二项式系数的性质

所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)由(1)得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.
②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(2)由题意知 C0n＋C1n＋C2n＝79， 解得 n＝12 或 n＝－13(舍去)． 设展开式中第 r＋1 项的系数最大， 由于12＋2x12＝1212·(1＋4x)12， 则CCr1r122··44rr≥≥CCr1r1－ ＋22 11··44rr＋－11，， 解得 9.4≤r≤10.4. 又 r∈{0,1,2，…，12}，∴r＝10， ∴系数最大的项为 T11，且 T11＝1212·C1102·(4x)10＝16 896x10.
题型三 二项式系数性质的应用
[学透用活]
[典例 3] 已知二项式12＋2xn. (1)若展开式中第 5 项，第 6 项，第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开 式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项．
[解] (1)由题意，得 C4n＋C6n＝2C5n， ∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7 或 n＝14.
解：分类计算：当不含元素，即为空集时，含有一个元素时，含有 2 个元素 时，……，一直到含有 100 个元素时，利用组合知识可得到子集的个数共有： C0100＋C1100＋C2100＋C3100＋…＋C110000个子集， 由二项式系数的性质可得： C0100＋C1100＋C2100＋…＋C110000＝2100 个．
数是
()
A．－462 B．462
C．792
D．－792
解析：∵x－1xn 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有 13 项，则 n＝12. x－1x12 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝(－1)rCr12x12－2r， 令 12－2r＝2，得 r＝5. ∴展开式中含 x2 项的系数是(－1)5C512＝－792，故选 D. 答案：D
()
2．(1－x)13的展开式中系数最小的项为
()
A．第6项
B．第7项
C．第8项
D．第9项
解析：展开式中共有14项，中间两项(第7,8项)的二项式系数最大．由于二项 展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所
以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.
答案：C
3．若x－1xn 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2 项的系
(1)由于 n＝5 为奇数，
∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3＝C25(3 x2)3(3x2)2＝ 90x6，
T4＝C35(3
x2)2(3x2)3＝270x
22 3
.
2
(2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·(x 3 )5＋2r.
假设 Tr＋1 项系数最大，则有CC55rr33rr≥≥CC5r5r＋－11··33rr＋－11，，
∴a2k－1<0(k∈N *)，a2k>0(k∈N )．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 022| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022＝32 022.
[方法技巧]
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R ，m，n∈N *)的式子求其展开
(二)基本知能小试
1．已知(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于
A．11
B．10
C．9
D．8
解析：第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.
答案：D
()
2.3x－
1 6 x
展开式中各项系数之和为
A．26
C．46
B．36 D．1
()
解析：令
x＝1，得3x－
1 6 x
展开式中各项系数之和为(3－1)6＝26.故选
题型二 求二项展开式的系数和
[学透用活]
[典例2] 设(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022·x2 022(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 022的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 022|的值． [解] (1)令x＝1，得
之比为 64，所以42nn＝2n＝64，n＝6.故选 C.
答案：C
2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书 中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，称作 “开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成
果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用ai－j表示三角形数阵的第
A.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：A
题型一 求二项展开式中系数或二项式系数最大的项 [探究发现] 在二项展开式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cnnbn 中： (1)与 Ckn相等的二项式系数是展开式中的第几项？ 提示：与二项式系数 Ckn相等的二项式系数为 Cnn－k，应为展开式的第 n－k
a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝(－1)2 022＝1.
①
(2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 021＋a2 022＝32 022.
②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝1－32 022，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
021＝1－232
022
.
(3)∵Tr＋1＝C2r 022(－2x)r＝(－1)r·Cr2 022·(2x)r，
[对点练清]
1．已知
x＋ 3 n 3 x
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为
64，则 n＝ A．4
B．5
()
C．6
D．7
解析：二项式
x＋ 3 n 3 x
的各项系数的和为(1＋3)n＝4n，二项式
x＋ 3 n 3 x
的各项二项式系数的和为 2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和
6．3.2 二项式系数的性质 1.理解和掌握二项式系数的性质，并会应用性质解决一些简单问题. 2.会求展开式中系数或二项式系数的最大项，理解和初步掌握赋值法及 其应用. 3.通过对二项式系数的性质的学习，培养学生逻辑推理、数学运算的核 心素养.
(一)教材梳理填空
二项式系数的性质
[微提醒] 求二项式系数的最大、最小值时，一定要搞清楚n是奇数还是偶数． [微思考] 系数最大的项一定是二项式系数最大的项吗？ 提示：系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项 系数相等时，二者才一致．
[方法技巧] (1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式 系数的最值来解决．
(2)若展开式的系数为 f(r)＝Crn·mg(r)的形式，如求(a＋bx)n(a，b∈R )的展开式
系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，…， An＋1，且第 r＋1 项系数最大，应用AArr＋ ＋11≥ ≥AArr＋2， 解出 r，即得系数最大项．
式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R ，n
∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之 和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
[方法技巧] (1)根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为 偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系 数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般 地，如果第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项、第r＋2项)的系数均不 大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N*来确定r的 值，即可求出最大项．
项式系数最大的项为
()
A．第5项
B．第6项或第7项
C．第6项
D．第7项
(2)x－1x10 的展开式中，系数最大的项为
A．第 6 项
B．第 3 项
()
C．第 3 项和第 6 项
D．第 5 项和第 7 项
[解析] (1)T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n×25＝C6n×26⇒n＝8. 所以(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为第 5 项．故选 A. (2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等． 由于二项式系数的最大项为 T6，且 T6＝C510x5·－1x5＝－C510中的二项式系数 等于项的系数的相反数，此时 T6 的系数最小． 而 T5＝C410x6－1x4＝C410x2， T7＝C610x4－1x6＝C610x－2，且 C410＝C610. 所以系数最大的项为第 5 项和第 7 项．故选 D. [答案] (1)A (2)D
(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作 差(作商)比较确定．
[对点练清]
已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二 项式系数之和为2n， 由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0. ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
[对点练清]
1.
x＋
1 2n 3 x
展开式的第
6
项系数最大，则其常数项为
A．120
B．252
C．210
D．45
解析：由题意，Cn2n＝C52n，易知 n＝5，
由 Tr＋1＝C1r0( x)10－r31xr＝Cr10x30－6 5r， 令 30－5r＝0，得 r＝6，故其常数项为 C610＝210. 答案：C
∴55－ －55rr！ ！ ！ ！rr！ ！× ≥34≥－r6－！5！rr！＋5！1r－ ！1×！3， .
∴53r－≥1 r6≥－1 rr＋，3 1.
∴72≤r≤92，
∵r∈N ，∴r＝4.
26
26
∴展开式中系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．
＋1 项． (2)当 n＝10 时，展开式中的二项式系数最大的是哪一项？若 n＝11 呢？ 提示：当 n＝10 时，中间的一项 C510为最大值．当 n＝11 时，中间的两项
C511与 C611相等，且同时为最大值．
[学透用活]
[典例1] (1)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二
解：(a－x)5 展开式的通项为 Tk＋1＝(－1)kCk5a5－kxk. 令 k＝2，得 a2＝(－1)2C25a3＝80， 解得 a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5. 令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
二、应用性——强调学以致用 2．若一个集合含有100个元素，你能计算出这个集合共有多少个子集吗？
①当 n＝7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5，T4 的系数为 C37 ×124×23＝325，T5 的系数为 C47×123×24＝70.
故展开式中二项式系数最大项的系数分别为325，70. ②当 n＝14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8， ∴T8 的系数为 C714×127×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为 3 432.