2021年1月新高考研究卷-数学答案(1-5卷)

名校联盟★《新高考研究卷》 2021年1月
《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（一）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1．答案C 【解析】{}{}2=1011A x x x x −<=−<<，{}{}=ln 0B x y x x x ==>， 则A
B ={}1x x >−故选
C ．
2．答案D 【解析】()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1
i 1i 2z ++
++=
==−−+，13i 2z −=，则z =D ． 3．答案A 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界），其三个顶点分别是()1,0A ，
()0,1B ，()2,2C ，目标函数1
y
z x =
+表示点(),x y 与()1,0−连线的斜率，过()1,0A 时，min
0z =，过()0,1B 时，max 1z =，故01z ≤≤，选A ．
4．答案B 【解析】3
3sin
108606666f π
πππππ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪⎝⎭
，排除C ； 33sin 108606666f ππππππ⎛⎫− ⎪⎛⎫⎝⎭−=−+=−+> ⎪⎝⎭⎛⎫
− ⎪⎝⎭
，排除A 、D ；选B ． 5
．答案D 【解析】由三视图得该几何体为四棱锥A BCDE −
（如图），底面棱长
与高均为2，12222ABC ABE S S ∆∆==⨯⨯=
，1
22
ADE ADC S S ∆∆==⨯⨯=，
4BCDE S =，所以28表S =+，选D ．
6．答案A 【解析】根据线面垂直的判定定理m α⊂，且m β⊥αβ⇒⊥，反之m α⊂，且αβ⊥，直线m 与平面β可能垂直，也可能是斜交，或在平面β内，所以“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，选A ．
7．答案B 【解析】因为2021201920192020a a a a −=−所以20212020201920a a a +−=，即220q q +−=，因为
1q ≠，所以2q =−，20202021201920202020202120202021220S S S a a a a a +−=++=+=，选B ．
8．答案C 【解析】由题意知2
DEF DOF DOE S S S ∆∆∆=⋅所以2
EF
OF OE =⋅① :AB l y x c =+，设()11,A x x c +，()22,B x x c +，则()11,D x x c −−，则直线DB 的方程为()122221
2x x c y x c x x x x ++−−=−−，令0y =，
则()()()212121*********E x x x c x x c x x x x x x c
x x c
−−+++=
+=
++++②
2
2
22+1x y a b y x c ⎧=⎪⇒⎨⎪=+⎩()22222222
20a b x a cx a c a b +++−=，则212222222
12222a c
x x a b a c a b x x a b ⎧−+=⎪⎪+⎨
−⎪=
⎪+⎩
代入②
得2E a x c =−，由①得：22
222222()()a a c c c a a c c c
⋅=−⇒=−，即422430a c a c −+=，
所以42
310e e −+=2
e ⇒=即e =C ．
9．答案D 【解析】令1c b =则0c >，21a c +=，2121221212222ab a a a c
b a
c a a c a
++=+=++
++
111
2222
a a c a c a +=++≥=+，当且仅当
2a
a c a c a +=+即)
1c a =
又因为21a c +=
，所以1a =−
，3c =−3b =+取等号，选D ．
10．答案B 【解析】())(()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x −−++++=++++
即为()()()()()()()()112211n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x −−−=−+−++−
即112211ln ln ln ln n n n n x x x x x x x x −−−=−+−+
+−，令()ln h x x x =−，则()111x h x x x
−'=−
=， 所以()h x 在21,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，21,e ⎡⎤⎣⎦
单调递增()()min 11h x h ==， ()()222max 1max ,e e 2e h x h h ⎧⎫
⎛⎫==−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
，所以()()2e 2111n h n −≥−=−即2e 1n ≤−，故正整数n 的
最大值为6，选B ．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．答案1−，14n −−
【解析】令1n =，得1141
33
a a =
+得11a =−，当2n ≥时，114133n n S a −−=+，
所以1144
33
n n n n n a S S a a −−=−=−，所以()142n n a a n −=≥，所以14n n a −=−．
12．答案90，528
【解析】()()5532311x x −=−+⎡⎤⎣⎦，则2a 为展开式第四项的系数()()22
3
4531901T C x x =−=−⎡⎤⎣⎦，
则290a =；在展开式中令2x =得50123454a a a a a a +++++=，
令0x =得50123452a a a a a a −+−+−=−，两式相减得135528a a a ++=
．
13．答案2425−
，50
− 【解析】因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以sin 0α>，cos 0α<，221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得4sin 5
3cos 5αα⎧
=⎪⎪⎨
⎪=−⎪⎩
， 24sin 22sin cos 25ααα==−；227
cos 2cos sin 25
ααα=−=−，
πππcos 2cos 2cos sin 2sin 444ααα⎛
⎫−=+ ⎪⎝
⎭3125250=
−⨯=−． 14．答案
3
【解析】如图过A 作AF BE ⊥于F ，则AF =
在折叠过程中点A 到平面BDE 的距离d AF ≤，
故max d =
1233A BDE BDE V S d d
'−∆==≤
． 15．答案
