麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较

麦克斯韦方程组的几种推导方法及其比较
摘要：介绍麦克斯韦方程组的几种推导方法。

从经典、能量守恒、拉格朗日方程的
方面推导得出现有的麦克思维方程组，从侧面说明了麦克斯韦的普遍适用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等价性。

通过分析三种方法的优缺点，从而加深对麦克斯韦方程组的物理意义的理解，培养科学求真的探索精神。

关键词：拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律
目录
引言： (4)
1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 (4)
1.1 第一方程式的推导 (4)
1.2第二方程式的推导 (5)
1.3第三方程式的推导 (6)
1.4第四方程式的推导 (7)
2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 (8)
3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。

(10)
4_三种方法的比较 (14)
4.1经典方法的优势 (14)
4.2能量方法推导的优缺点 (14)
4.3拉格朗日方程推导的特点 (15)
结束语： (15)
参考文献： (15)
引言：
麦克斯韦方程组是电磁理论的基本方程，在电磁学中有很重要的地位，在与很多工业领域有很多应用。

关于它的推导建立，有我们熟知的经典方法，还有后来的根据拉格朗日方程等分析力学方法推导，以及由能量守恒的方法推导等诸多方法。

下面我们来一一推导证明
1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 1.1 第一方程式的推导 电荷的库仑定律：
F =0ε41πr r q q 3
'
此电荷的场强为：
E =0ε41πr r
q 3
对电荷的场强沿着球面求面积分，得到：
⎰
S
dS E =∑0εi Q =⎰
V
1
dV ρε
电场强度通过面元d S
的通量为：
dS E •
=Ecos θds=
2
04r
Q πεcos θds 。

θ是d S
与E 的夹角，cos θds/2r 位球面的立体角元。

所以包裹电荷的闭合曲面和球面的积分是相同的。

由于对电荷的场强求面积分只与包裹着的电荷有关系，所以积分的面没有关系。

又因为电荷的体密度的定义：
ρ=V q
根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度的体积分：
⎰•∇V
dV E
=ρV/0ε
得到：
0/ερ=•∇E
等效都是在真空下的方程式，如果在介质下的束缚电荷密度p ρ，那么：
E
•∇=（ρ+p ρ）/0ε。

定义电位移矢量：
D =0ε
E +P
－∇P
=p ρ， 则推广后得：
D
•∇=ρ， (1.1.1)
D =εE
,其中ρ是自由电荷密度。

1.2第二方程式的推导
静电力是保守力，对静电场强度对任意闭合曲线的积分为零： l d F L
⎰=0
所以对应的电场强度也为零，即： l d E L
⎰=0
由法拉第电磁感应定律：
ε=－dt d φ=－S d B dt d S ⎰
又因为在闭合电路中感应电动势是电场强度的线积分： l d E L
⎰=ε
得到： l d E L ⎰=－S d B dt d S
⎰ 根据斯托克斯公式将电场强度的线积分化成电厂强度的旋度的面积分： ⎰⨯∇S E =－S d B dt d S
⎰ 将上式化成微分形式，所以有：
∇×E =－t B
∂∂
(1.2.1) 由于上式中只有电场强度、磁感应强度等电磁场的特点的参数，于介质无关，所以无论是介质中还是真空中都是一样的。

1.3第三方程式的推导
根据比奥－萨法尔定律可以得到一小段电流元产生的磁场：
d B =3
04r r l Id
⨯πμ 那么长度为无穷大导线电流产生的磁场为： B=
r
I
πμ20， （r 是离导线的距离）
对包围直导线的闭合的回路，并求积分得到： l d B L
⎰=0μI (1.3.1)
对于没有包围载流直导线的回路磁感应强度的线积分为零。

根据斯托克斯公式和电流密度的定义式（1.3.1）还可以写成：
⎰⨯∇S
dS B =⎰S
S d J 0μ
去掉积分符号化成微分形式后：
∇×B
=J 0μ (1.3.2) 变化的电场会产生位移电流，位移电流也会产生磁场：
⎰L l d B
0μ=dS t
E S ⎰∂∂ 9ε 同理也可变为：
∇×B =00μεt E ∂∂
(1.3.3)
综合(1.3.2)、 (1.3.3)得到：
∇×B =0μJ +t
E ∂∂
00με
推广到介质中，电磁介质中的分子在电场下会出现极化电荷，极化电荷运动会出
现极化电流P J
，就会出现和自由电荷类似的极化电流密度；在磁场作用下，分子电流就先通电的小线圈在磁场中受到磁场的作用一样，也会出现定向的规则取向，很多分子电流产生的磁场相当于总的磁化电流产生的磁场，所以就要求出等效的磁化电流
的密度M J。

