湖南省长沙市高二数学上学期第一学月阶段性检测试题 文 湘教版

南雅中学高二第1学月阶段性检测数学卷（文科）
（2012.10.6）
一、选择题：本大题共8*5分=40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求。

1．命题“2,12x R x x ∃∈+<”的否定为 ( ) D
A ．2000,12x R x x ∃∈+≥
B ．2,12x R x x ∀∈+<
C ．不存在实数x ，x 2
＋1≥2x D ．2,12x R x x ∀∈+≥
2．设A ，B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点，则||AB =（ ）D
A ．1
B ．2
3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行的（ ）A
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．在抛物线22y px =上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ）C A.0.5 B.1 C. 2 D. 4
5．若椭圆
22
1369
x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是 （ ）D A ．20x y -= B ．240x y +-= C ．213140x y +-= D ．280x y +-=
6.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2
y x =于,A B 两点，且
PA PB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）A
A ．直线l 上的所有点都是“点”
B ．直线l 上仅有有限个点是“点”
C ．直线l 上的所有点都不是“点”
D ．直线l 上有无穷多个点是“
点”
7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的右焦点F ，作渐近线x a b
y =的垂线与双曲线左右
两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) C A ．21<<e B ．21<
<e C ．2>e D ．2>e
8．已知点P 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦
点，I 为21F PF ∆的内心，若2121
F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为 （ ）B A ．a
b a 222+
B ．
2
2b a a + C ．
a
b D ．
b
a 二、填空题：本大题共7小题*5分=35分．
9．已知椭圆
116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3，则P 到另一个焦点的距离是_____．7
10．椭圆）0(022<<=++b a ab by ax 的焦点坐标是______________．
11．过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于___________．8
12．与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程
是 ．
22
1416
y x -= 13．P 为双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为______________．9
14．长为3的线段AB 的端点,A B 分别在,x y 轴上移动，动点(,)C x y 满足2=，
则动点C 的轨迹方程是 ．14
12
2
=+
y x 15．（1）已知1
y x = 的图象为双曲线，在双曲线的两支上分别取点,P Q ，则线段PQ 的最小值为 ；
（2）已知1
y x
=
-
的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点,P Q ，则线
段PQ 的最小值为 。

2-
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（满分1222194x y +=有公共焦点，求此双曲
线方程。

答案：2
214
x y -=
17．(满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和2(0)n S an bn c a =++≠，求证数列{}n a 成等差数列的充要条件是0c =．
证：必要性：当1n =时，1a a b c =++；当2n ≥时，12n n n a S S an b a
-=-=+-；
由于0a ≠，∴当2n ≥时，{}n a 是公差为2a 等差数列。

要使{}n a 是等差数列，则2120a a a c -=⇒=. 即{}n a 是等差数列的必要条件是：0,0a c ≠=. 充分性：
当0,0a c ≠=时，2n S an bn =+.
当1n =时，1a a b =+；当2n ≥时，12n n n a S S an b a
-=-=+-，
显然当1n =时也满足上式，∴**12()2()n n n a an b a n N a a a n N -=+-∈⇒-=∈ ∴{}n a 是等差数列．
综上可知，数列{}n a 是等差数列的充要条件是：0,0a c ≠=. 18．（满分12分）给定两个命题,
P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有
实数根；
如果“P Q ∧”为假，且“P Q ∨”为真，求实数a 的取值范围。

解：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立0a ⇔=或0
a >⎧⎨
∆<⎩40<≤⇔a ；
关于x 的方程02
=+-a x x 有实数根11404
a a ⇔-≥⇔≤
； 由于“P Q ∧”为假，且“P Q ∨”为真，则P 与Q 一真一假；
（1）如果P 真，且Q 假，有11
04,444
a a a ≤<>
⇒<<且； （2）如果Q 真，且P 假，有1
04,04
a a a a <≥≤⇒<或且。

所以实数a 的取值范围为：()
1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

19. (满分13分) 设直线42-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点. （1）求线段AB 的长；（2）若抛物线x y 42=的焦点为F ，求AFB ∠cos 的值.
解：（1）由⎩⎨⎧-==4
242x y x y 消y 得 0452=+-x x
解出11=x ，42=x ，于是，21-=y ，42=y 所以B A ,两点的坐标分别为)4,4(A ，)2,1(-B 线段AB 的长：53)24()14(||22=++-=
AB ……6分
（2）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，由（1）知，)4,4(A ，)2,1(-B ，
于是，5
4
25)2,0()4,3(||||cos -=⨯-⋅=⋅⋅=
∠FB FA AFB ……12分
20．（满分13分） 已知()0122
22>>=+b a b
y a x 与01=-+y x 相交于Q P ,两点，且
OQ OP ⊥(O 为原点) ．
(1)求证：221
1b a +为定值；(2)若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈22,33e ，求长轴的范围．
21.（满分13
分）已知ABC ∆中，点,A
B 的坐标分别为(，点
C 在x
轴上
方。

（1）若点C 坐标为，求以,A B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； （2）过点(,0)P m 作倾角为
3
4
π的直线l 交（1）中曲线于,M N 两点，若点(1,0)Q 恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值。

解：（1）设椭圆方程为22
22
1x y a b +=，c =2a
=4AC BC +=,b = 椭圆方程为22142
x y +=………………5分
（2）直线l 的方程为(),y x m =--1122令M(x ,y ),N(x ,y )，联立方程解得
2234240x mx m -+-=，122124+3
243m x x m x x ⎧
⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬-⎪⎪
=⎪⎪⎩⎭，若Q 恰在 以MN 为直径的圆上, 则
12
12111
y y x x =---，即212121(1)()20m m x x x x +-+++=，
23450,m m m --==
解得………………13分。