高中数学经典50题(附答案)

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1. 求下列函数的值域：
解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2
＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．
本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离
地球相距m 万千米和
m 3
4
万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3
2π
π和，求该慧星与地球的最近距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为1
22
22=+b
y a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为
3
π
时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/
ππ=∠=∠xFA xFA 或。

作m FA FB Ox AB 3
221B ==⊥，则于
故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(3
4)(2
2
m c c a a c m c c
a a c m
两式相减得,2
3)4(21.2,323
1c c c m c a m a c m =-==∴⋅=
代入第一式得 .3
2.32m c c a m c ==-∴=∴
答：彗星与地球的最近距离为m 3
2
万千米。

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +
（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

3. A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο
30，相距4Km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。

（图见优化设计教师用书P249例2）
解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则
)32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。

因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(3
13+=
-x y （1）
又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。

设),(y x P ，则双曲线方程为
)0(15
42
2≥=-x y x （2）。

联立（1）（2），得35,8==y x ， 所以).35,8(P 因此33
83
5=-=
PA k ，故炮击的方位角北偏东︒30。

说明：本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2
米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？
解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22>-=p py x 。

将B （4,-5）代入得P=1.6
y x 2.32-=∴船两侧与抛物线接触时不能通过
则A(2,y A )，由22=-3.2 y A 得y A = - 1.25 因为船露出水面的部分高0.75米 所以h=︱y A ︱+0.75=2米
答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行
[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。

．
5. 如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C
上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等。

若AMN ∆为锐角三角形，
6NB ,3,17＝且==AN AM ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。

解：以直线1l 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段C 的端点。

设曲线段C 的方程为)0,)(0(22
>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中B A x x ,为A 、B 的横坐标，MN p =，所以)0,2
(),0,2(p
N p M -
，由3,17==AN AM ，得172)2
(2
=++A A px p x （1） 92)2(2=+-
A A px p x （2），（1）（2）联立解得p
x A 4=，代入（1）式，并由0>p 解得⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==2214A A x p x p 或，因为AMN ∆为锐角三角形，所以A
x p
>2，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ，所以⎩⎨
⎧==1
4
A x p
由点B 在曲线段C 上，得42
=-
=P
BN x B ，综上，曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y
[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，
综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线)0(42>=a ax y 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB ︱为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M ，N 。

点P 是MN 的中点。

（1）求︱AM ︱+︱AN ︱的值
（2）是否存在实数a ，恰使︱AM ︱︱AP ︱︱AN ︱成等差数列？若存在，求出a ，不存在，说明理由。

解：(1)设M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为M ′,N ′,P ′.
︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=x M +x N +2a 又圆方程
16)]4([22=++-y a x
将ax y 42=代入得08)4(222=++--a a x a x
()a x x N M -=+∴42得︱AM ︱+︱AN ︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=2︱PP ′︱
所以︱AP ︱=︱PP ′︱ ，P 点在抛物线上，这与P 点是MN 的中点矛盾。

故a 不存在。

7. 抛物线()022>=p px y 上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为焦点，若BF MF AF ,,成等差数列
（1）求证线段AB 的垂直平分线过定点Q
（2）若6,4==OQ MF （O 为坐标原点），求抛物线的方程。

（3）对于（2）中的抛物线，求△AQB 面积的最大值。

解：（1）设()()()002211,,,,,y x M y x B y x A ，则21p x AF +
=，2
2p
x BF +=，20p
x MF +
=，由题意得2
210x x x +=，AB ∴的中点坐标可设为()t x ,0，其中 02
2
1≠+=
y y t （否则0=⇒==p BF MF AF ）， 而()
2
2212
1212121y y p
y y x x y y k AB --=--=
t
p
y y p =+=
212，故AB 的垂直平分线为
()0x x p
t
t y -=
-，即()00=+--yp p x x t ，可知其过定点()0,0p x Q + （2）由6,4==OQ MF ，得6,42
00=+=+
p x p x ，联立解得2,40==x p x y 82=∴。