⎤
⎥⎦
表示点(),P x y 与点()3,0C −的距离PC ，如
图当CP AB ⊥时距离最短，直线AB 的方程为
145
x y
+=，
即54
200x y +
−=，min CP =
=
，max 7PC
CA ==⎤
⎥⎦
．
16．答案4
27
，45
【解析】记事件A 为红、黄两球恰好在一个盒子内，则
()()112544224
232
425
4
5
522804
54027
C C A P A C C A C A A A +=
=
=
⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
；{}0,1,2ξ∈， ()22423
242444422204
0540540C C A C A A A P ξ++===，()()132244342401540540
C A C A P ξ+==
=， ()()
2
2144496
2540540C A C P ξ+==
=
，
所以240964324
=1+2==5405405405
E ξ⨯⨯． 17．答案1
3
m =或3m =
【解析】以{
}
,AC AB 为基底，则CB CA AB AB AC =+=−，
()AC mAB CB −⋅=()()2
2
0AC mAB AB AC AC AB AC
mAB mAB AC −⋅−=⋅−−+⋅=，
即()2
2
1cos mc b m bc A
+=+，所以(
)22cos 1mc b A m bc
+=≥=+，当且仅当
b =时取等号，因为角A
最大值为
π6=即231030m m −+=， 所以1
3
m =或3m =．
三、解答题：本大题共5
小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．【解析】
（Ⅰ）因为222sin sin
sin sin C B A A B −=，由正弦定理222c b a −=，
所以2
2
2
+a b c −，由余弦定理222+cos 2a b c C ab −=，因为π02C <<，所以π=6C ． （Ⅱ）因为在锐角△ABC 中6C π=，所以π02π025π6A B A C ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪
⎪
+=⎪⎩
得ππ
32B <<
，
sin cos tan A B C
++(
)3π=sin cos cos 23B C B B B B ⎛
⎫++++++
⎪⎝
⎭，
2ππ5π336B <+<
，所以1πsin 23
B ⎛
⎫<+< ⎪⎝
⎭即3sin cos tan 623A B C <++<+． 19．【解析】
（Ⅰ）如图取AB 、AC 中点M 、N 连CM 、BN ， 则CM AB ⊥，因为面11ABB A ⊥面ABC ，
面11
ABB A 面ABC AB =，
CM ⊂面ABC ，所以CM ⊥面11ABB A ，所以1AA CM ⊥，
同理1AA BN ⊥，
设=CM
CN Q ，所以1AA ⊥面ABC ．
（Ⅱ）连1C N ，由第一问与111
2
A B AB =知1、、NB NC
NC 两两垂直，以N
为原点，1、、NB NC NC 所在直线为、、x y z 轴如图建立坐标系．()
0,A ，()3,0,0B
，()
0,3,0C ，()16C ，(10,CC =，
()
3,3,0
BC =−，设(),,n x y z =为面11BCC B 的法向量，则
100n BC n CC ⎧⋅
=⎪⎨
⋅=⎪⎩
即30
60
x z ⎧−=⎪
⎨=⎪⎩，
令x 则y =z =所以(
2,6,n =
，11n =．
12
++0,333AE AC CE AC CC ⎛=== ⎝⎭
，22AE =，62n AE ⋅
= 设AE 与面11BCC B 所成角为θ，3sin cos ,11
n AE n AE n AE
θ⋅=<>==
cos 11
θ=
，所以AE 与面11AB D ． 20．【解析】
（Ⅰ）因为()22
1110n n n n n a na a a +++−+=所以()()1110n n n n n a na a a +++−+=⎡⎤⎣⎦，
即()111n n n a na ++==
=，所以1n a n
=
，
21a 1n n S b =−，当1n =时111S b =−得11
2
b =
，当2n ≥时，1n n n b S S −=−得12n n b b −=即112n n b b −=，所以12
n n b =．
（Ⅱ）要证222
1223n n a a a S +++<+只需证明222111511232
n n +++<−，
当1n =时，左边11S =，右边517
326
=−=，不等式成立，
当2n ≥时，2221141
1214121214
n n n n n ⎛⎫<==− ⎪−−+⎝⎭−
， 2221111111
1152121235572121321n n n n ⎛⎫+++<+−+−++−=− ⎪
−++⎝⎭
， 只需证明12
221
n n <+，
因为当2n ≥时，1212122n n n n +>+>+=，即12
221
n n <+成立，故原不等式成立．
21．【解析】
（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y
直线AP 的方程：()11y y k x x −=−与22y x =联立得
2
112220ky y y kx −+−=，因为PA 与抛物线相切所以()1144220k y kx ∆=−−=，将2
112
y x =代
入得1
1
k y =，11:AP l yy x x =+，同理22:BP l yy x x =+，将()00,P x y 代入得0101y y x x =+，
0202y y x x =+，所以直线AB 的方程为00y y x x =+，将002x y =−代入得()012y y x −=−过
定点()2,1N ．
（Ⅱ）1212,22x x y y D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，11
22
yy x x yy x x =+⎧⎨=+⎩所以120
2y y y +=，则PD y ⊥轴， ()00,P x y ，2
00,2y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()
2
000,D y x y −，所以E 为PD 中点，
则1122AE AD AP =+11
42
AB AP =+，在ABP ∆中，12AM t AB t AP =+，则121t t +=，由A 、
E 、M 三点共线知113t =，22
3
t =，所以221
13326BEM BPE BPD PAB S S S S ∆∆∆∆==⨯=，
直线AB 的方程为00y y x x =+，点()00,P x y 到直线AB 的距离d =，
由0022y y x x y
x =+⎧⎨=⎩
得200220y y y x −+=，2
048y x ∆=−， 12AB y =−=，
所以()3222
00000012224332
PAB S AB d y x y x y y ∆=
