2020春华东师大版八年级数学下册习题课件：第18章 整合提升(共18张PPT)
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(2)要使∠F＝∠BCF，需▱ABCD 的边长之间是 2 倍关系，即 BC＝2AB，证 明：由(1)知△CDE≌△FAE，CD＝AF，又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB，∴AB＝AF，即 BF＝2AB，∴BF＝BC，∴∠F＝∠BCF.
平行四边形的判定 【例 2】已知，如图，在▱ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别为 BO、DO 的中点．
(1)求证：OA＝OC，OB＝OD； (2)求证：四边形 AECF 是平行四边形； (3)如果点 E、F 分别在 DB 和 BD 的延长线上时，且满足 BE＝DF，上述结 论仍然成立吗？请说明理由．
【思路分析】(1)根据平行四边形的对角线互相平分，可得到结论； (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据这个判定定理可证明； (3)仍然成立的，仍旧根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明．
(1)证明：略；Baidu Nhomakorabea
(2)解：设 PC＝xcm 时，四边形 ABPQ 是平行四边形，∴AQ＝BP， ∵△PCM≌△QDM，∴CP＝DQ，∵AD＝5cm，BC＝8cm，∴5＋x＝8－x，
可得 x＝1.5，即当 P 在 BC 上运动到离 C 点 1.5cm 处时，四边形 ABPQ 是 平行四边形．
13．分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边 AB、CD、DA 为斜边作等腰直角△ ABE、△CDG、△ADF. (1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 GF、EF， 请判断 GF 与 EF 的关系；(只写结论，不需证明) (2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 GF、EF， (1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【规范解答】(1)∵四边形 ABCD 是平形四边形，∴OA＝OC，OB＝OD； (2)当 E、F 分别为 OB、OD 中点，∴OE＝12OB，OF＝12OD，由(1)知 OB＝ OD，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形 AECF 是平行四边形； (3)成立．理由：∵ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵E、 F 在 DB 和 BD 的延长线上，且 BE＝DF，∴BE＋BO＝DF＋OD，即 OE＝ OF，∴四边形 AECF 是平行四边形．
BD 上的两点，且 BG＝DH，则下列结论中不正确的是( A )
A．GF⊥FH
B．GF＝EH
C．EF 与 AC 互相平分
D．EG＝FH
6．如图，E 是平行四边形 ABCD 内任一点，若 S▱ABCD＝8，则图中阴影部
分的面积是( B )
A．3
B．4
C.5
D．6
7．若平行四边形中两个内角的度数比为 1∶2，则其中较大的内角是 120 度．
逐 打 闹 ;有
数学 八年级 下册 • HS
第18章 平行四边形
整合提升
【例 1】已知：如图，在▱ABCD 中，E 为 AD 的中点，CE 的延长线交 BA 的延长线于点 F. (1)求证：CD＝FA； (2)若要使∠F＝∠BCF，则▱ABCD 的边长之间还需再 添加一个什么条件：请你补上这个条件，并进行证明 (不要再增添辅助线)．
8．如图是一个含 30°角的直角三角形，它的较长直角边的两个顶点分别放 在平行四边形的一组对边上，若∠1＝25°，则∠2＝ 115° . 9．如图，把▱ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1 处，折痕 为 EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD 的度数为 55° .
