麦克斯韦方程微分形式的推导

如图 1 所示 ,在场空间建立一直角坐标系 , 取 一立方体体积微分元 dV ,则 dV = d xd yd z , 取立方
体中心坐标 O′( x 、y 、z) , 设中心点电位移 D 的三
个分量为 ( Dx 、Dy 、Dz ) ,则在与 x 轴垂直的两个平 面 1 、2 上 , D 在 x 轴上的分量为
三个分量为 H x 、Hy 、Hz , 则在 1～2 、3～4 边上磁
场强度 H 的 y 轴分量分别为
H y12
=
Hy
+
5 Hy 5x
dx 2
H y34
=
Hy -
5 Hy 5x
dx 2
图2
在 2～3 、4～1 边上磁场强度 H 的 x 轴分量分别为
H x23
=
Hx
+
5 Hx 5y
dy 2
H x41
=
∫ =
j
+
5D 5t
·d xd y^z
∫ =
jz
+
5Dz 5t
d xdy
同理可得
5 Hy 5x
-
5 Hx 5y
=
jz
+
5Dz 5t
5 Hz 5y
-
5 Hy 5z
=
jx
+
5Dx 5t
5 Hx 5z
-
5 Hz 5x
=
jy
+
5D y 5t
上面三式求和可得磁场强度的旋度公式为
×H
=
j
+
5D 5t
(3)
应用同样的方法可推导出电场强度的旋度公式
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Hx
-
5 Hx 5y
dy 2
∮ ∫ 由环路定理积分式
H ·d l =
l
S
j
+
5D 5t
·dS 可
得
∮ ∫ ∫ H ·dl = Hy12 d y - Hx23 d x l ∫ ∫ Hy34 d y + H x41 d x
所以
∫ =
5 Hy 5x
-
5 Hx 5y
d xdy
∫ =
j
+
5D 5t
·d S
59 物理与工程 Vol . 15 No . 6 2005
教学经验交流
麦克斯韦方程微分形式的推导
胡鸿奎 张占新 (河北理工大学信息学院电子系 ,河北 唐山 063009)
(收稿日期 :2005202205)
摘 要 由麦克斯韦方程的积分式出发 ,利用了数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦方程的 微分形式.
为
dΦy
=
5D y 5y
d
x
d
y
d
z
dΦz
=
5D 5z
z
d
x
d
y
d
z
由上面结论可得 ,通过体积元 dV 的边界面的电位
移通量为
dΦ = dΦx + dΦy + dΦz
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D1 x
=
Dx
+
5D x 5x
dx 2
D2 x
=
Dx
-
5D x 5x
dx 2
图 1
穿过平面 1 、2 的电位移通量为
dΦx =
Dx
+
5Dx 5x
dx 2
dydz -
Dx -
5Dx 5x
dx 2
d yd z
=
5D x 5x
d
x
d
y
d
z
同理可得穿过与 y 、z 垂直面 d xd z 、d yd x 的通量
常是由数学公式
Δ Δ
∮ ∫ A ·dS =
·AdV
S
V
∮ ∫ A ·dl =
×A ·dS
l
S
一步导出. 这会使一些数学功底较差的学生理解
上有困难. 本文由麦克斯韦方程的积分形式出发 ,
利用高等数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦
方程的微分形式 ,推导过程简单易懂 , 使学生接受
起来更为容易.
散度的推导
60 物理与工程 Vol . 15 No . 6 2005
Δ Δ
Δ Δ
=
5Dx 5x
+
5D y 5y
+
5Dz 5z
d xdydz
∮ ∫ 由高斯定理积分式 D ·dS = ρdV , 可得
S
V
∮ ∫ ∫ D ·dS = S
dΦ =
V
V
5Dx 5x
+
5D y 5y
+
5Dz 5z
dV
∫ = ρdV V
×E
=-
5B 5t
(4)
至此 ,从麦克斯韦方程的积分形式出发 ,利用
了数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦方程的
微分形式 (式 (1) ～ (4) ) . 利用麦克斯韦方程的微分
形式 ,可以更好地分析和研究电磁场理论及其应用.
参 考 文 献
[ 1 ] 郭硕鸿. 电动力学 第二版. 北京 : 高等教育出版社 ,1997 [ 2 ] 陈世民. 电动力学简明教程. 北京 : 高等教育出版社 ,2004 [ 3 ] 马文蔚. 物理学 第四版. 北京 : 高等教育出版社 , 1999
关键词 麦克斯韦方程 ;散度 ;旋度
麦克斯韦方程是电磁学所遵循的基本规律 , 它不仅揭示了电磁场的内部作用和运动 ,而且还 在理论上预言了电磁波的存在 ,并指出电磁场可 以独立于电荷之外存在. 这样就加深了学生对电 磁场物质性的认识. 在大学物理课程中 ,通常只给 出麦克斯韦方程的积分形式
∮ ∫ D ·dS = ρdV
所以 ,由上述可得电位移的散度公式为
5D x 5x
+
5D y 5y
+
5Dz 5z
= ρ或
·D = ρ
(1)
应用同样的方法可推导出磁感应强度的散度公式
·B = 0
(2)
旋度的推导
如图 2 所示 ,在场空间建立一直角坐标系 , 在
坐标系中取一与 z 轴垂直的矩形面积元 d S , 取矩
形中心坐标 O′( x 、y 、z) , 设中心点磁场强度 H 的
S
V
∮ ∫ E ·dl =
l
S
-
5B 5t
·d S
∮B ·dS = 0 S
∮ ∫ H ·dl = l
S
j
+
5D 5t
·d S
学生在应用时 ,只有在少数对称情况下才能将场
变量 E 和 B 提出积分号外 ,应用麦克斯韦方程. 在
电动力学课程中 , 需要将麦克斯韦方程改写成适
用于空间一点的微分形式. 由积分式到微分式通