上式就变为：
∇×B =0μJ +P J +M J +t
E
∂∂
0με。

(1.3.4) J
可以通过实验来测定，但是P J 、M J 会随着电场和磁场的增强而增大。

定义：
H =0
μB
－M ，M J =∇×M
；
又因为：
D =0ε
E +P
，P J =t
P ∂∂
；
所以上式可以化为 ：
∇×H =J +t D
∂∂
(1.3.5) 1.4第四方程式的推导 根据比奥萨法尔定律
B =dV r r x J V ⎰⨯'30)(4 πμ=－
dV r
x J V
⎰∇⨯'1
)(40
π
μ ∇是对x 的作用的算符，得：
∇×[J （x '）]=（r 1
∇）×J （x '）
因此：
B =∇πμ40×V d r x J V ''⎰)
(=∇×A 式中
A =
π
μ40V d r
x J V
''⎰
)
( 用∇点乘B =∇×A 左右两边，由于旋度的散度为零得到•∇B
=0；也可以认为
磁感应强度是闭合的，对任何闭合曲面的通量为零，即根据高斯定理写出：⎰⎰S
S d B
=0；
根据斯托克斯公式化成：
⎰⎰S
S d B
=⎰⎰⎰•∇V
B =0；
其化成微分形式为：
B
•∇=0 (1.4.1)
由于方程式中仅包含磁感应强度B ，代表的是电磁场的性质，仅与电磁场本身有关系，无论在真空还是在介质中表达式是一样的。

综合(1.1.1) (1.2.1) (1.3.5)（1.4.1）为麦克斯韦方程组 2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 为了以下都是真空中的麦克斯韦方程推导。

电磁场对电荷做的功率为dV v f V
⎰•
空间内电磁能变化率为：－
⎰V wdV dt d
流出闭合空间V 的能流为：⎰S
d S σ
S 、V 分别表示闭合空间的总的表面积、总的体积。

参照热力学第一定律：能量的变化=对外做的功+因为热传导热量的变化，可以得到电磁场的能量守恒定律：
－⎰V
wdV dt d
=dV v f V ⎰• +⎰S d S σ
微分形式是：
S •∇+t w
∂∂=－v f • 【1】 (2.1)
又因为：
f =V 洛伦兹F =V B v q E q ⨯+=ρE +ρv ×B 带入（2.1）得：
v f •=（ρE +ρB v
⨯）v •=ρv E •+ρv ×B v •
由于第二项B v ⨯与v
垂直所以为零，那么v f •=ρv E •=E j • (2.3)
其实（2.2）表示电场对电荷做功，磁场不做功。

能量密度为： )1(2120
20B E w με+=
(2.4) S
是电磁波传播的能量密度，在时变电磁场中可能有电磁波，波就是能量的流动，所以S
≠0；
S
的表达式为：
S =
B E
⨯0
1μ ])()[(1)(10
0E B B E B E S •⨯∇-•⨯∇=⨯•∇=•∇μμ （2.5）
将(2.3) (2.4)(2.5)带入(2.1)得到：
0)1(][1000=+⨯∇-∂∂•+•∂∂+⨯∇J B t E E B t B E μεμ 【2】
(2.6) 要让（2.6）有三种情况
第一种情况：B 和E 等于零,中括号内的不为零。

（2.6）是对任意的在真空中的电磁场都是成立的， 任意的B 和E 可以不为零。

第一种程度不成立。

第二种情况：(∇×E )+t B ∂∂ 与B 并且(t E
J B ∂∂++⨯∇-
01εμ)与E 都是垂直的，那么t B ∂∂ 与B 垂直，t E ∂∂
与E 垂直，那么电磁场都是特定的。

所以不符合任意真空电
磁场的条件。

第三种情况：
0=∂∂+⨯∇t B E ，0100=∂∂++⨯∇-t
E J B εμ整理得到：
∇×E =－t
B ∂∂ (2.7)
t E J B ∂∂+=⨯∇
0ε (2.8)
用∇点乘（3.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以:
－t B ∂•∂∇ =0,
再对方程左右两边t 积分得到：
B
•∇=0 （2.9）
用∇点乘（2.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以：
00=∂•∂∇+•∇t E J
ε
在非恒定电流中有电荷守恒定律：
j •∇=－t ∂∂ρ,（恒定电流中t
∂∂ρ=0是特殊情况）
带入上式有t E ∂•∂∇ 0ε=t
∂∂ρ
，在对左右求关于t 的积分有：
E
•∇0ε=ρ (2.10)
（2.7）(2.8) (2.9)(2.10)构成了真空中的麦克斯韦方程组。