=−−=−+≥，当01y =时取等号， 所以()min 3
2
BEM S ∆=．
22．【解析】
（Ⅰ）因为()e e ln x x
a f x x x
−'=+，所以()1e e 1f a '=−=−得1a =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()e 1ln x f x x =−，即证当1x ≥时，()2e 1ln x x x x −≥−①；
先证当1x ≥时，1ln x x x −≥
，令()11
ln ln 1x h x x x x x
−=−=+−， 所以()22111
0x h x x x x
−'=−=≥成立，即()h x 在[)1,+∞单调递增，()()min 10h x h ==，
故当1x ≥时，1
ln 0x x x
−≥≥，要证①式只需证明当1x ≥时，2e 1x x −≥， 令()()2g =e 11x x x x −−≥，()g =e 2x x x '−，()g =e 2e 20x x ''−≥−>，所以()g x '在[)1,+∞单
调递增，()min g =e 20x '−>，所以()g x 在[)1,+∞单调递增，()min g =e 20x −>成立，因此原不等式成立．
（Ⅲ）当1x ≥时，()1m x x f x m
+−≥恒成立，即()1e 1ln m x
x x x m +−−≥②成立，当1x =时，R m ∈，
当1x > 时，②ln e 11e 1ln ln x m m x x x m x m x −−−⇔≥=，令()e 1
x p x x
−=，则()()ln p x p m x ≥，因为()()()()22
1e 111110x x x x p x x x
−+−++'=>=>，所以()p x 在定义域上单调递增，故只需ln x m x ≥，所以当1x >时ln x
m x ≤，令()()1ln x q x x x =>，则()()
2
ln 10ln x q x x −'=>得e x >，所以()q x 在()1,e 单调递减，在()e,+∞单调递增，()()min e e q x q ==，所以e m ≤，实数m 的最大值为e ．
《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（二）
1．A 解析：{-1,3}{-1}，A B ==，则{3}A C B =，故选A.
2．B 解析：展开式中含x 项为1
231(2)(-)-12C x x x
=，故选B .
3．A 解析：当12
x y ==时，3x y +取得最大值2，故选A .
4．D 解析：两个函数均经过点(0,1)，且在定义域内均有相同的单调性，故选D. 5．C 解析：利用线面平行性质得充分性，线面平行的判定定理得必要性，故选C .
6．C 解析：由条件可得2222
82+a b a b +=，则222842b a a b a b ab
++=≥，当且仅当22
22
216
ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩时取等号，此时,a b 有解，故不等式等号能取到，从而选C .
第7题
7．D 解析：结合图像，连接OP ，则OP =2
c
，因为OP a ≥， 所以
22
c
a e ≥⇒≥，故选择D. 8．B 解析：取AC 中点O ，连接PO ，则直线PO 即直线l ，在平面PAQ 中，PA 是定直线，因为AB PA ≤，所以且直线AO 与直线AP 夹角小
于等于
4π
，根据最小角定理，直线l 与平面PAQ 夹角的最大值为
4
π
，
当且就当平面PAO 与平面PAQ 垂直时，取到最大值，显然此时满足题意，故选B .
9．A 解析：记,,OA a OB b OC c ===，其中不妨设OB 为固定线段，则点A,C 分别在以点O ，点B 为圆心，半径为2的
圆上，且直线AC ，直线OB 夹角为6
π
，则|-|a c 最小值为PQ ，
最大值为AC .分别取线段AP ，QC 中点为M,N ，结合图像可知3MN =，所以|-|a c 最小值为0，此时与条件不符，所以
|-|0a c >，|-|a c 最大值为23-23PQ ≤.故选A.
10．C 解析：令x =0，则b =0.1
()-sin 2sin 42
f x a x c x ππ+=+，(2)sin 4f x a x π=+sin 8c x π，带入可
得2sin 4sin 4sin 8c x a x c x πππ=+.整理得2-2cos 4c a c x π=恒成立，故0a c ==，综上所述，三个参数均为可确定.故选C.
11．2π解析：记11
()sin sin 2sin 4 (24)
f x x x x =+++，则(2)()f x f x π+=.
12．5；－7 解析：2-724z i =+.
13．53
103
； 提示：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三棱锥.
14．（1，1）；(2,2) 解析：(1)10a x y −+−=，易得过定点（1,1）；
结合函数图像可知，当直线与圆相切与(1,1)时，恰好两个交点，此时2r =；当圆经过（2,0）时，恰好两个交点，此时2r =，故
(2,2)r ∈.
15．24；1 解析：本质是四个水果的全排列，故有24种取法；ξ可取
0，1，2.111
(0);(1);(2)333
P P P ξξξ======，故()1E ξ=.
16．3754
解析：2-1，a a b S T b ==，则(2-1)124a b =，故5,4a b ==.
又2375(2-1)4
b
b a a S T b ==. 17．2 解析：令1x =，得2a b +=，则32323=32x ax x b x ax x a +−++−+−
322=32=(1)[+(1)2+]0x ax x a x x a x a +−+−−+−≥，2+(1)2+x a x a +−含因子(-1)x ，故0,2a b ==. 18．解析：
（Ⅰ）由题设及正弦定理得cos 2sin cos 222B B B =．因为cos 02B ≠，故1
sin 22
B =，
O
第8题
第9题
因此B =60°．......................................................7分
（Ⅱ）13sin -3sin()-3sin sin(-)3223
A C C C C C C ππ
=+==，由△ABC 为锐角三角形，
则(,)62C ππ∈，所以11
sin(-)(-,)322
C π∈..................14分
19．解析：
（Ⅰ）根据题意，有AD BD BD AE AD AE A ⊥⎧⎪
⊥⎨⎪=⎩，则BD ⊥平面ADE .
因为平面BD ABCD ⊆，
所以平面ADE ⊥平面ABCD ............................7分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，以D 点为原点，DA ，DB 为,x y 轴，
竖直向上为z 轴，则
(0,0,0),(1,0,1),(0,2,0)D E B ，设(,,)M x y z 3