（3）直线AB ：()24
-=
-x t
t y ，代入x y 82=∴得0162222=-+-t ty y ，()()2
212
212
214644t y y y y y y -==-+=-∴ ，()
()22122
2116
y y t x x -=- ()
,164
22t t -=()()2
21221y y x x AB -+-=∴()()2
2
16162
1t t -+=
=
42562
1
t -=
，又点()0,6Q 到AB 的距离216t d +== ，
d AB S AQB 21=∴∆()()
241625641t t +-=64216256409641
t t t --+=
令
642162564096t t t u --+=，则53664512t t t u --='，令0='u 即
066451253=--t t t ，得0=t 或162-=t 或3162=
t ，∴3162
=
t 33
4±=⇒t 时()69
64
=∆AQB
S。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对
定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线)22tan(:+=x y l 交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围。

解
：
将
l
的方程与椭圆方程联立，消去
y
，得
09t a n 72tan 236)tan 91(2
222=-+⋅++αααx x
α
αααα2
222
122
tan 916
tan 6)tan 91(tan 1tan 1++=+∆⋅+=-+=∴x x AB 由3
3
tan 33,31tan
,22
≤
≤-
∴≤≥αα得AB ， α∴
的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,656,0 [思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。

本题由于l 的方程由αtan 给出，所以可以认定2
π
α≠，否则涉及弦长计算时，还要讨论2
π
α=
时的情况。

9、已知抛物线x y -=2
与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点
（1） 求证：OB OA ⊥
（2） 当OAB ∆的面积等于10时，求k 的值。

（1） 证明：图见教材P127页，由方程组⎩⎨⎧+=-=)
1(2x k y x
y 消去x 后，整理得02=-+k y ky 。

设),(),,(2211y x B y x A ，由韦达定理得121-=y y B A , 在抛物线x y -=2上，
212
221222121,,x x y y x y x y ⋅=⋅-=-=∴
OB OA y y x x y y x y x y k k OB OA ⊥∴-=⋅=⋅⋅=⋅=
⋅,11
2
121212211 （2） 解：设直线与x 轴交于N ，又显然∴≠,0k 令）
，（－，即则01N 1,0-==x y 21212
1
2121y y ON y ON y ON S S S OBN OAN OAB -=+=
+=∆∆∆ 4)1(214)(1212
21221+=-+⋅⋅=
∴∆k
y y y y S OAB 6
1
,412110,102
±=+=
∴=∆k k S OAB 解得 [思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以
及分析问题、解决问题的能力。

10、在抛物线y 2
=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k 的取值范围。

〖解〗设B 、C 关于直线y=kx+3对称，直线BC 方程为x=-ky+m 代入y 2
=4x 得： y 2
+4ky-4m=0， 设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则
y 0=（y 1+y 2）/2=-2k 。

x 0=2k 2
+m ，
∵点M （x 0，y 0）在直线上。

∴-2k （2k 2
+m ）+3，∴m=-k
k k 3
223++又BC 与抛物线交于不
同两点，∴⊿=16k 2
+16m>0把m 代入化简得
0323<++k k k 即0)
3)(1(2<+-+k
k k k ， 解得-1<k<0
[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。

11、已知椭圆的一个焦点F 1（0，-22），对应的准线方程为y=-4
2
9，且离心率e 满足：2/3，e ，4/3成等比数列。

（1） 求椭圆方程；
（2） 是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x=-2
1平分。

若存在，求l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

〖解〗依题意e=
3
2
2 （1）∵c a 2-c=429-22=4
2
，又e=322∴a =3，c=22，b=1，又F 1（0，-22），
对应的准线方程为y=-
4
2
9。

∴椭圆中心在原点，所求方程为： 9
2
2
y x +=1 （2）假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被x=-2
1
平分，∴直线l 的斜率存在。

设直线l ：m kx y +=由 m kx y +=
9
2
2
y x +=1消去y ，整理得 92)9(222-+++m kmx x k =0
∵直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ∴⊿=4k 2m 2
-4(k 2
+9)(m 2
-9)>0
即m 2-k 2
-9<0 ① 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）
∴219
2221-=+-=+k km x x ，∴k k m 292+=
② 把②代入①可解得：33-<>k k 或
∴直线l 倾斜角⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛∈32,22,3ππππα
[思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。

