2024届北京市第十二中学高三下学期统练(一)数学试题

2024届北京市第十二中学高三下学期统练（一）数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．a ∥(a b -)
D ．a ⊥( a b -)
2．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则对于下列判断： ①直线2
x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；
②点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()3512
12y f x x π
π⎛⎫
=-
≤≤
⎪⎝⎭
的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
3．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．
A B C D 4．()(
)5
2122x
x --的展开式中8
x
的项的系数为（ ）
A ．120
B ．80
C ．60
D ．40
5．过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则
AF BF
=（ ）
A ．
54
B ．
43
C ．
32
D ．2
6．已知(1)n
x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122
B ．112
C ．102
D ．92
7．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤
=⨯⎢⎥⎣⎦
，11b a =，
()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．8
8．已知双曲线2222:1x y a b
Γ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22
:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的
面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）
A ．2
B ．
23
3
C ．
73
D ．
213
9．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）
A ．12
B ．122
C 162
D ．
163
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、
右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，16|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22
y x =±
B ．3y x =
C ．y x =±
D ．2y x =
11．函数()()
2
41x
f x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若2
1i i
z =-+，则z 的虚部是
A ．3
B ．3-
C ．3i
D ．3i -
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若4
cos(
)4
5
π
α-=
，则sin 2α=__________． 14．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
__________．
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2112n
n n n
a a a a ++=-，11a =，则7S =________.
16．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2x
f x xe x =-
（1）求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程
（2）设函数()()2ln g x f x x =-，对于任意()0,x ∈+∞，()g x a >恒成立，求a 的取值范围.
18．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与C 有
且仅有两个交点且都在C 轴上，||3
||2
OB OA =
（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点31,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不过D 点且斜率为1
2
-
的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线DM 与直线DN 的斜
率互为相反数.
19．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为
A 、
B +、B 、
C +、C 、
D +、D 、
E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依
照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望．
（附：若随机变量(
)2
~,N ξμσ
，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，
(33)0.997P μσξμσ-<<+=）
20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>，右焦点为抛物线24y x =的焦点F .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为4
5
-，求证：MON △的面积为定值.
21．（12分）已知椭圆22:12
x C y +=，点()00,P x y 为半圆()22
30x y y =≥+上一动点，若过P 作椭圆C 的两切线分
别交x 轴于M 、N 两点. （1）求证：PM PN ⊥；
（2）当011,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，求MN 的取值范围.
22．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3620a a +＝，535S ＝． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{12n S n ++}的前n 项和为n T ，求使9
20
n T ＞成立的n 的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【题目详解】
∵向量a =（1，﹣2），b =（3，﹣1），∴a 和b 的坐标对应不成比例，故a 、b 不平行，故排除A ； 显然，a •b =3+2≠0，故a 、b 不垂直，故排除B ；
∴a b -=（﹣2，﹣1），显然，a 和a b -的坐标对应不成比例，故a 和a b -不平行，故排除C ； ∴a •（a b -）＝﹣2+2＝0，故 a ⊥（a b -），故D 正确， 故选：D . 【题目点拨】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 2、C 【解题分析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为
()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为5,012M π⎛⎫
⎪⎝⎭
为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
由222T ππ
ωπ
=
==
所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
带入得 6
π
=ϕ ，
所以()3sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
由此可得①错误，②正确，③当3512
12x π
π-
≤≤
时，0266
x π
π≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确 所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题． 3、C 【解题分析】
设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出
11
,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据中位线定理，
结合余弦定理求出,,AC MQ MP 和MNP ∠的余弦值再求其正弦值即可. 【题目详解】 根据题意画出图形:
设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，
则
11
,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角
可知112MN AB =
=
，112NP BC ==. 作BC 中点Q ，则PQM 为直角三角形；
1
1,2
PQ MQ AC ==
ABC 中，由余弦定理得
22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
AC ∴=
2
MQ =
在MQP △
中，2
MP =
=
在PMN 中，由余弦定理得
222
222
222cos 25MN NP PM MNP MH NP ⎛⎛⎛+- +-∠====-⋅⋅
所以sin 5MNP ∠=== 故选：C 【题目点拨】
此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 4、A 【解题分析】
化简得到()(
)
()()5
5
5
212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.
【题目详解】
()()()()5
5
5
212222222x x x x x =⋅-----
展开式中8x 的项为()
()2
3
23
32552C 22C 221208x x
x x
---=⨯.
故选：A 【题目点拨】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 5、C 【解题分析】
需结合抛物线第一定义和图形，得AFH 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()
cos 2p
BF πα=
-，
()
tan sin 2p AF α
πα=
-，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【题目详解】
如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()
()
cos 2cos 2MF p
BF παπα=
=
--，
()
()
()
tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF αα
παπαπα=
=
=
---，
所以
()2tan tan tan 13tan 2tan 222AF
BF αααπαα
-====--.