λ=，由EM MB λ=
则(-1,,-1)EM x y z =，(-,2-,-)MB x y z =，所以121
()111，，M λλλλ
+++，在平面ADM 中，
(1,0,0)AD =，121
()111，，DM λλλλ
=+++，所以平面ADM 一个法向量为1(0,-1,2)n λ=，即
13)n =.平面AED 一个法向量2(0,1,0)n =所以121
cos ,-2
n n <>=，所以二面角
--E AD M 的平面角为3
π
.....................15分
20．解析：
（Ⅰ）当1n =时，1a =4−，2n ≥时，11411
2(21)(21)2(2)88n a n n n n +−−=−−−=≥
综上5()n a n n N *
=−∈.............................7分
（Ⅱ）易得5|5|()21n n n b n N *−−=∈+，显然0n b ≥.105|5|+21n n n n b b −−−=++5|5|
21
n n −+−+
|5|(9)n n =−≤，故129...10b b b +++=，即11n ≥时，不等式成立.........15分
21．解析：
（Ⅰ）易得1(3,)2A ，则13,)2A 带入抛物线得3p =，则3
(0,)2
F ，所以直线'A F 的方程为
6-23-90y x =................5分 （Ⅱ）设点2(2,2)A pa pa ，带入椭圆得242(4)1p a a +=，且2'(-2,2)A pa pa ，2(-2,-2)C pa pa ，
2(-,)28p p B a a ，若点B 在椭圆内，所以221282
p pa a a <⇒>. 42212216-1,2()8a S p a S p a a ==，故212424-14(41)a S S a a =+令2
4-10t a =>，则12
24(1)(2)
t S S t t =++，记2()(1)(2)t
h t t t =++，则232-2-22'()(1)(2)t t h t t t +=++，令'()0h t >，得5-1
t ∈；'()0h t <，
得)
t∈+∞，所
以t=时，
12
S S的取值最大值，此
时2a=，所
以
2
22
1
(41)
p
a a
==
+
...................15分
22．解析：
（Ⅰ）易知(0,)
x∈+∞，令
1ln
()0
x
e
x
f x
k
e
=⇒=，令()
h x
ln
x
e
x
e
=，则
11
-ln
'()
x
e
x
x e
h x
e
=.
11
()-ln,
g x x
x e
=
则
2
11
'()--0
g x
x ex
=<，即()
g x在(0,)
x∈+∞上单调递减.因为()0
g e=，所以(0,)
x e
∈时，'()0
h x>，递增()
h x；()
，
x e
∈+∞时，'()0
h x<，()
h x递减；所以
max
1
()()
h x h e
e
==,且x→+∞时，()0
h x→;0
x→时，()-
h x→∞,所以当
11
e
k
≤，即k e
≥，函数()
f x存在零点........7分
另解：
1
(1)0
e
f e
=>，()-0
f e e k
=≤，∴()
f x在(1]e
，内有零点，得证.
（Ⅱ）()0-(ln)0
x
e
x
f x k e k
e
+=⇔=，令12
12
,
x x
t t
e e
==，则
12
,t t时方程-ln0
t e k t=两个不同实根.
若0
k≤，函数()-ln
t
m t e k t
=是定域上得单调函数，与已知矛盾，故0
k>，从而
12
,1
t t>.
故要证
3
2
2
1
ln-1
x
e
x
x k
<<，即证2
2
1
ln t
e
t
t ke
<<.
先证明：2
2
ln t
t
ke
<，等价于证明2
2
t e et
>，即2
2
-0
t e et>.记()-t
h t e et
=，1
t>，其中'()-0
t
h t e e
=>，所以()(1)0
h t h
>=，不等式得证.
下证：
12
t t e
>.因为121212
121212
-
ln ln ln ln ln-ln
t t t t t t
e e e e e e
k
t t t t t t
+
====
+，由对数平均不等式
得
1212
1212
1212
-
-
-ln-ln22
t t t t
t t t t
e e e e
t t t t
+
+
<，所以12
12
ln ln
t t
e e
t t
+
<
+
12
12
22
t t t t
e e+
+
，即
1212
4()ln
t t t t
<+，
所以
12
2t t
<，所以
12
t t e
>，不等式得证.................15分
《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（三）
一、选择题
1．C 解答集合]5,0[=
A，)
,1(+∞
=
B，则]5,1(
=
B
A ，选择C．
2．B
解答
33
1212
i i
z===
−−
，选择B．
3．C 解答直线m上有两点到平面α的距离相等，直线m与平面α平行或相交；直线//
m平面α，直线m上存在两点到平面α的距离相等，选择C．
4．B 解答作出不等式组的可行域，由线性规划可求得2
x y
−的最大值为3−，选择B．
5．D 解答特殊赋值，选择D．
6．A 解答圆的圆心在第二象限，设其方程为222
()()(0)
x a y a a a
++−=>，由于此圆过点(2,1)
−，则222
(2)(1)
a a a
−++−=，解得1
=
a或5
=
a．
当1a =时，圆心为(1,1)−，其到直线10x y +−=
的距离d =
． 当5a =时，圆心为(5,5)−，其到直线10x y +−=
的距离d =．
综上，选择A ．
7．D 解答 由于22BAF BF A ∠=∠，则2BA BF =，从而1212BF BF AF a −==．又212AF AF a −=，则
24AF a =．由于22222(416)44a a b c +=+，则222210a c a c =−+
，解得2
e =
，选择D ． 8．A 解答 有放回依次取出两个小球时，212
(0)()n P m n ξ==+，12
2(1)()mn
P m n ξ==+， 212(2)()m P m n ξ==+，12()m E m n ξ=+，1
2
2()()mn
D m n ξ=+． 当无放回依次取出两个小球时，2(1)
(0)()(1)
n n P m n m n ξ−==++−，
22(1)()(1)mn P m n m n ξ==++−，2(1)
(2)()(1)
m m P m n m n ξ−==++−，22()m E m n ξ=+，
2222
()()1
mn m n D m n m n ξ+−=
⋅
++−． 综上，选择A ．
本题也可特殊赋值，如取2m n ==，则12()()1E E ξξ==，11()2D ξ=，11
()2
D ξ=，故选择A ． 9．C 解法1 令()ln 1e x t h x tx −=−−