12、设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是最大
值为12，则
23
a b
+的最小值为（ ）
A ．
625 B ．38 C ． 3
11 D ． 4 答案：A
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而23a b +=2323()6a b a b ++13()6b a a b =++1325
266
≥+=，故选A ．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求
23
a b
+的 最小值常用乘积进而用基本不等式解答．
13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．
答案：70
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z
元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，≤，≥，≥
目标函数为30002000z x y =+．
二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，≤，≥，≥
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．
平移直线，从图中可知，当直线过M 点时，目标函数取得最大值．
0 100 200 300
100
200 300 400
500
y
x
l
M
联立30052900.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．
max 30002000700000z x y ∴=+=（元）
． 点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．
14、设a 为实数，函数
2()2()||f x x x a x a =+--．
(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求
()f x 的最小值；
(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集．
解析：（1）若(0)1f ≥，则2
||111
a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩； （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+2
2min
(),02,0()2(),0,033
f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩， 当x a ≤时，22
()2,f x x ax a =+-2
min
2(),02,0()(),02,0
f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩，
综上22min
2,0
()2,03
a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；
（3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得22
3210x ax a -+-≥，
222412(1)128a a a ∆=--=-
当66
22
a a ≤-
≥
或时，0,(,)x a ∆≤∈+∞； 当6622a -<<时，△>0，得：223232()()033a a a a x x x a
⎧--+-⎪--≥⎨⎪>⎩
；
讨论得：当26(
,)22
a ∈时，解集为(,)a +∞； 当62
(,)22
a ∈--时，解集为223232(,
][,)33a a a a a --+-⋃+∞； 当22
[,]22a ∈-时，解集为232[
,)3
a a +-+∞． 点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
15、知函数3
21()23
f x x x =
+-． （Ⅰ）设}{
n a 是正数组成的数列，前n 项和为n S ，其中13a =．若点2
11(,2)n n n a a a ++-(n
∈N*)在函数'()y f x =的图象上，求证：点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值． 解析：(Ⅰ)证明： 因为3
21()2,3
f x x x =
+-所以'2()2f x x x =+， 由点211(,2)(N )n n n a a a n +
++-∈在函数'()y f x =的图象上,221122n n n n a a a a ++-=+
111()()2()n n n n n n a a a a a a ++++-=+， 又0(N )n a n +>∈，
所以12n n a a +-=，}{
n a 是13,2a d ==的等差数列， 所以2(1)
32=22
n n n S n n n -=+
⨯+,又因为'2()2f n n n =+,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数'()y f x =的图象上．
(Ⅱ)解:2
()2(2)f x x x x x '=+=+,令()0,f x '=得02x x ==-或．
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
f(x) + 0 - f(x)
↗
极大值
↘
注意到(1)12a a --=<,从而
①当2
12,21
,()(2)3
a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值；
②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值．
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
16、设0,0.a b >>若3是3a
与3b
的等比中项，则
11
a b
+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．1
4
答案：B
解析：因为333=⋅b
a ，所以1=+
b a ，
11a b +11()()a b a b =++2b a a b
=++ 22
4b a
a b
≥+⋅=，当且仅当b a a b =即21==b a 时“=”成立，故选择B ．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
17、设数列{}n a 满足3
*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数．
（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
（Ⅱ）设1
03c <<
，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈； （Ⅲ）设103c <<，证明：222
*1221,13n a a a n n N c
++>+-
∈-． 解析： (1) 必要性：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即
[0,1]c ∈．
充分性 ：设[0,1]c ∈，对*
n N ∈用数学归纳法证明[0,1]
n a ∈，
当1n =时，10[0,1]a =∈．假设[0,1](1)
k a k ∈≥，
则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3
1110
k k a ca c c +=+-≥-=≥，
1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立．
(2) 设 1
03
c <<
，当1n =时，10a =，结论成立． 当2n ≥ 时，32
11111,1(1)(1)
n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴，
103
C <<
∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2
1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥， 113(1)n n a c a --≤-∴，
21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤
≤-=∴，
1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴．
(3) 设 103c <<
，当1n =时，2
120213a c
=>--，结论成立， 当2n ≥时，由（2）知11(3)0
n n a c -≥->，
2
1212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴， 2222
2
2112212[3(3)(3)]
n n n a a a a a n c c c -++
+=+
+>--++
+∴
2(1(3))2
111313n c n n c c
-=+->+---．
点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．
18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为
，选B ．
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．
19、 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若
534+=
n n
T S n n ，则n n
a b 的值为( ) A
4231n n -+ B 8362n n -+ C 6382n n -+ D 62
83
n n -+ 答案：A
解析： ∵121
21(21)(21)2
n n n a a S n n a --+=-=-；21(21)n n T n b -=-． ∴
21
21n n n n a S b T --=
4(21)3(21)5n n -=-+84426231
n n n n --==++． 点评：考查等差数列的前n 项和的变形。