10．如图，已知等边△ABC 的边长为 8，P 是△ABC 内一点，PD∥AC，PE ∥AB，PF∥BC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，则 PD＋PE＋PF ＝8 . 11．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点 D、E 分别是 BC、AD 的中点，AF∥BC 交 CE 的延长线于 F，则四边形 AFBD 的面积为
平行四边形性质和判定的综合运用 【例 3】如图，在▱ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，BE＝DF，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且 AG＝CH，连接 GE、EH、HF、 FG，求证：四边形 GEHF 是平行四边形．
【思路分析】连接 DG、BH、GH，GH 交 BD 于 O，由▱ABCD 得 AB 綊 CD， 又∵AG＝CH，得 BG 綊 DH，即 BGDH 是平行四边形，BO＝DO，GO＝ HO，又∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形 GEHF 是平行四边形．
盖 上 了 厚 厚 的大棉 被,那是 ,万物都 是银光 耀眼。 今 天 ,我 们 正 在安静 地上晚 读课,突 然一个 尖叫打 破了这 宁静的 “夜晚 ”“哦 !大 家 看 !下 雪 啦 !”我 们 教 室 里 瞬 间 炸开 了锅,许 多同学 都纷纷 议论起 来,都 在问会 不会积 起 雪 来 。 玉 屑似的 雪末从 天空左 摇摇,右 晃晃,还 挤挤撞 撞,就 像一个 喝醉酒 的人在 走 八 仙 步 。 空,随风 飘扬的 雪花,一 会儿贴 在了墙 上,一 会儿贴 在了玻 璃上,一 会儿上 , 一 会 儿 下 ,到 处飞舞 ,好像一 个顽皮 的小孩 与我们 玩捉迷 藏。雪 花落在 了房子 上,好 像 给 房 子 戴 上了一 顶白帽 子;雪花 落在树 枝上好 像披上 了厚厚 白衣;雪 花落 在了花 草 的 枯 枝 上 ,好像带 上了一 条白纱 巾;雪 花落在 地上,,好 似“巧 克力奶 油派” 。片片 雪 花 随 风 飞 舞,好像 白色的 精灵穿 梭于世 界各个 角落,令 大地华 光四溢 ,精彩 分呈。 晚 读 课 结 束 后,我们 一溜烟 地跑出 教室,有 的把手 摊开,在 那接 雪;有的 在雪奔 跑着,追
A 的度数为( C )
A．65°
B．100°
C．115°
D．135°
4．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，∠CBD＝90°，
BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形 ABCD 的面积为( D )
A．6
B．12
C.20
D．24
5．如图，在▱ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 边的中点，G、H 是对角线
12 .
12．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝8cm，M 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一个动点(P 与 B、C 不重合)，连接 PM 并延长交 AD 的延长线于 Q. (1)求证：△PCM≌△QDM； (2)当 P 在 B、C 之间运动到什么位置时，四边形 ABPQ 是平行四边形？并 说明理由．
【思路分析】(1)根据平行四边形的性质，可得 CD∥AB，∠D＝∠EAF，又 已知 DE＝AE，∠CED＝∠FEA，利用 ASA，可证△CDE≌△FAE，所以 CD＝FA；
(2)在第(1)问的基础上，若要使∠F＝∠BCF，就必须使 BC＝BF，继而推出 BC＝2BA，即为所求．
【规范解答】(1)∵ABCD 是▱，∴AB∥CD，∴∠D＝∠EAF，∵CF 与 AD 相 交 于 AD 的 中 点 E ， ∴∠CED ＝ ∠FEA ， DE ＝ AE ， ∴△CDE≌△FAE(ASA)，∴CD＝AF；
边形 ABCD 是平行四边形的是( C )
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．∠A＝∠C
D．∠A＝∠B
2．四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论中错误的是( C )
A．AB＝CD
B．AD∥BC
C．∠A＝∠B
D．对角线互相平分
3．如图，E 为▱ABCD 外一点，且 EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝65°，则∠
初 一 写 景 作 文：美 丽的雪 花
美丽的雪花
冬 天 ,最 令 人 陶醉的 自然是 雪景,雪 是洁白 ,美丽 ,而可爱 。雪那 洁白而 不刺眼 的色彩 是 最 刺 眼 的 ,就算是 天上的 云朵,海 上的浪 花,在 它面前 也似乎 逊色了 。雪总 是在人 不 知 不 觉 的 时候,悄 悄地来 到人世 间,它们 给房子 ,树木 ,都披上 了华丽 的银装 ,给大地
∴∠EFG＝90°，∴GF⊥EF 且 GF＝EF.
解：(1)GF⊥EF 且 GF＝EF；
(2)GF⊥EF，GF＝EF 成立．理由：∵ABCD 是平行四边形，∴AB 綊 CD，
又∵△ABE、△CDG、△ADF 均为等腰直角三角形，∴DG＝EA，FD＝AF， ∠CDG ＝ ∠FDA ＝ ∠FAD ＝ ∠EAB ＝ 45°， 可 得 ∠FDG ＝ ∠EAF ， ∴△FDG≌△FAE(SAS)，∴FG＝FE，∠DFG＝∠EFA，∵∠AFD＝90°，
【规范解答】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB 綊 CD，又∵AG＝CH，
∴BG 綊 DH，即四边形 BGDH 是平行四边形，∴BO＝DO，GO＝HO，又 ∵BE＝DF(已知)，∴EO＝FO，在四边形 GEHF 中，∵GO＝HO，EO＝FO， ∴四边形 GEHF 是平行四边形．.