若0t <，则()h x 在(,0)−∞单调递增，()h x 不存在两个零点． 若0t >，则1
()e x t h x x
−'=−
在(0,)+∞单调递增，0x +→时，()0h x '<， 1(1)01e h t t '+=−>+，存在唯一实数0(0,1)x t ∈+，00
1
e x t x −=，00ln x t x =−．
()h x 在0(0,)x 递减，0(,)x +∞递增，且0x +→时，()h x →+∞；x →+∞时，()h x →+∞．若()
h x 在(0,)+∞有两个零点，则0()0h x <，
00001ln 1ln 10e x t tx t x t x −−−=−−+−<，001
ln 1t t x x ++>+，ln 12t t ++>，解得1t >，选择C ．
解法2 函数e x y =与ln y x =关于y x =对称．
若0t <，()e x t f x −=与()ln 1g x tx =+的图像仅有一个交点． 0t >时，()e x t f x −=由函数e x y =项右平移t 个单位得到．
1
0e
t <<时，()ln ln 1g x x t =++由函数ln y x =向下平移ln 1t +个单位， 1
e
t ≥
，()ln ln 1g x x t =++由函数ln y x =向上平移ln 1t +个单位．当1t =时，两曲线相切1t >时，二者有两个交点，选择C ．
10．B 解法1 1cos602EF EG EF EG EF EG ⋅==
21sin 6023EF EG =⋅23
EFG S ∆=， 又133
224
EFG S FG FG ∆=
⋅⋅=，则12EF EG FG ⋅=，FG EF EG =．
由余弦定理，222FG EF EG EF EG =+−⋅，即2
23()FG FG EF EG +=+．
记EFG θ∠=（(,)62ππ
θ∈），
由正弦定理，sin 60sin(120)sin FG EF EG
θθ
==
− sin(120)sin EF EG θθ
+=
−+，则2sin()6
EF EG FG π
θ+=+
，
从而23
4sin ()1
6
FG π
θ=
+−3
[1,)2∈，即EF EG ⋅)4
3,21[∈，选择B ．
解法2 过点E 作AB 的垂线，垂足为H ，由△EFG 是锐角三角形知点H 在线段AB 上
（不含端点），记HEF θ∠=，3HEG πθ∠=，(0,)3πθ∈， ()()EF EG EH HF EH HG ⋅=+⋅+2EH HF HG =+⋅33tan tan()443π
θθ=−−
231tan 413tan θ
θ
+=⋅+，记θt tan 3+1=，(14)t ∈，，
上式22414(2)44t t t t t −+==+−13[)24∈，，选择B ． 二、填空题
11．1,5 解答 2(lg5)lg 2lg50+⋅2(lg5)lg 2lg5lg 2=+⋅+lg5(lg5lg 2)lg 2=++1=，
94log 4log 923+32log 2log 3235=+=．
12．12，34π 解答 由三视图知此几何体是一个四棱锥，其体积为12cm 3．设此几何体外接球的半
径为r ，则249916r =++，从而外接球的表面积是34πcm 2．
13．128，129 解答 令1x =，则702128a ==．令1x t −=，则上式等价于
3710910910(1)(2)t t a t a t a t a ++=++
++，5267
87772323129a C C C =⋅+⋅+=．
14．)4,(−∞，)2,0( 解答
（1）当0a ≤时，由图像知，一定存在实数12,x x （12x x ≠），使得12()()f x f x =．
当02a <<时，2
254
a a −<恒成立．
当2a ≥时，125a a −>−，解得4a <，从而24a ≤<． 综上，当4a <时，存在实数12,x x （12x x ≠），使得12()()f x f x =成立． （2）当0a ≤时，由图像知，251a a −>−，解得4a >，不合题意．
当02a <<时，2
254
a a −<恒成立，即02a <<时存在实数123,,x x x （123x x x ≠≠），使得
123()()()f x f x f x ==成立． 当2a ≥时，不合题意．
综上，当02a <<时，存在实数123,,x x x （123x x x ≠≠），使得123()()()f x f x f x ==成立．
15．3π−
解答 函数)2sin(2)(ϕ+=x x f 的图像向左平移6
π
个单位，得到的函数 2sin[2()]6y x πφ=++2sin(2)3x πφ=++关于原点对称，则3k πφπ+=，即3
k π
φπ=−（∈k Z ）
． 由于22ππφ−<<，则3
πφ=−．
16．2 解答 由均值不等式，
2221211ab a b a ++++221211a a a b
b =++++211a a +≤+2211a a =++2≤，当1
2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等． 17．2 解答 设ACD θ∠=，23BCD πθ∠=−，2[0,]3
π
θ∈．
由三余弦定理，cos cos cos A CB A CD BCD ''∠=∠∠2cos cos()3π
θθ=−，
在△BC A '中，254cos A B A CB ''=−∠ 254cos cos()3
π
θθ=−−
262cos(2)3πθ=−−4≥，当3
π
θ=时取等，即A B '的最小值为2．
三、解答题 18．解答
（1）3sin cos()0a B b B C ++=等价于3sin cos a B b A =，
由正弦定理，3sin sin sin cos A B B A =．由于0,2
A B π
<<，sin 0B ≠，从而3tan 3
A =
，解得6
A π
=
．
（2）由于A B C π++=，则56B C π+=．由于0202
B C ππ
⎧
<<⎪⎪⎨
⎪<<⎪⎩，解得32B ππ<<． 由正弦定理，
2sin sin sin b c a
B C A
===，解得2sin b B =，2sin c C =， 从而c b −323sin 2sin B C =−523sin 2sin()6
B B π
=−−3sin cos B B =−
2sin()6B π=−，由于32
B ππ<<，则663B πππ<−<，2sin()(1,3)6B π
−∈．
即)3,1(3∈−c b ．
19．解答
（1）证法1 取PD 中点为F ，连结,EF AF ，如答图1，
因为E 是PC 的中点，则//EF CD ， 即//EF AB 且EF AB =，
所以，四边形ABEF 为平行四边形，//BE AF 又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ， 故//BE 平面PAD ．
（2）因为BCD ∠为直角，则AB BC ⊥．又PA BC ⊥且PA
AB A =，