20、已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b)
2
cd 的最小
值是________．
答案：4
解析：∵(a ＋b)2
cd ＝(x ＋y)2
xy ≥(2xy)
2
xy
＝4．
点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。

21、命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题:q 实数x 满足2
60
x x --≤或2
280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．
解析：设{}
22
|430(0)A x x ax a a =-+<<{}|3x a x a =<<，
{}22|60280B x x x x x =--≤+->或{}{}22|60|280x x x x x x =--<⋃+->
{}{}|23|42x x x x x =-≤≤⋃<->或={}|42x x x <-≥-或
因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q ⌝⇒p ⌝，且p ⌝推不出q ⌝ 而{}|42R C B x x =-≤<-，{}|3,R C A x x a x a =≤≥或 所以{}{}|42|3x x x x a x a -≤<-≤≥Ø或，则320a a ≥-⎧⎨<⎩或4
0a a ≤-⎧⎨<⎩
即2
03
a -
≤<或4a ≤-． 点评：考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。

22、已知二次函数()f x 的二次项系数为 a ，且不等式 ()2f x x >- 的解集为（1 , 3）．
（l ）若方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求 a 的取值范围．
解析：（1）因为()20f x x +>的解集为（1，3），所以()2(1)(3)f x x a x x +=--且0a <． 因而2()(1)(3)2(24)3f x a x x x ax a x a =---=-++ （1） 由方程()60f x a +=得：2(24)90ax a x a -++= （2） 因为方程（2）有两个相等的根．
所以2[(24)]490a a a ∆=-+-⋅=，即2
5410a a --=．
解得：1a =（舍去）或15
a =-， 将15a =-
代入（1）得()f x 的解析式为：2163()555
f x x x =---， （2）2
()2(12)3f x ax a x a =-++221241
()a a a a x a a +++=--， 有a < 0，可得()f x 的最大值为241
a a a ++-，
所以241a a a
++- > 0，且a < 0．
解得：23230a a <---+<<或，
故当()f x 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(,23(23,0)-∞---+)． 点评：含参数的未知一元二次方程，求函数表达式以及参数的取值范围。

计算量比较大，且要求对一元二次函数的知识熟练。

23、已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,
),1n n S a n a +=+==，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2
==
n a c n n
n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n
)，即
a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据
b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注
意加强恒等变形能力的训练)
a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又
b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①
已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·2
1
n -．
当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=2
1
n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S n =2
1
n -(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。

解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
24、设实数0≠a ，数列{}n a 是首项为a ，公比为a -的等比数列，记
),(||1*N n a g a b n n n ∈=n n b b b S +++= 21，
求证：当1-≠a 时，对任意自然数n 都有n S =2
)
1(lg a a a +[]
n n a na n )1()
1(11
++-++
解：n n n n n a a a q a a 1111)1()(----=-==。

||lg )1(|)1(|lg )1(||lg 111a na a a a a b n n n n n n n n n ----=--==∴
|
|lg )1(||lg )1()1(||lg 3||lg 2||lg 11232a na a a n a a a a a a S n n n n n ----+--+++-=∴
||lg ])1()1()1(32[11232a na a n a a a n n n n ----+--+++-=
记n
n n n na a n a a a S 11232)1()1()1(32----+--+++-= ①
1121332)1()1()1()2()1(2+-----+--+--++-=n n n n n n na a n a n a a as ②
①+②得1
121232)1()1()1()1(+-----+-+-+++-=+n n n n n n na a a a a a s a ③ 11
11(1)1,(1)(1)1(1)
n n n n a a a a S n a a -+-++-≠-∴+=+-⋅--
])1()1(1[)
1(|
|lg )1(])1)(1(1[)1()1()1()1()1()1()1(12
2
12112
1
111n n n n n n n n n n n a na n a a a S a a na n a a a na n a S a a n a a a S ++-++=∴+-+++=+-⋅+++=∴+⋅⋅-⋅++-+=
∴+++-+-+-
说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。