1.已知在四边形 ABCD 中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四
平行四边形的判定 【例 2】已知，如图，在▱ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别为 BO、DO 的中点．
(1)求证：OA＝OC，OB＝OD； (2)求证：四边形 AECF 是平行四边形； (3)如果点 E、F 分别在 DB 和 BD 的延长线上时，且满足 BE＝DF，上述结 论仍然成立吗？请说明理由．
【思路分析】(1)根据平行四边形的对角线互相平分，可得到结论； (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据这个判定定理可证明； (3)仍然成立的，仍旧根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明．
(1)证明：略；Baidu Nhomakorabea
(2)解：设 PC＝xcm 时，四边形 ABPQ 是平行四边形，∴AQ＝BP， ∵△PCM≌△QDM，∴CP＝DQ，∵AD＝5cm，BC＝8cm，∴5＋x＝8－x，
可得 x＝1.5，即当 P 在 BC 上运动到离 C 点 1.5cm 处时，四边形 ABPQ 是 平行四边形．
13．分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边 AB、CD、DA 为斜边作等腰直角△ ABE、△CDG、△ADF. (1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 GF、EF， 请判断 GF 与 EF 的关系；(只写结论，不需证明) (2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 GF、EF， (1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【规范解答】(1)∵四边形 ABCD 是平形四边形，∴OA＝OC，OB＝OD； (2)当 E、F 分别为 OB、OD 中点，∴OE＝12OB，OF＝12OD，由(1)知 OB＝ OD，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形 AECF 是平行四边形； (3)成立．理由：∵ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵E、 F 在 DB 和 BD 的延长线上，且 BE＝DF，∴BE＋BO＝DF＋OD，即 OE＝ OF，∴四边形 AECF 是平行四边形．
BD 上的两点，且 BG＝DH，则下列结论中不正确的是( A )
A．GF⊥FH
B．GF＝EH
C．EF 与 AC 互相平分
D．EG＝FH
6．如图，E 是平行四边形 ABCD 内任一点，若 S▱ABCD＝8，则图中阴影部
分的面积是( B )
A．3
B．4
C.5
D．6
7．若平行四边形中两个内角的度数比为 1∶2，则其中较大的内角是 120 度．
逐 打 闹 ;有
数学 八年级 下册 • HS
第18章 平行四边形
整合提升
【例 1】已知：如图，在▱ABCD 中，E 为 AD 的中点，CE 的延长线交 BA 的延长线于点 F. (1)求证：CD＝FA； (2)若要使∠F＝∠BCF，则▱ABCD 的边长之间还需再 添加一个什么条件：请你补上这个条件，并进行证明 (不要再增添辅助线)．
8．如图是一个含 30°角的直角三角形，它的较长直角边的两个顶点分别放 在平行四边形的一组对边上，若∠1＝25°，则∠2＝ 115° . 9．如图，把▱ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1 处，折痕 为 EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD 的度数为 55° .