则BC ⊥平面PAB ，PB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PBA ∠是二面角P BC D −−的平面角，即45PBA ∠=． 过点P 作PM AB ⊥于M ，连结DM ，则PM ⊥平面ABCD ，2MB MP ==，5AD AP ==，22PD =． 由于//BM CD 且BM CD =，则四边形BCDM 是平行四边形，//BC DM ，直线BC 与平面PAD 所成角即为直线DM 与平面PAD 所成角θ．
设点M 到平面PAD 的距离为d ，由等体积法，
P ADM M ADP V V −−=，即ADP ADM dS S ∆∆=⋅3
1231，解得6
3d =， 6sin 6d DM θ=
=
，故直线BC 与平面PAD 所成角的正弦值为6
6
． （几何法、空间向量法均可）
20．解答
（1）两式相加，则112()n n n n a b a b +++=+，数列{}n n a b +首项为114a b +=，公比为2的等比数列，
11422n n n n a b −++=⋅= ①．
两式相减，则112n n n n a b a b ++−=−−，又11a b <，则n n a b <，112()n n n n a b a b ++−=−，数列{}n n a b −首项为112a b −=−，公比为2的等比数列，1222n n n n a b −−=−⋅=−． ②
联立①、②，解得12n n a −=，132n n b −=⋅．
（2）1
2(21)n n n
c =−11212
n n =−−12n ≤，从而122111222n n
c c c +++<+++
1
112
n =−<，即证．
21．解答
（1）1(0,)2m F ，2(,0)2
n
F ．
联立2222x my y nx
⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得21
3312
3322Q Q
x m n y m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2112
33
33(2,2)Q m n m n ． 由于12OQ F F ⊥，则12OQ F F ⋅=21123
3
3
3
(2,2)(,)022
n m
m n m n ⋅−=，解得m n =．
（2）设222
(,),(,),(,)222C A B
A B C y y y A y B y C y n n n
．
由于2AB A B n k y y =+，直线AB 的方程为2A B A B A B
y y n
y x y y y y =+++．
由于直线AB 与抛物线1C 相切，联立2
22A B A B A B y y n y x y y y y x y m ⎧
=+⎪++⎪
⎨⎪=⎪⎩
，
2
240A B A B A B
my y mn
x x y y y y −−=++，2212
8160()A B A B A B my y m n y y y y ∆=+=++，2()2A B A B y y y y mn +=−． 同理，2()2A C A C y y y y mn +=−．()()B A B C A C y y y y y y +=+，
即()()0B C A B C y y y y y −++=，0A B C y y y ++=，△ABC 的重心G 在x 轴上，
1OG OF ⊥．
22．解答
（1）若2
1()2
e x
f x x x =−
−，则()1e x f x x '=−−． 令()1e x g x x =−−，()1e x g x '=−，()g x 在(,0)−∞递减，在(0,)+∞单调递增，()(0)0g x g ≥=，即()0f x '≥在x ∈R 上恒成立，)(x f 在R 上单调递增．
（2）()21e x f x ax '=−−，()2e x f x a ''=−，()f x '在(,ln 2)a −∞递减，在(ln 2,)a +∞单调递增，
(ln 2)2(1ln 2)10f a a a '=−−<，(0)0f '=，x →+∞时，()f x '→+∞．()f x 有两个极值点0,m （(ln 2,)m a ∈+∞），()f x 在(,0)−∞递增，(0,)m 递减，(,)m +∞递增．
若00x =，则01()()1f x f x ==，10x >，010x x +>． 若0x m =（0m >），1()()f m f x =，此时10x <． 1000()()()()f x f x f x f x −−=−−0002e e x x x −=−−．
设()2e e x x h x x −=−−（0x >），()20e e x x h x −'=+−≥恒成立，()h x 在(0,)+∞单调递增，()(0)0h x h >=，即10()()f x f x >−．又()f x 在(,0)−∞递增，则100x x >>−，即010x x +>． （3）设曲线()y f x =上的切点为2(,)e s P s as bs −−，则切线斜率2e s k as b =−−，切线l 的方程为
22)()(e e s s y as b x s as bs =−−−+−−．又点(1,0)在直线l 上，则
22)(1)0(e e s s as b s as bs −−−+−−=，关于s 的方程2(2)2e s s as as b −+−=有3个实数根．
令2()(2)2e x x x ax ax φ=−+−（0a >），()(1)2(1)e x x x a x φ'=−+−(1)(2)e x x a =−−−．
若2e
a =，()x φ在R 上单调递减，不合题意．
若122
e
e a ≤<，()x φ在(,ln 2)a −∞递减，在(ln 2,1)a 递增，在(1,)+∞递减， (ln 2)(1)a b φφ<<，即244ln 2(ln 2)e a a a a a b a −+<<−， 此时254ln 2(ln 2)e a a a a a a b −+<+<．
令25()(ln )2ln 22x F x x x x x =−+（e),e 1[∈x ），则21()(ln 1)02F x x '=−≥，()F x 在1
[,e)e x ∈递
增，11()2e F x ≥，即11
2e e a b ≤+<．
若22
2
e e
a <≤，()x φ在(,1)−∞递减，在(1,ln 2)a 递增，在(ln 2,)a +∞递减， (1)(ln 2)
b a φφ<<，即244ln 2(ln 2)e a b a a a a a −<<−+，
此时2
54ln 2(ln 2)e a b a a a a a <+<−+，2
2
e e a b <+≤．
综上，当122e e a ≤<时，11
2e e
a b ≤+<；当222e e a <≤时，22e e a b <+≤．
《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（四）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．C ； 2．A ； 3．A ； 4. B ； 5．B ； 6．C ； 7．C ； 8．B ； 9．D ； 10．D 。