关键是先研究通项，确定
}{,n n n n a b a C ⋅=是等差数列，}{n b 等比数列。

25、设正数数列{a n }为一等比数列，且a 2=4，a 4=16．
说明：这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n 项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力． 26、（2004年北京春季高考20）下表给出一个“等差数阵”：
4 7 （） （） （） …… a j 1
…… 7 12 （） （） （） …… a j 2 …… （） （） （） （） （） …… a j 3 …… （） （） （） （） （） …… a j 4
…… …… …… …… …… …… …… …… …… a i 1
a i 2
a i 3
a i 4
a i 5
……
a ij …… …… …… …… …… …… …… ……
……
其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数。

（I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式；
（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

解：（I ）a 4549=
（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
a j j 1431=+-() 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a j j 2751=+
-() ……
第i 行是首项为431+-()i ，公差为21
i +的等差数列，因此 a i i j i j i j i j j
i j =
+-++-=++=++431211221()()()()
（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21 从而2122121N ij j +=+++()=++()()2121i j 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得
212121N k l +=++()()，从而N k l l a k l
=++=()21 可见N 在该等差数阵中。

综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

27、已知点的序列
（
，0），
，其中
=0，
，A 3是线钱A 1A 2的中点，
A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段
的中点，…。

（I ）写出与、
之间的关系式（≥3）
（II ）设
，计算
，
，
，由此推测数列{
}的通项公式，并加以证明。

（I ）解：当n≥3时，
（II ）解：
.
由此推测。

证法一：因为，且
（n≥2）所以。

证法二：（用数学归纳法证明：）
（i）当时，，公式成立，
（ii）假设当时，公式成立，即成立。

那么当时，
=式仍成立。

根据（i）与（ii）可知，对任意，公式成立
评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。

28、（94年全国理)设｛a n｝是正数组成的数列，其前n项和为S n，并且对所有自然数n，a n与2的等差中项等于S n与2的等比中项.
(1)写出数列｛a
n｝的前三项；(2)求数列｛a n｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令b n=(n∈N)，求：b1+b2+…+b n-n.
解：(1)由题意=a n＞0
令n=1时，=S1=a1解得a1=2
令n=2时有==a 1+a2解得a2=6
令n =3时有=S
3=a 1+a 2+a 3解得a 3=10
故该数列的前三项为2、6、10.
(2)解法一：由(1)猜想数列｛a n ｝有通项公式a n =4n -2，下面用数学归纳法证明数列｛a n ｝的通项公式是a
n =4n -2(n ∈N)
1°当n =1时，因为4×1-2＝2，又在(1)中已求得a
1=2，所以上述结论正确.
2°假设n =k 时，结论正确，即有a
k =4k-2
由题意有得a k=4k-2,代入上式得2k=
,解得S k =2k 2
由题意有
=
S
k+1=S k +a k+1得S k =2k 2
代入得=2(a k+1+2k 2
)
整理a 2
k+1-4a k+1+4-16k 2
=0由于a k+1＞0，解得：a k+1=2+4k
所以a
k+1=2+4k=4(k+1)-2
这就是说n =k+1时，上述结论成立.
根据1°，2°上述结论对所有自然数n 成立.
解法二：由题意有，=(n ∈N)整理得S
n =(a n +2)
2
由此得S
n +1=(a n +1+2)2所以a n +1=S n +1-S n =［（a n +1+2)2-(a n +2)2
］
整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -4)=0由题意知a n +1+a n ≠0,所以a n +1-a n =4 即数列｛a n ｝为等差数列，其中a 1=2,公差d =4， 所以a
n =a 1＋(n -1)d =2+4(n -1)即通项公式a n =4n -2.
(3)令c
n =b n -1,
则c n ===
b
1+b 2+…+b n -n =c 1+c 2+…+c n
=
说明：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数n 的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.
29、（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1
242
2=+y x 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，
连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--=
=N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为
)
22
,1(-
-，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标
原点，所以
.22122
=--
=
k （2）直线PA 的方程22
21,
42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得
).
34
,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),
0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234
0=--=++
y x AB 的方程为故直线
.
32
21
1|
32
3432|,21=+--=d 因此
（3）解法一：
将直线PA 的方程kx y =代入
222222
1,,,
421212x y x k k
μ+==±++解得记
则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--
故直线AB 的斜率为
,20k
k =++μμμ 其方程为
,0)23(2)2(),(222222=+--+-=
k x k x k x k
y μμμ代入椭圆方程得
解得
223
2
2
2
(32)
(32)(
,
)
222k k k x x B k
k
k
μμμμ++=
=-+++或因此.
于是直线PB 的斜率
.1
)
2(23)
2(2)
23(22
2232
22
3
1k k k k k k k k k
k
k k -=+-++-=
++-+=
μμμ
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二：
设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.
