微分方程

初始条件
解定解问题
dx k k + x= d t 5400 2500
x t = 0 = 0.12×54
得 k=?
0.06 ×5400 = 0.06×54 t = 30 时 x = 100 k =180ln 4 ≈ 250
m3 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
MATLAB中微分方程的数值解 MATLAB中微分方程的数值解 s=dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…,’初始条件1’，’ 初始条件2’ …,’自变量’)(P257附录B4) 用字符串方程表示，自变量缺省值为t。 导数用D表示，2阶导数用D2表示。 S返回解析解。 dx k k 例： + x=
−∫ P( x) dx
三、微分方程应用问题
例5. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? ( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 5400 , 提示: 提示 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 的改变量为 则在 [ t , t + ∆t ]内车间内 0.04 x ∆t − k ⋅ ∆t ∆x = k ⋅ 两端除以 ∆t , 100 5400 并令 ∆t → 0 得微分方程
一阶线性方程
dy + P( x) y = Q( x) dx
∫ 令µ = e
令µ = y e
P ( x ) dx
全微分方程
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ∂M ∂N = ∂y ∂x
x = X + h 令 y = Y + k ∆=0 ∆≠0
∆= a b
− n ( n −1) P ( x ) dx
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x dy − y dx x dx − =0 2 x 1 2 y 1 2 y 即 d ( x ) − d( ) = 0, 或 d ( x − ) = 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x − = C 2 x
练习
P211：习题8.2---1.求下列微分方程的通解 （15）(3x + 6xy )dx + (6x y + 4y )dy = 0
作业
P211：习题8.2 1（17）（18） 3
2 2 2 3
思考: 思考 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
二、积分因子法
若存在连续可微函数 µ = µ(x, y) ≠ 0, 使 为全微分方程, 则 µ(x, y)为原方程的积分因子 称 积分因子. 积分因子 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
2 2 3 2
令u = a x + by
可分离变量方程
g ( y ) dy = f ( x)dx
令 µ = g ( y)
y = u ( x )e ∫
− P ( x ) dx
令u =
y x
齐次方程
M ( x, y ) dy y =− 1 = ϕ( ) dx N1 ( x, y ) x
1 令µ = xM 1 + yN1
∫
可化为齐次的方程
伯努利方程
dy + P ( x) y = Q ( x) a1 b1
dy = f dx
(
a x + by + c a1 x + b1 y + c 1
)
c 2 + c12 ≠ 0
例4.解方程 解法1 解法 积分因子法. 原方程变形为
1) dx ± dy = d ( x ±y ) 3) xdx + ydy = d( 1 (x2 +y2 ) ) 2
常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式:
2) xdy + ydx = d ( xy )
x −y ydx − xdy ydx − xdy 5) = d( ) 4) = d( ) 2 2 y x y x ydx − xdy x 积分因子不一定唯一 . 6) = d ( ln ) xy y 例如, 对 ydx − xdy = 0 x ydx − xdy 7) = d ( arctan ) 可取 2 2 y x +y
h
b
Pa
v
x
v = a + b =( a −
由此得微分方程 即
bx x +y
2 2
,
− by
2
x +y
2
)
o
dx vx a x2 + y2 x = =− + by y dy vy
a dx =− b dy
(
x y
)
2
x ( 齐次方程 ) +1 + y
解析解程序见：ex2.m 解析解程序见：
定解条件 x
y=h
= 0.
内容小结
1、全微分方程：P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 方法1 利用积分与路径无关的条件; 方法1 利用积分与路径无关的条件; 方法2 凑微分法+ 方法2 凑微分法+积分因子法 2、微分方程应用问题（正确建立数学模型） 要点： 要点：利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件 3、MATLAB中微分方程的解析解 dsolve(‘方程1’, ’初始条件1’,’自变量’)
例1. 求解
(5x4 + 3xy2 − y3 ) dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 ) dy = 0 ∂P 2 ∂Q = 6xy − 3y = , 故这是全微分方程. 解: 因为 ∂y ∂x 取 x0 = 0, y0 = 0, 则有
+ ∫ (3 x2 y − 3xy2 + y2 ) dy u (x, y) = ∫ 5 x dx 0
4 0 x
y
1 3 3 2 2 3 = x + x y − xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y − xy + y = C 2 3
5
y
(x, y)
o (x,0) x
例2. 求解
∂P 1 ∂Q 解: ∵ = 2 = , ∴ 这是一个全微分方程 . ∂x ∂y x
第8章 微分方程
微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 一阶微分方程 二阶微分方程
教学目的
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。 会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方 程的的思想。 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程 理解二阶线性微分方程解的结构。 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高 阶常系数齐次线性微分方程的解法。 会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问 题。
x y
−1 ) + d(ln x ) − d(ln y ) = 0 d( 即 xy 1 −1 x x 因此通解为 +ln = ln C , 即 = C exy xy y y 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
d(xy) d x d y + − =0 2 x y (xy)
练习
P211：习题8.2---1.求下列微分方程的通解 （16） (x y + x)dx + (x y + x + xy )dy = 0
)
c 2 + c12 ≠ 0
8.2.2 全微分方程
一、全微分方程 二、积分因子法 三、微分方程应用问题
一、全微分方程
若 在u(x, y) 使 du(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy 存 则称 P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 全微分方程 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 ① 为全微分方程 求解步骤: 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 利用积分与路径无关的条件; 方法1 利用积分与路径无关的条件; 方法2 方法2 凑微分法 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
µ = 12 取积分因子 y
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
例4.解方程 解法2 解法 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
y u = 代入 , 得通解 将 x 此外, y = 0 也是方程的解.
例4.解方程 解法3 解法 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
∫ P(x) dx dx + C ] [ ∫ Q(x) e y=e 此外, y = 0 也是方程的解.
令u = a x + by
可分离变量方程
g ( y ) dy = f ( x)dx
y = u ( x )e ∫
− P ( x ) dx
令u =
y x
齐次方程
M ( x, y ) dy y =− 1 = ϕ( ) dx N1 ( x, y ) x
一阶线性方程 全微分方程
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ∂M ∂N = ∂y ∂x
d t 5400 2500
x t = 0 = 0.12×54
x=dsolve('Dx+k/5400*x=k/2500','x(0)=0.12*54','t')
微分方程应用问题 关键是： 关键是：正确建立数学模型。 要点： 要点：利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件 例6. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸 为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b
(b > a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 . 提示: 提示 如图所示建立坐标系. 则
A
h
b
Pa
x
a = (a, 0)
o
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
b = b PO = −b(
0
x x +y
2 2
,
y x +y
2 2
)
y A
dx dy 鸭子的实际运动速度为 v = ( , ), dt dt
dy + P( x) y = Q( x) dx
x = X + h 令 y = Y + k ∆=0 ∆≠0
∆= a b
可化为齐次的方程
伯努利方程
dy + P ( x) y = Q ( x) y n 令 z = y1− n dx n ≠ 0,1
a1 b1
dy = f dx
(
a x + by + c a1 x + b1 y + c 1
8) xdx + ydy x2+ y2 = d(
x2 + y2 )
例3. 求解 解: 分项组合得 ( y dx + x dy ) + xy ( y dx − x dy ) = 0 2 2 dx dy 即 d ( xy ) + x y ( − ) = 0 x y 1 选择积分因子 µ(x, y) = 2 2 , 同乘方程两边 , 得