7．解析：若A k k ∈≥,2，则A k k ∈+−=1)1(，所以A k ∈⨯−1)1(，故A ∈3,2,1。

又若A k k ∈≥,5，则A k k ∈+−=2)2(，则A k ∈−)2(2，且14)2(2+≥−+=−k k k k ，故此时=A N *。

9．解析：'(1)0g =，得0=c ，则'322()(1)()(1)()g x x a x b a x b x x ax b =+−+−−=−++，由分类讨论知20x ax b ++=的两根在1的异侧，所以10a b ++<
10．解析：21sin sin sin ++−=n n n a a a ，所以2021321sin 2021sin 3sin 2sin a a a a +++
2023202232sin 2021sin sin sin a a a a −+++= =120231sin 2022sin 2021sin a a a −=−−==2021
2022
−。

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．
11． 120； 12．10−，122−； 13
．11−； 14．16，10
3；
15．01m <<
，
12
±； 16．
3
28； 17．
12
6
解析：设12,e e 的夹角为ϕ，则=θtan sin sin 2cos 3cos sin sin 12cos 3cos φφ
φφ
φφφφ
−
−−+⋅
−−=sin 75cos φφ≤
−12 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）解：
（I ）由余弦定理2222cos a b c ab C +−=，
又1
sin 2
S ab C =
222)4a b c S +−=得
tan C ，所以3
π
=C 。

……7分
（II
）2333cos 2cos 3cos cos 2cos(
)3222
A B C A A A π++=+−+=+≤，所以当2π
=A 时，cos 2cos 3cos A B C ++
32。

……14分
19．（本题满分15分）解：不妨设4=AB ，则21==C B BC 。

（I ）作⊥O B 1平面ABC 于O ，连接CO BO ,，则AB CO //，
CO B 1∠就是C B 1与平面ABC 所成角，所以1=CO ，
于是BO AC ⊥，又AC O B ⊥1，所以⊥AC 平面1BOB ， 所以1BB AC ⊥。

……6分
（II ）以O 为坐标原点，过O 作AB 的垂线为x 轴，1,OB OC 为z y ,轴建立空间直角坐标系，
则1(2,3,0),(2,1,0),(0,1,0),A B C B −。

1(0,4,0),(2,AB BB ==−−，则平面11A ABB 的法向量为(3,0,2)n =，又(2,4,0)AC =−，
A
B
C
1A 1
B 1
C O
设AC 与平面11A ABB 所成角为θ，则||105
sin 35||||
AC n AC n θ⋅
=
=⋅，所以AC 与平面11A ABB 所成角的正弦值为
35。

……15分 20．（本题满分15分）解：
（I ）1(1)2()n n a n a n +−+=−，所以12n n b b +=，12b =，所以2n n b =。

……6分 （II ）2n
n n a b n n =+=+，111211
(2)(21)221
n n n n n n n n b a a n n n n +++=<−
++++++， 所以
122111223
111
11111
2122
2213213
n n
n n n n b b b a a a a a a n n n ++++++
<−+−=−<+++++++ ……15分
21．（本题满分15分）
（I ）解：因为00
220x y y
x −+=过),(00y x P ，所以
0204x y =，所以2002y px =，所以2
=p 。

……6分
（II ）取AB 中点M ，则OM 方程020y x y +=，
||OM ==，
所以||AM =
，
又
||PM == 因为B 为AP 的中点，所以|
|3||PM AM =，所以=， 所以6|)2(|00=+x y 220
0(2)36y x +=)1(200x x −+，所以 200(2)9x x +=200(1)x x +−，得2
000(1)(149)0x x x −++=，得10=x ，满足l 与圆相交， 所以点P 的坐标为)2,1(±。

……15分
22．（本题满分15分）证明：
（I ）'1
()101f x x
=−
>+，所以)(x f 在),0(+∞递增，又(0)0,(3)2ln 40f a f =<>−>，所以)(x f 在),0(+∞有唯一零点。

……4分 （II ）（i ）设=)(x p 2ln(1)2x x x +−+，则2'
1()1011x p x x x x
=
−+=>++，所以0)0()(=>p x p
， 所以2
ln(1)2x
x x +>−，所以2
)1ln(2
000x x a x x −>+=+，所以a x 20−>。

……8分
又要证a x 230−<
，只要证0
ln(1()0f a f x =+>=，
只要证ln(1
a <t =∈，只要证2
3
2)1ln(2+−<+t t t 在
第21题图
)5
,3
(
∈
t恒成立。

设=
)
(x
q
23
ln(1)
22
x
x x
+−+−，显然)
(x
q在)
,0(+∞
上递增，所以当x∈
时，()1)1)0
q x q
<=−<，所以a
x2
3
−
<。

x<……12分
（ii）因为
00
ln(1)
x x a
+−=，所以
00
0000
1111
()ln(1)ln(1)ln
f a x x a
x x x x
=−++=−+++
=
00
1
ln
x x
x
−+，由（I）知3
00<
<x，设
1
()ln
r x x x
x
=−+，则
2
'
2
1
()0
x x
r x
x
−+−
=<，所以
85
()(3)ln3
33
r x r
>=−>−，所以
15
()
3
f
x
>−。

