲线都可以 表达为特定的NURBS曲线方程。正是由于这一特性， NURBS曲线被广泛应用于计算机辅助制图和辅助加 工等领域。数控加工过程中.通过不断对NURBS曲线 进行分段插补计算.最终可以近似得到所要的零件外 形。插补周期为系统预设值，插补原理如下：
题，笔者釆用割线法进行NURBS曲线插补。 4. 1 原理
实际上，任何NURBS曲线插补都是用微小直线段
和时效性等方面存在不足。针对泰勒展开法存在的不足，提出采用割线法进行非均匀有理B样条曲线
插补。介绍了割线法插补原理，分析了迭代运算初值及终止判定问题。通过对比确认，割线法求解时间
短，精度较高，可以满足高精度数控机床非均匀有理B样条曲线的插补控制要求。
关键词：数控机床非均匀有理B样条曲线插补控制
中图分类号：TH162
3传统NURBS曲线插补方法
泰勒展开法在数控机床控制系统中应用广泛，是 一种较为传统和成熟的NURBS曲线插补方法[5-6Io 3.1 原理
根据高等数学泰勒展开公式，NURBS曲线上参数 u关于t的泰勒展开为：
式中：八为设定插补周期为展开式中
三阶以上的高阶项。
根据速度定义，NURBS曲线上各插补点的瞬时速 度。(“,)为曲线方程C(“)的一阶导数，可表示为：
dC(u)
dC( u) du
(2)
dz
u=u数为：
du
v( Ui)
(3)
dr t = r dC( u)
du u = u
将式(3)代入式(1 ),忽略二阶及高阶展开项，则
式(1)可简化为:
Q("i)
%
叫+ dC(u)
du
c,
:
▲图1 弓高误差示意图
4割线法
针对传统泰勒展开法在曲率较大位置的误差问
operation were analyzed. It is confirmed through comparison that the secant method has a short solution time
and high accuracy, which can meet the interpolation control requirements for the NURBS curve in
Taylor expansion method was analyzed. It is confirmed that the Taylor expansion method has shortcomings in
calculation accuracy and timeliness. In view of the shortcomings of the Taylor expansion method, it was