10．如图，已知等边△ABC 的边长为 8，P 是△ABC 内一点，PD∥AC，PE ∥AB，PF∥BC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，则 PD＋PE＋PF ＝8 . 11．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点 D、E 分别是 BC、AD 的中点，AF∥BC 交 CE 的延长线于 F，则四边形 AFBD 的面积为
平行四边形性质和判定的综合运用 【例 3】如图，在▱ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，BE＝DF，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且 AG＝CH，连接 GE、EH、HF、 FG，求证：四边形 GEHF 是平行四边形．
【思路分析】连接 DG、BH、GH，GH 交 BD 于 O，由▱ABCD 得 AB 綊 CD， 又∵AG＝CH，得 BG 綊 DH，即 BGDH 是平行四边形，BO＝DO，GO＝ HO，又∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形 GEHF 是平行四边形．
盖 上 了 厚 厚 的大棉 被,那是 ,万物都 是银光 耀眼。 今 天 ,我 们 正 在安静 地上晚 读课,突 然一个 尖叫打 破了这 宁静的 “夜晚 ”“哦 !大 家 看 !下 雪 啦 !”我 们 教 室 里 瞬 间 炸开 了锅,许 多同学 都纷纷 议论起 来,都 在问会 不会积 起 雪 来 。 玉 屑似的 雪末从 天空左 摇摇,右 晃晃,还 挤挤撞 撞,就 像一个 喝醉酒 的人在 走 八 仙 步 。 空,随风 飘扬的 雪花,一 会儿贴 在了墙 上,一 会儿贴 在了玻 璃上,一 会儿上 , 一 会 儿 下 ,到 处飞舞 ,好像一 个顽皮 的小孩 与我们 玩捉迷 藏。雪 花落在 了房子 上,好 像 给 房 子 戴 上了一 顶白帽 子;雪花 落在树 枝上好 像披上 了厚厚 白衣;雪 花落 在了花 草 的 枯 枝 上 ,好像带 上了一 条白纱 巾;雪 花落在 地上,,好 似“巧 克力奶 油派” 。片片 雪 花 随 风 飞 舞,好像 白色的 精灵穿 梭于世 界各个 角落,令 大地华 光四溢 ,精彩 分呈。 晚 读 课 结 束 后,我们 一溜烟 地跑出 教室,有 的把手 摊开,在 那接 雪;有的 在雪奔 跑着,追
A 的度数为( C )
A．65°
B．100°
C．115°
D．135°
4．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，∠CBD＝90°，
BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形 ABCD 的面积为( D )
A．6
B．12
C.20
D．24
5．如图，在▱ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 边的中点，G、H 是对角线
12 .
12．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝8cm，M 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一个动点(P 与 B、C 不重合)，连接 PM 并延长交 AD 的延长线于 Q. (1)求证：△PCM≌△QDM； (2)当 P 在 B、C 之间运动到什么位置时，四边形 ABPQ 是平行四边形？并 说明理由．
【思路分析】(1)根据平行四边形的性质，可得 CD∥AB，∠D＝∠EAF，又 已知 DE＝AE，∠CED＝∠FEA，利用 ASA，可证△CDE≌△FAE，所以 CD＝FA；
(2)在第(1)问的基础上，若要使∠F＝∠BCF，就必须使 BC＝BF，继而推出 BC＝2BA，即为所求．
【规范解答】(1)∵ABCD 是▱，∴AB∥CD，∴∠D＝∠EAF，∵CF 与 AD 相 交 于 AD 的 中 点 E ， ∴∠CED ＝ ∠FEA ， DE ＝ AE ， ∴△CDE≌△FAE(ASA)，∴CD＝AF；
边形 ABCD 是平行四边形的是( C )
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．∠A＝∠C
D．∠A＝∠B
2．四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论中错误的是( C )
A．AB＝CD
B．AD∥BC
C．∠A＝∠B
D．对角线互相平分
3．如图，E 为▱ABCD 外一点，且 EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝65°，则∠
初 一 写 景 作 文：美 丽的雪 花
美丽的雪花
冬 天 ,最 令 人 陶醉的 自然是 雪景,雪 是洁白 ,美丽 ,而可爱 。雪那 洁白而 不刺眼 的色彩 是 最 刺 眼 的 ,就算是 天上的 云朵,海 上的浪 花,在 它面前 也似乎 逊色了 。雪总 是在人 不 知 不 觉 的 时候,悄 悄地来 到人世 间,它们 给房子 ,树木 ,都披上 了华丽 的银装 ,给大地
∴∠EFG＝90°，∴GF⊥EF 且 GF＝EF.
解：(1)GF⊥EF 且 GF＝EF；
(2)GF⊥EF，GF＝EF 成立．理由：∵ABCD 是平行四边形，∴AB 綊 CD，
又∵△ABE、△CDG、△ADF 均为等腰直角三角形，∴DG＝EA，FD＝AF， ∠CDG ＝ ∠FDA ＝ ∠FAD ＝ ∠EAB ＝ 45°， 可 得 ∠FDG ＝ ∠EAF ， ∴△FDG≌△FAE(SAS)，∴FG＝FE，∠DFG＝∠EFA，∵∠AFD＝90°，
【规范解答】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB 綊 CD，又∵AG＝CH，
∴BG 綊 DH，即四边形 BGDH 是平行四边形，∴BO＝DO，GO＝HO，又 ∵BE＝DF(已知)，∴EO＝FO，在四边形 GEHF 中，∵GO＝HO，EO＝FO， ∴四边形 GEHF 是平行四边形．.
1.已知在四边形 ABCD 中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四