故选：C 【题目点拨】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 6、D 【解题分析】
因为(1)n
x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，
所以二项式10
(1)x +中奇数项的二项式系数和为．
考点：二项式系数，二项式系数和． 7、B
【解题分析】
求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【题目详解】
解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦
.*
111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，
∴112027[
]a b ＝＝＝，2200[287
]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，
同理可得：
332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，……. ∴6n n b b +＝.
故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 8、D 【解题分析】
由圆22
:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又12
22AF F AOF S S
ab ∆===，由
此求出a 的值，利用离心率公式，求出e . 【题目详解】
由题意得2b =，12AF F S ab ∆==
a ∴=3
e ∴==
. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 9、C 【解题分析】
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知
18
33P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=，当PCE S 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得
EF PC ⊥，再由21
12
PCE S PC EF PE =⋅=-，求出PE 的最大值即可.
【题目详解】
在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE
CE E =，所以BD ⊥平面PCE ，
所以183
3
P BCD B PCE D PCE PCE
PCE
V V V S BD S ---=+=⋅=，
当PCE
S
最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，
所以21
12
PCE
S PC EF PE =
⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8
223
⨯162
3
=. 故选：C.
【题目点拨】
本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 10、D 【解题分析】
根据2F G OG ⊥，先确定出2,GF GO 16|||OG GF =转化为
,,a b c 的关系式，化简后可得到
b
a
的值，即可求渐近线方程. 【题目详解】 如图所示：
因为2F G OG ⊥，所以22222
,1bc a GF b OG c b a b a
=
==-=+，
16OG GF =16OG GF =，所以2216OG GF F F =+， 所以2
2
2216OG GF F F =+，所以()2
2
2
216422cos 180a b c b c GF F =++⨯⨯︒-∠，
所以222
6422b a b c b c c ⎛⎫=++⨯⨯- ⎪
⎝⎭
，所以222,2b b a a == 所以渐近线方程为2y x =. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半. 11、A 【解题分析】
用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【题目详解】
解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；
当2x =时，()2
230f e =-<，故可排除D ．
故选：A ． 【题目点拨】
本题考查了函数图象，属基础题． 12、B
【解题分析】
因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
725
【解题分析】
因为4cos 45
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由二倍角公式得到21cos(2)2cos ()2
4π
απα+--= 1sin 216225a +== ，故得到 7
sin225
α= ．
故答案为7
sin225
α=．
14、2 【解题分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的
值． 【题目详解】 二项式的展开式中的通项公式为，
令
，求得
，可得常数项为
，
，
故答案为：． 【题目点拨】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 15、127 【解题分析】
已知条件化简可化为22112n n n n a a a a ++-=,等式两边同时除以2
n a ，则有2
1120n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，通过求解方程可解得
1
2n n
a a +=,即证得数列{}n a 为等比数列,根据已知即可解得所求. 【题目详解】
由2
2
22
1111112220n n n n n n n n
n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⎛⎫=⇒-=⇒--= ⎪-⎝⎭
.
1111712120222112712n n n n n n n n n n n a a a a S S a a a -+++⎛⎫⎛⎫-⇒+-=⇒=⇒=⇒==-⇒= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
.
故答案为:127. 【题目点拨】
本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易. 16、
1
2
【解题分析】
基本事件总数328n ==，三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=．由此能求出三人都收到礼物的概率． 【题目详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同）， 基本事件总数328n ==，
三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=． 则三人都收到礼物的概率41
82
m p n ===． 故答案为：
12
． 【题目点拨】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(22)y e x e =--；（2）22ln 2a <- 【解题分析】
（1）求出(),(1),(1)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）a 的取值范围满足min ()a g x <，()0,x ∈+∞，求出()g x '，当()0,x ∈+∞时求出()0g x '>，()0g x '<的解，得到单调区间，极小值最小值即可. 【题目详解】
（1）由于'()(1)2,(1)22x
f x x e f e '=+-=-， 此时切点坐标为(1,2)e -
所以切线方程为(22)y e x e =--.
（2）由已知()22ln x g x xe x x =--， 故12'()(1)2(1)(1)()x
x
g x x e x e x
x
=+-+=+-. 由于(0,)x ∈+∞，故10x +>， 设2()x
h x e x =-
由于2()x
h x e x
=-在(0,)+∞单调递增 同时0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞， 故存在00x >使得0()0h x =
且当0(0,)x x ∈时()0h x <，当0(,)x x ∈+∞时()0h x >， 所以当0(0,)x x ∈时)'(0g x <，当0(,)x x ∈+∞时'()0g x >， 所以当0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值， 故0min 0000()()2(ln )x
g x g x x e x x ==-+
由于0
000000
2
()02ln ln 2x x h x e x e x x x =-
=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-，
22ln 2a ∴<-.
