2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课件

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-14-
考点一
考点二
考点三
对点训练(1)已知 tan ������ + 4 = 4,则 cos2
A.25 C.
16 25 7
π
3
π 4
-������ =(
)
B.25 D.
9
24 25
关闭
π 1+tan ������ 3 1 2 π tan ������ + = = , 解得 tan α=- , 故 cos -������ 4 1 -tan ������ 4 7 4 1+sin2 ������ 1 = = +sin αcos α, 2 2 sin ������ cos ������ tan ������ 7 其中 sin αcos α=si n2 ������ +co s 2 ������ = ta n2 ������ +1 =-50 , 1 9
解析
关闭
-4 3
解析
-18答案
关闭
∵考点一 ������ ∈ 0,考点二 , ������ ∈ 考点三 ,π , 2 2 类型二 π 给值求值 3π ∴α+������ ∈ 2 , 2 . π π 2 2 7 【例 3】 已知 α∈ 0, 2 ,β∈4 22,π ,sin β= 3 ,sin(α+β)=9,则 sin α ∴cos(α+β)=- 1-sin . ������ 2 ( ������ + ������) =9 的值为 ;tan 的值为 .
=1-2sin2α
;
tan 2α=
2tan������ . 1-tan2 ������
3.公式的常见变形 (1)tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β) ; tan α-tan β= tan(α-β)(1+tan αtan β) . (2)降幂公式:
1-cos2������ sin α= 2 1+cos2������ 2 cos α= 2 1 sin αcos α= sin 2
3.若 sin α=-5,α∈ - 2 , 2 ,则 cos ������ + 3 =
3
π π
π
.
关闭
由������ ∈ - , ,sin α=- , 得 cos α= , 由两角和与差的余弦公式得 cos ������ +
π 3
π π 2 2
3 5
4 5
=cos αcos -sin αsin = × − -
π 3
π 3
4 5
1 2
3 5
×
3 2
=
4+3 3 . 10
解析
关闭
4+3 3 10
解析
答案
-9知识梳理 双击自测
4.已知 sin α-3cos α=0,则co s 2 ������ -si n 2 ������ =
sin2 ������
.
关闭
sin α=3cos α⇒tan α=3, 2sin ������ cos ������ 2tan ������ 3 则co s 2 ������ -si n2 ������ = 1-ta n2 ������ =-4.
π ������ 4
π
10
=-
2 5 . 5
解析
考点一
考点二
考点三
������ 2 ������ 2
(2)化简:
(1+sin ������ +cos ������ ) · cos -sin 2+2cos ������
(0<α<π)=
������
.
关闭
原式=
������
2co s 2 2 +2sin 2 cos 2 ·cos 2 -sin 2 4co s 2 2
=
3-5 1+15
=- .故选 C.
8
1
解析
关闭
C
解析 答案
-11知识梳理 双击自测
自测点评 1.正弦公式概括为“正余、余正符号同”,余弦公式概括为“余余、 正正符号异”.“符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号; 前面是两角差,则后面中间为“-”号. 2.给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意: (1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分; (2)观察名,尽可能使得函数统一名称; (3)观察结构,利用公式,整体化简. 3.三角变换的过程主要是减元的过程,主要思路是把异角、异次、 异名化为同角、同次、同名.
解析 -16答案
考点一
考点二
考点三
三角函数式的求值(考点难度★★) 考情分析三角函数求值可以分为三类:(1)给角求值,(2)给值求 值,(3)给值求角.这三类在考试中经常出现,只有熟练掌握了两角和 差公式及其变形公式,才能熟练求值.
-17-
考点一
考点二
考点三
类型一 给角求值
【例 2】
3tan12 °-3
2

-5知识梳理 双击自测
(3)升幂公式: ������ 1+cos α=2cos 2
2 ������ 1-cos α=2sin2 2 ������ ������ 2 1+sin α= sin 2 + cos 2 ������ ������ 2 1-sin α= sin -cos 2 2
4.辅助角公式 asin x+bcos x=
������ 2
=
1 3
1 ������ co s 2
2
-1 =
2.
故答案为:
3-2 2.
解析 -19答案
考点一
考点二
考点三
类型三 给值求角
【例 4】已知 cos α= ,cos(α-β)= 2α=
1
1 7
13 14
0 < ������ < ������ <
10 , 10
=
tan ������ +4 -tan 4 1+tan
π ������ +4
π
π π 4
tan
=-3 ,
1
即 3sin α=-cos α, 又 sin2 α+cos 2 α=1, 所以 sin α=± 而-2 <α<0, 所以 sin α=- 10 , 故
2si n 2 ������ +sin2 ������ cos
(4co s 2 12°-2)sin12 °
=
.
关闭
原式= 2cos24 °sin12 ° =
2 3
1 3 sin12 ° cos12 2 2
3sin12 °- 3cos12 ° cos12 °
°
cos24 °sin24 °
=
4 3sin (12 °-60 °) sin48 °
=-4 3. 故答案为-4 3.
3 5
3 4
)
B.
4 5
C.
12 25
D.
24 25
关闭
sin 2α=si n 2 ������ +co s 2 ������ = ta n 2 ������ +1 =
D
2sin ������ cos ������
2tan ������

9 +1 16
3 4
= 25 ,故选 D.
关闭
24
解析
答案
-8知识梳理 双击自测
2017
-3知识梳理 双击自测
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (C(α-β)) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β (C(α+β)) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β (S(α-β)) sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β (S(α+β))
������ ������ ������ ������
������
������
������
������
=
cos 2 co s 2 2 -si n 2 2 cos 2
������
=
cos 2 cos ������ cos 2 ������ π
������
.
������
因为 0<α<π, 所以 0<2 < 2 , 所以 cos 2 >0, 所以原式=cos α.
������2 + ������2 sin(x+φ)
2
,
其中 sin φ=
������ ������2+������
,cos φ=
������ ������2+ ������
2
.
-6知识梳理 双击自测
1.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(
)
A.-
3 2
B.
4.5
两角和与差的正弦、余弦 与正切公式
-2-
年份 三角恒 等变换
2018
考查要 求
考向分 析
2016 2015 2014 16(1),7 分 16(1),7 分(理) 4,5 分(理) (理) 5,5 分(理) 18(2),7 分(理) 18(2),8 18(2),8 分 11,6 分(文) 分 16(2),7 分 16(1),7 分(文) 18(1),4 分(文) (文) 1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握正 弦、余弦、正切二倍角的公式. 2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 以两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式为基础, 求三角函数的周期、最值、单调性等是考查的重点,选择 题、填空题、解答题均有可能,难度不大,目前新高考背 景下以三角函数和三角恒等变换综合以解答题形式考 查是热点之一.
tan������-tan������ (T ) 1+tan������tan������ (α-β) tan������+tan������ tan(α+β)= (T(α+β)) 1-tan������tan������
tan(α-β)=
-4知识梳理 双击自测
2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α ; cos 2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1
=
1+cos 2 -2 ������ 2
π
故 +sin αcos α= .
2 25
解析
关闭
B
解析 解析
-15答18 浙江桐高模拟)已知 cos 的值是( )
2 3 4
α+ 6 -sin α=4 3,则 sin
5
π
α+
11 π 6
A.C.
5 2 3 5
π
B.-5 D.5
关闭
2si n ������ +sin2 ������ cos
π ������ -4
2
2sin ������ (sin ������ +cos ������ )
2 (sin ������ +cos 2
������ )
=2 2sin α,
π 4 π -4
由 tan ������ +
=
1 ,得 2
tan α=tan ������ +
考点一
考点二
考点三
三角函数式的化简(考点难度★)
【例 1】 (1)已知 tan ������ + 4 = 2,且-2 <α<0,则
A.C.2 5 5 3 10 10
π
1
π
2si n 2 ������ +sin2 ������ cos ������ π 4
=(
)
B.D.
=
π 4
3 5
10 2 5 5
解析
3 -4
关闭
解析
答案
-10知识梳理 双击自测
5.(2018浙江绍兴上虞区高三模拟)已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan 2β=( )
A.
4 7
B.
1 8
C.-
1 8
D.-
4 7
关闭
由题可知, tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]=
tan (������ +������ )-tan (������ -������ ) 1+tan (������ -������ )tan (������ +������ )
3 2
C.-
1 2
D.
1 2
关闭
sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 1 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=2, 故选 D.
D
解析
关闭
答案
-7知识梳理 双击自测
2.(2018 浙江台州高三期末)已知 α 为锐角,且 tan α= ,则 sin 2α=( A.
关闭
4
∵cos

3 2
α+6 -sin α=4 3,
3 5 4 3 5
cos α- sin α= α+
1 2 11 π 6
,即 cos α- sin α= ,
2 π 2 π 5 π
1
3
4
∴sin
2
=sin α- 6 =sin αcos6 -cos αsin 6
4
= 3sin α-2cos α=-5.故选 B.
π
π
∴cos β=7 1
1 2 1-sin ������=-3 , 4 2 9 2 2 3 2 2 . 3 2 -1=3-2 1+cos ������ 1
2
∴sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
=9 × - 3 − × = 3.
∴cos α= 1-sin2������ = ∴tan
解析
关闭
cos α
解析 -13答案
考点一
考点二
考点三
方法总结1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分, 从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公 式,最常见的是“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向. 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
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