……15分
《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（五）
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．1
a−12．2,2
3
+13．20
−，32
−14．22
33
，
π
15
．31
75
, 5
3
16．17．(−∞
9．解析：连接BD
AC,，交于点O需满足：2222
2()4
PA PC PO AC
+=+,2222
2()4
PB PD PO BD
+=+.
且：2,
PA PC PB PD
+>+>2,
AC BD
==A选项满足条件，故选A.
10．解析：不妨设
1234
{,,,}
A a a a a
=，且
1234
a a a a
<<<，
则
121314232434
,,,,,
a a a a a a a a a a a a
++++++在集合B中，
其中
231321
()
a a a a a a A
+−+=−∈，则
211
a a a
−=或
2
a
情况一：当
212
a a a
−=时，即
1
a=时，
234
0a a a
<<<，
234232434
,,,,,
a a a a a a a a a
+++在集合B中，其中
342432
()
a a a a a a A
+−+=−∈
只有
322
=
a a a
−，即
32
2
a a
=，且
432
a a a
−=或
3
a.
当
432
a a a
−=，即
42
3
a a
=，此时
222
{0,,2,3}
A a a a
=，经检验，不合题意.
当
433
,
a a a
−=，即
42
4
a a
=，此时
222
{0,,2,4}
A a a a
=，经检验，不合题意.
情况二：当
211
a a a
−=时，即
21
2
a a
=时，
1134
2
a a a a
<<<.
11314131434
3,,,2,2,
a a a a a a a a a a a
+++++在集合B中，
其中
341431
(2)2
a a a a a a A
+−+=−∈，
311
2
a a a
−=或
1
2a
当
311
2
a a a
−=，即
31
3
a a
=，此时
1114
{,2,3,}
A a a a a
=，
4111
4,5,6
a a a a
=
经检验，只有
41
4
a a
=合题意.即
1111
{,2,3,4}
A a a a a
=
当
311
22,
a a a
−=，即
31
4
a a
=，此时
1114
{,2,4,}
A a a a a
=，
4111
5,6,8
a a a a
=经检验，均不合
题意.综上：
1111
{,2,3,4}
A a a a a
=，此时
11111
{3,4,5,6,7}
B a a a a a
=.故选B.
16．解析：记12,,OA e OB e ==12(1)OC te t e =+−，])1([2221e t e t a OC OD −+===，点C 在直线AB 上，点D 在直线l 上，其中OC OD 2=，
AB l //．12
1222223+3=3(
+)3
e e e e a a e a a e ++−−−−， 再令12
23
e e OE +=
，则12223+3=3(+)e e a a e OE OD OD OB +−−−−=3(+)DE DB ．
作点B 关于l 的对称点F ，则3(+)3(+)327DE DB DE DF EF =≥=．
17．解析一：当0a <时，()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，设()f x x =的根为0x ，()=0f x 的根
为1x ，则0(,)A x =+∞，B 的解集即00()f x x <<的解，即01(,)B x x =，A
B ≠∅
当0a =时，(1,)A B ==+∞，符合题意.
当0a >时，若1a ≥，则()f x x <为空集，即A =∅,不合题意. 若01a <<时，0(,)A x =+∞，B 的解集即00()f x x <<的解，要满足A
B ≠∅，
只要10x x >，实际上，11x a =，再令1ax a x x ++=，解得01
1x a
=−，只要：111a a <−， 解得：352a −<
，综上：35
(,)2
a −∈−∞. 解析二：对集合{R ()}A x f x x =∈<，求解：()f x x <，即求1
()f x ax a x x
=++<，进一步因式分解得：1(1)(
)0ax x
x x
+−+<，由于(0,)x ∈+∞，只要()110a x −+<即可. 当1a ≥时，A =∅不合题意.当1a <时，1
(,)1A a
=+∞−. 对集合{R [()]>()}B x f f x f x =∈，求解：[]()()f f x f x >，令()t f x =，
由于1a <，()f t t >的解集为1,
1t a ⎛⎫∈−∞ ⎪
−⎝⎭，即求解1
()1f x a
<−， 11
()1f x ax a x a
=+
+<−,
当0a =时，(1,)A B ==+∞符合题意. 当0a ≠时，因式分解得：11()()01a a x x a a
−−−<− 若0a <，则：1
(
,)1A B a
==+∞−，符合题意. 若01a <<，要使得：,A B ≠∅则需满足：111a a a −<−，解得35(0,)2
a −∈， 此时11=(,),1a A B a a −≠∅−综上：35(,)2
a −∈−∞.
18．解析：
（1）()5cos 2sin 22sin 26612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
7752sin 20242412f πππ⎛⎫⎛
⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（2）22T ππ==，令532+222122
k x k πππππ≤+≤+， 解得()f x 的单调递减区间为13+,,2424k k k Z ππππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦
. 19．证明：
（1）连接DB ，在ABD ∆中，2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+−⋅∠=,则3BD =.所以，
222AD BD AB +=,即2
ADB π
∠=,AD DB ⊥.又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，EB ⊥AB ，所
以EB ⊥平面ABCD .因为AD ⊆平面ABCD ，所以EB AD ⊥.由：AD DB ⊥，EB AD ⊥，DB EB B =,且DB ⊆平面DBE ，EB ⊆平面DBE ，所以AD ⊥平面DBE ,因为//AD BC ,所以BC DE ⊥.
（2）过C 点作高线交AB 的延长线于G ,连接EG ,
则3
CBG π
∠=,3CG =,2EG =,5CE =,2DE =,7CD =.
2224
cos 235DC CE DE DCE DC CE +−∠==
⋅,19sin 35
DCE ∠=， 119sin 22
DCE S DC CE DCE ∆=⨯⨯⨯∠=
.
132233
E BCD E ABD ABD V V S BE −−∆==⋅⋅⨯=
由等体积：13E BCD B CDE CDE V V S h −−∆==⋅⋅，解得：23
19h =，57sin 19
h CE θ==.
解法二：以B 为原点，分别以,BA BE 所在直线为,x y 轴，过B 作垂线为z 轴，建立坐标系.。