【题目点拨】
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
18、（1）22
143
x y +=（2）证明见解析
【解题分析】
（1）根据条件可得2a =
，进而得到b =
（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+，联立22
12
14
3y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，分别表示出直线DM 和直线DN 斜率，相加利用根与系数关系即可得到. 【题目详解】
解：（1）
圆22:4C x y '+=与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上，所以2a =，
又
||||OB OA
=
2b ∴=，解得b =C 的方程为22143x y +=；
（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+，联立22
12
1
4
3y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得22444120x mx m -+-=， 则(
)(
)2
2
2
(4)444124840m m m ∆=--⨯-=->，解得22m -<<，
设点()11,M x y ，()22,N x y ，
则12x x m +=，2
123x x m =-，
所以12121212331313
2222221111DM
DN
y y x m x m k
k x x x x -
--+--+-+=
+=+=++++ ()()()()()
2212121212(2)233223
01111x x m x x m m m m m x x x x -+-++--+-+-==++++，
故直线DM 与直线DN 的斜率互为相反数. 【题目点拨】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于中档题． 19、（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解题分析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为
2
5
，且23,5X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，由此可得X 的分布列和数学期望．
【题目详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩(
)
2
60,13N ξ~，
所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<
11
(60136013)(6021360213)22
P P ξξ=
-<<++-⨯≤<+⨯
0.6820.954
22
=
+ 0.818=．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为2
5． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,
5X B ⎛⎫~ ⎪⎝
⎭
， 所以()3
32705125P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭ ， ()2
13
2354
155125
P X C ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭， ()2
232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭，
()3
2835125
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．
所以X 的分布列为
所以数学期望()355
E X =⨯=． 【题目点拨】
（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．
20、（1）22
154
x y +=；
（2）见解析 【解题分析】
（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程；
（2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()
0x t t t =<<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通
过OM 、ON 斜率之积为4
5
-
列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为4
5
-可得
22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解.
【题目详解】
（1）抛物线2
4y x =的焦点为()1,0F ，
1c ∴=， 55e =
，5
c a ∴=， 5a ∴=，2b =，
∴椭圆方程为22
154
x y +=；
（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线
MN
的方程为：()
0x t t t =<<≠
代入22
154x y +=
得：,M t ⎛ ⎝
，,N t ⎛- ⎝，
2122
455t k k t
-∴⋅==-⋅ 22454
55
t t -∴-⋅=-，
解得：2
5
2
t =
，
12MON
S t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+
由()
22222
4510520015
4y kx m
k x kmx m x y =+⎧⎪
⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①
1221045km x x k +=-+，2122
520
45m x x k
-⋅=+ 4
·5
OM ON k k =-，
12124
5
y y x x ∴
⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()
()2
2
121254550k x x mk x x m +⋅+++=
()22
2
22
52010545504545m km k mk m k k
-⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭
整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠
MN =
=
=
O 到MN
的距离d =
1
2
MON S MN d ∴=
△
=
=
=
综上：MON S =△为定值. 【题目点拨】
本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.
21、（1）见解析；
（2
）⎡⎣.
【解题分析】
（1）分两种情况讨论：①两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线PM 、PN 的斜率都存在，可设切线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为1-，进而可得出结论； （2）求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出
MN =
[]20
21,2t x =-∈
，可得出MN =，利用二次函数的基本性质可求得MN 的取值范围. 【题目详解】
（1）由于点P 在半圆()22
30x y y =≥+上，则22
003x y +=
.
①当两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为x
=，1y =或x =1y =，此时
PM PN ⊥；
②当两切线PM 、PN 的斜率都存在时，设切线的方程为()00y y k x x -=-（PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ），
()
()()20022
000022
12422022y kx kx y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⇒++-+--=⎨+=⎩
()()()22
22000016412220k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
，
(
)
(
)
2
2
20
000
2210x k x y k y ∴--+-=，22
00
12220012122
y x k k x x --∴⋅===---，PM PN ∴⊥.
综上所述，PM PN ⊥； （2）根据题意得001,0y M x k ⎛⎫-
⎪⎝⎭、002,0y N x k ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，
001201212
y y k
MN y y k k k k k -=-=⋅=
=
令[]20
21,2t x =-∈
，则
MN =
=
所以，当1
1t =时，max MN =1
1
2
t =
时，min MN =
因此，
MN 的取值范围是⎡⎣.
【题目点拨】
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.
22、（1）21n a n +＝；（2）n 的最小值为19. 【解题分析】
（1）根据条件列方程组求出首项、公差，即可写出等差数列的通项公式； （2）根据等差数列前n 项和化简1
2
n S n ++，利用裂项相消法求和，解不等式即可求解.
【题目详解】
(1)等差数列{}n a 的公差设为d ，3620a a +＝，535S ＝， 可得12720a d +＝，151035a d +＝， 解得13a ＝，2d ＝，
则()32121n a n n +-+＝
＝； (2)1
(321)(2)2
n S n n n n =++=+，
11111
2(2)2(1)(2)12
n S n n n n n n n n ===-+++++++++，
前n 项和为111111233412
n T n n =
-+-+⋯+-++ 11
22n =
-+， 920n T >即1192220n ->+，
可得220n +＞，即18n ＞， 则n 的最小值为19. 【题目点拨】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，属于中档题。