3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。

拉格朗日量：
L=T －V=21m 2
v －q(ϕ－A v •)
带入拉格朗日方程：
αq L dt d ∂∂－α
q L ∂∂=0（α=1,，2，3，…s ） (3.1) 在这里α等于3；∂q 分别等于x ，y ，z 。

由于推迟势：
【3】
V d r
c r
t x t x V
'-'=⎰
04)
,(),(περϕ
V d r
c r t x J t x A V '-'=⎰),(4),(0 πμ 因为A
,ϕ都是x,t 的函数，所以写成),(),,(t x A t x ϕ
所以：
拉格朗日量可以变为：
)],(),([2121212
22t x A v t x q z m y m x m L •--++=ϕ 那么拉格朗日量对广义坐标的偏导为：
x
A v q x q x L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(
ϕ y
A v q y q y L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(
ϕ z A v q z q z L ∂•∂+∂∂-=∂∂)( ϕ
拉格朗日量对广义速度的偏导为：
1qA x m x L
-=∂∂ 2qA y m y
L
+=∂∂ 3qA z m z
L
+=∂∂ 将上一组式子对t 求导：
dt
dA q x m x L
dt d 1+=∂∂ dt
dA q y m y L
dt d 2+=∂∂ dt dA q z m y L
dt d 3+=∂∂ 带入拉格朗日方程组得到：
)(1x
A v q x q dt dA q x m ∂•∂+∂∂--+
ϕ=0
)(2y A v q y q dt dA q y m ∂•∂+∂∂--+
ϕ=0
)(3z
A v q z q dt dA q z m ∂•∂+∂∂--+ ϕ=0
分别将上式乘以i ，j ，k ，相加
)]
([)()(321kA jA iA dt d q z A v k y A v j x A v i q z k y j x i q a m ++-∂•∂+∂•∂+∂•∂+∂∂+∂∂+∂∂-= ϕϕϕ 上式第一项可以变为：ϕ∇-q
上式第二项可以变为：)(A v q
•∇
上式第三项可以变为：dt
A
d q -
则上式可以变为：dt A
d q A v q q a m
-•∇+∇-=)(ϕ (3.2)
由于：
dz z
A dy y A dx x A dt t A A d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=
+∂=dt A dt A d
z
z
A
y y A x x A ∂∂+∂∂+∂∂ A v t
A dt A d
∇•+∂∂= (3.3) 将上式带入(3.2)得到：
])([)(A v A v q t A
q a m
∇•-•∇+∂∂+∇-=ϕ
由于公式：
A v A v A v
∇•-•∇=⨯∇⨯)()( 化简得到：
)]()[(A v t
A q a m
⨯∇⨯+∂∂+∇-=ϕ【4】
又因为运动电荷的所受的洛仑兹力：
B v q q E F
⨯+==)(B v E q ⨯+
在理想状态下，电荷不受重力，则合力与洛仑兹力相等。

t
A E ∂∂--∇=
ϕ
A B
⨯∇=
用∇点乘第二式，得到：
B
•∇=)(A ⨯∇•∇=0 (3.4)
用∇叉乘第一式得到：
t A t A E ∂⨯∂∇-∇⨯-∇=∂∂⨯∇-∇⨯-∇=⨯∇
ϕϕ
因为公式：0)(=•∇⨯∇ϕ以及第二方程式，得到：
t B E ∂∂-=⨯∇
； (3.5)
(3.4) 、(3.5)是包含电磁场的基本量Ｅ、Ｂ的方程式。

取库伦规范：0=•∇A
带入E •∇和B ⨯∇，由于t
A E ∂∂--∇=
ϕ和A B ⨯∇=
ϕϕ22-∇=∂•∂∇--∇=•∇t
A E
A A A A
B 2
2)()(-∇=∇-•∇∇=⨯∇⨯∇=⨯∇
在这里要借用传统的结论，在静电场中有以下结论：0
2
ερ
ϕ-
=∇【5】
；J
A 02
μ-=∇【6】
，两式分别带入（3.6）（3.7） 得到
j B
0μ=⨯∇ (3.6)
ερ
-=•∇E (3.7)
(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)为稳恒电磁场的麦克斯韦表达式。

4_三种方法的比较 4.1经典方法的优势
经典的方法求解麦克斯韦方程组，是在总结库仑定律，法拉第电磁感应定律、比奥萨法尔定律等前人成果的基础之上，利用数学高斯定理、环路定理、斯托克斯公式等建立起来的。