设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.
22)()(0111112k
x y x x y k ==---=
从而
1)()
(212112*********+----⋅--⋅
=+=+x x y y x x y y k k k k
.044)2(1222
1
2221222
22221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以
30、（安徽理21）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2
=上运动，点Q 满足
QA BQ λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,
求点P 的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由MP QM λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设
.)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①
再设
),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由
解得⎩⎨
⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②
将①式代入②式，消去
0y ，得
⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2
211λλλλλλy x y x x ③
又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入2
11x y =，得
.
012),1(,0.
0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,
))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ
故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y
31、（北京理19）
已知椭圆2
2:14x G y +=.过点（m,0）作圆
22
1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将
AB
表示为m 的函数，并求
AB
的最大值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a
所以
.
322--=b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-
离心率为
.23==
a c e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .
当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23
,1(),23,
1(-
此时3||=
AB
当m=－1时，同理可得3||=
AB
当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=
由0448)41(.14),
(222222
2
=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则
2222122214144,418k m k x x k m
k x x +-=
+=+
又由l 与圆.
1,11
||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以
2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]
41)
44(4)41(64)[1(2222242
k m k k m k k +--++=2
.
3
||342+=
m m
由于当3±=m 时，,3||=AB
所以
)
,1[]1,(,3
|
|34||2+∞--∞∈+=
m m m AB .
因为
,
2|
|3
||343
|
|34||2
≤+
=+=
m m m m AB
且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
32、（福建理17）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x2=4y 是否相切？说明理由。

本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

满分13分。

解法一：
（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）
因为MP l ⊥，所以011
20m
-⨯=--，
解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径
22||(20)(02)22,
r MP ==-+-=
故所求圆的方程为
22
(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为
,y x m =+
所以直线'l 的方程为.y x m =--
由22
',
4404y x m x x m x y =--⎧++=⎨=⎩得 244416(1)m m ∆=-⨯=-
（1）当1,0m =∆=即时，直线'l 与抛物线C 相切 （2）当1m ≠，那0∆≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切； 当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

解法二：
（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为
22
(2).x y r 2-+=
依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），
则224,|20|
,2m r m r ⎧+=⎪
-+⎨=⎪
⎩
解得2,2 2.m r =⎧⎪⎨
=⎪⎩
所以所求圆的方程为
22
(2)8.x y -+= （II ）同解法一。

33、（广东理19）
设圆C 与两圆
2222
(5)4,(5)4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切。

（1）求C 的圆心轨迹L 的方程;
（2）已知点M 3545(
,),(5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时
点P 的坐标．
（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知
2222|(5)(5)|4,x y x y ++--+=
化简得L 的方程为2
2 1.
4x y -=
（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(5)y x =--，将其代入L 的方程得
215325840.x x -+=
解得
121265145652514525
,,(,),(,).515551515x x l L T T =
=-故与交点为
因T1在线段MF 外，T2在线段MF 内，故
11||||||2,
MT FT MF -==
22|||||| 2.
MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有
|||||| 2.
MP FP MF -<=
故
||||
MP FP -只在T1点取得最大值2。

34、（湖北理20）
平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； （Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为
1
C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为
2C ，
设
1
F 、2F 是2C 的两个焦点。