我们在推导过程中，可以清楚地理解麦克斯韦方程组的物理意义:1麦克斯韦方程组的第一式代表的意义是变化的磁场能产生涡旋的电场；2第二式代表的是电流或是变化的电场能产生涡旋的磁场；3电荷是电位移强度的源；4以及第四式代表是磁感应强度是无源场。

麦克斯韦方程不仅有积分形式和微分形式，而且还有边值关系；不仅有稳恒的电磁场的方程式，还有时变电磁场。

通过经典的方法可以一一得到。

在很多推导方法都是在经典方法的基础上推导得到的。

所以无论有多么简便的方法，传统的经典的方法都有其存在的意义。

但是不管是电磁学还是电动力学都只是经典物理的产物，是研究宏观电磁学物理性质的方法。

当今世界科学技术飞速发展，人们更多的研究的是在微观的物理现象。

那么经典下的麦克斯韦是否也能在量子理论下也能应用，我们从经典推导方法中是看不出来的。

这就显示出了经典方法的局限性。

4.2能量方法推导的优缺点
用能量的方法推导麦克斯韦方程组，麦克斯韦方程是电磁场的规律，电磁场是特殊的物质，是物质一定符合能量守恒定律。

能量守恒是自然界中的基本定律，代表了能量流动和转化，而电磁场也是一个变化的场，其中本质就是能量的流动和转化。

在(2.6)的讨论时只是考虑到真空中的情况，对于其他的介质不能推广。

因为在各个介质的电位移强度和磁场强度都是要求的，也是很难精确求解的，必须要用经典的方法分析，失去了能量求解麦克斯韦方程的意义。

从表面上看能量的方法求解麦克斯韦方程组虽然没有什么实际意义，但是让我们了解到电磁场是符合能量守恒的，进一步从另外的普遍存在的自然规律证明了麦克斯韦方程组的正确性。

4.3拉格朗日方程推导的特点
拉格朗日方程组在推导麦克斯韦方程组过程中，要用到一些经典的结论：1在推
导拉格朗日量就要用到A B ⨯∇=，t A
E ∂∂--∇=
ϕ，但相信应该有方法可以利用其它
方法可以得到同样的拉格朗日量的结论。

2 在推导过程中利用了一些静电场和静磁场
的结论0
2
ερϕ-=∇；J A 02
μ-=∇，如果不利用这些结论也能得到，但是方法比较复
杂，很多知识我们还没有学过。

可是这些物理量都是可以测量的，知道了其它电磁场
的ϕ2∇、A
2∇的表达式很容易把真空中的麦克斯韦方程组推广到其它介质中。

拉格朗日量可以很容易推广到量子领域。

所以我们的麦克斯韦方程组也可以推广到量子领域。

由于我们经常研究在电磁学中也经常研究是一个电子，一个电荷之类的，其实真正在研究这些东西时候必须是在量子条件下。

所以麦克斯韦方程组是在微观量子状态下也适用的方程组。

结束语：
通过不同的方法推导麦克斯韦方程组，我们发现从经典方法到拉格朗日方程方法，经历了从宏观到微观的，从经典到量子的变革。

发现麦克斯韦方程组不仅仅是揭示电磁场的物理规律，也符合能量守恒定律，还是与微观带电粒子运动有关的物理方程。

参考文献
：
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【1】郭硕鸿。

电动力学（第三版）[M]。

高等教育出版社，2011年5月：29页到30页
【2】刘成有。

《建立麦克斯方程组的其他途径》[J]。

山西大学学报，1999年９月：第１３卷第３期
【3】郭硕鸿。

电动力学（第三版）[M]。

高等教育出版社，2011年5月：160页
【4】郭硕鸿。

电动力学（第三版）[M]。

高等教育出版社，2011年5月：232页公式（7.5）【5】郭硕鸿。

电动力学（第三版）[M]。

高等教育出版社，2011年5月：43页公式（2.1）【6】郭硕鸿。

电动力学（第三版）[M]。

高等教育出版社，2011年5月：76页公式（1.8）
Methods of deriving the Maxwell equations and their
comparison
Abstract: This paper introduces the methods of deriving the Maxwell equations. From the equation of conservation of energy, Lagrange classic, the derived equations of Mike thought, from the side that the universal applicability of Maxwell and equivalence of some other universal existence theorem. Through the analysis of advantages and disadvantages of three methods, so as to enhance the physical meaning of the Maxwell equations of the understanding, cultivate scientific spirit of exploration.
Keywords: Lagrange equation, thinking of Mike equations, the law of conservation of energy。