试问：在
1
C 撒谎个，是否存在点N ，使得△
1
F N 2F 的面积
2||S m a =。

若存在，求tan
1
F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。

本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。

（满分14分） 解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，
当x a ≠±时，由条件可得
12
2
22,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+-
即
222
()mx y ma x a -=≠±， 又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222
,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为
222
.mx y ma -= 当1,m <-时曲线C 的方程为22
221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆；
当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；
当10m -<<时，曲线C 的方程为22
22
1x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22
22
1,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线。

（II ）由（I ）知，当m=-1时，C1的方程为
222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，
C2的两个焦点分别为
12(1,0),(1,0).F a m F a m -++
对于给定的(1,0)
(0,)m ∈-+∞，
C1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2
||S m a =的充要条件是 22
200020,0,121||||.2x y a y a m y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩
由①得
00||,y a <≤由②得
0||||.1m a
y m =
+
当
||15
0,0,
21m a a m m -<
≤≤<+即
或
15
02m +<≤
时，
存在点N ，使S=|m|a2；
当||15
,,
21m a a m ->+即-1<m<
或
15
2m +>
时，
不存在满足条件的点N ，
当
1515,00,22m ⎡⎫⎛⎤-+∈⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦时， 由
100200(1),(1,)NF a m x y NF a m x y =-+--=+--，
可得
2222
1200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令
112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，
则由
22
121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-
可得， ① ②
从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθ
θ==-=-，
于是由2||S m a =，
可得2212||tan ||,tan .
2
m ma m a m θθ-==-即 综上可得：
当15,02m ⎡⎫
-∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在C1上，存在点N ，使得
212||,tan 2;S m a F NF ==且
当
150,2m ⎛⎤+∈ ⎥
⎝⎦时，在C1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且 当
1515
(1,
)(,)22m -+-+∞时，在C1上，不
存在满足条件的点N 。

35、（湖南理21）
如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
2，x 轴被曲线
2
2:C y x b =-截得的线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ． （i ）证明：MD ⊥ME;
（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l,使得12
1732S S =
?请说明理
由。

解 ：（Ⅰ）由题意知
.1,2,2,2,23
======
b a a b b a a
c e 解得又从而
故C1，C2的方程分别为.
1,14222
-==+x y y x
（Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.
由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得
12=--kx x .
设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是
.1,2121-==+x x k x x
又点M 的坐标为（0，—1），所以
2
121212
212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=
++=+⋅+=⋅
.
11
1
22-=-++-=
k k
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.
（ii ）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,
1,12
11x y x k y x k y 由解得
⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,
102
1k y k x y x 或
则点A 的坐标为)1,(2
11-k k .
又直线MB 的斜率为
11k -，
同理可得点B 的坐标为
).11,1(2
11--
k k
于是
22
1111111111111||||1||1||222||
k S MA MB k k k k k +=⋅=+⋅⋅+⋅-=
由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,122
1y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k
解得1212
12
18,140,141
14k x k x y k y k ⎧
=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或
则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++
又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2
12
1211k k k k +-+-
于是
)4)(1(||)1(32||||21
2
1211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S . 因此211221
14
(417).64S k S k =++
由题意知，
2221112114171
(417),4,.64324k k k k ++===解得或
又由点A 、B 的坐标可知，21211111
113
,.
12k k k k k k k k -
==-=±+所以
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==
和
36、（辽宁理20）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．
（I ）设
1
2e =
，求BC 与AD 的比值；
（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．
解：（I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
22222
122242:1,:1,(0)
x y b y x C C a b a b a a +=+=>>
设直线:(||)l x t
t a =<，分别与C1，C2的方程联立，求得
2222(,
),(,).a b
A t a t
B t a t b a -- ………………4分
当13,,,22A B
e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知
222||3||:||.
2||4B A y b BC AD y a === ………………6分
（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN 相等，即
2222
,
b a a t a t a b t t a --=-
解得2222
21.ab e t a a b e -=-=---
因为2212||,01,1, 1.
2e t a e e e -<<<<<<又所以解得
所以当
2
02e <≤
时，不存在直线l ，使得BO//AN ；
当2
12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分
37、（全国大纲理21）
已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:1
2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的
直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 解：
（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =-+，。