江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题

江苏省盐城市2013届高三上学期10月摸底考试数学试题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指
定位置上. 1.已知集合
{}{}
1,1,2,|1M N x x =-=<,则M N = ▲ .
2.若复数
2
(1)(1)z m m i =-++(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为 ▲ . 3.某校对全校1000名学生进行课外体育锻炼情况调查,按性别用分层抽样法抽取一个容量为100的样本,已知女生抽了51人,那么该校的男生总数是 ▲ . 4.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面
值班的概率是 ▲ .
5.执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是S = ▲ .
6.已知向量(3,2),(1,0)=-=-a b ,且向量λ+a b 与2-a b 垂直, 则实数λ的值为 ▲ .
7.已知数列
{}n a
满足
n a =
则其前99项和
99S = ▲ .
8.设
,m n 是两条不同的直线,α是一个平面,有下列四个命题:
①若,m n m α⊥⊂,则n α⊥； ②若,m n α⊥∥m ,则n α⊥； ③若n ∥
,m αα⊂,则n ∥m ；④若m ∥α,n ∥α,则m ∥n .
其中真命题是 ▲ (写出所有真命题的序号). 9.函数ln ,(0,)y x x x =-∈+∞的单调递减区间为 ▲ .
10.已知函数()4sin 3cos ()f x x x x R ωω=+∈满足()5,()0f m f n =-=,且||m n -的最小值为π,
则正数ω的值为 ▲ .
11.
已知
cos()4πθ+=
,(0,)2πθ∈,则sin(2)4πθ-的值为 ▲ .
12.当且仅当b r a <<时,圆
()02
22>=+r r y x 上恰好有两点到直线01043=++y x 的距离为1，则a b -的值为 ▲ .
13.常数,a b 和正变量
,x y 满足16a b ⋅=,x a +2b y =1
2,若2x y +的最小值为64,则b a = ▲ .
14.已知函数()()()22222
1,0,(4)3,0k x k a x f x x a a x a x ⎧+-≥⎪=⎨+-+-<⎪⎩,其中a R ∈. 若对任意的非零实数1x ,存在
唯一的非零实数
2x ()21x x ≠,使得()()21f x f x =成立,则k 的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案
写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2
2
2
b c a bc +=-.
(1)求角A 的大小；
(2)若8AC AB ⋅=-
,求ABC ∆的面积.
16．(本小题满分14分)
如图,在四面体ABCD 中,⊥BC 面ACD ,D C D A =,E 、F 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证:直线EF ∥面BCD ； (2)求证:面D EF ⊥面ABC ．
17．(本小题满分14分)
的平方和最小)；
该商场今年第一个季度对冰箱进货时,计划进货资金比去年季拟合进货资金增长25%.经调研发现,销售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润P(万元)和Q(万元)与进货资金t(万元)分别近似地
满足公式
1
4
P t
=
和
20
20
t
Q
t
=
+,那么该商场今年第一个季度应如何分配进货资金,才能使销售
冰箱获得的利润最大？最大利润是多少万元？18．(本小题满分16分)
已知数列{}
n
a
的前n项和为n S, 且1517
a a
+=.
(1)若{}
n
a
为等差数列, 且856
S=.
①求该等差数列的公差d ；
②设数列{}n b 满足
3n
n n b a =⋅,则当n 为何值时,n b 最大？请说明理由； (2)若
{}n a 还同时满足: ①{}n a 为等比数列；②2416a a =；③对任意的正整数k ,存在自然数m ,
使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,试求数列{}n a 的通项公式.
19．(本小题满分16分)
如图,直线AB 与椭圆Γ：12
222=+b y a x （0>>b a ）交于,A B 两点,与x 轴和y 轴分别交于点P
和点Q ,点C 是点A 关于x 轴的对称点,直线BC 与x 轴交于点R ． (1)若点P 为(6,0),点Q 为(0,3),点A ,B 恰好是线段QP 的两个三等分点. ①求椭圆的方程；
②过坐标原点O 引ABC ∆外接圆的切线,求切线长； (2)当椭圆Γ给定时,试探究OP OR ⋅是否为定
值？若是,请求出此定值；若不是,请说明理由．
20．(本小题满分16分)
设()f x 是偶函数,且当0x ≥时,
(3)
03,()(3)(),3x x x f x x a x x -≤≤⎧=⎨
-->⎩. 当0x <时,求()f x 的解析式；
设函数()f x 在区间
[]5,5-上的最大值为()g a ,试求()g a 的表达式；
若方程()f x m =有四个不同的实根,且它们成等差数列,试探求a 与m 满足的条件.
盐城市2013届高三年级摸底考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1.
{}1- 2. 1 3.490 4. 12 5. 15 6. 1
7-
7. 9 8. ②
9. (0,1) 10. 12
11.10 12.2 13. 64 14.
(,0][8,)-∞+∞
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. 解:(1)由题意,得2221
cos 222b c a bc A bc bc +--===-
……………5分 所以23A π
=
………7分
(2)因为1cos 8
2AC AB AC AB A bc ⎛⎫
⋅==⋅-=- ⎪⎝⎭ ，所以16bc =…………………11分
所以11sin 1622ABC S bc A ∆==⨯= 14分
16．证明：(1) E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC …………………… 4分
又BC ⊂面BCD ，EF ⊄面BCD ，∴直线EF ∥面BCD …………………… 7分 (2) D C D A =，点F 为AC 的中点，∴DF AC ⊥ …………………………… 9分 又 ⊥BC 面ACD ，DF ⊂面ACD ，∴DF BC ⊥，∴DF ⊥面ABC ………12分 又 DF ⊂面DEF ∴面D EF ⊥面ABC …………………………………………14分 17．解: (1) 设四个季度的进货资金分别为
1234,,,a a a a ,
则2222
1234()()()()M m a m a m a m a =-+-+-+-
=
222221234123442()()m a a a a m a a a a -+++++++ …………………………………3分 所以当
1234
4a a a a m +++=
时,M 最小………………………………………… 5分
故所求的季拟合进货资金
42.638.337.741.4
40
4m +++=
=万元…………………7分
(2) 因为今年第一季度的进货资金为40(125%)50⨯+=万元,设用于普通冰箱的进货资金为x 万元,则用于节能冰箱的进货资金为(50)x -万元,
从而销售冰箱获得的利润为
120(50)420x y P Q x x =+=
-++(050x ≤≤)…………10分
令20[20,70]s x =+∈,
则
754007535
()2422s y s =
-+≤-=………12分
当且仅当40s =,即20x =时,
y 取得最大值为17.5,
所以当用于节能冰箱的进货资金为30万元,用于普通冰箱的进货资金为20万元时,可使销售冰箱的
利润最大,最大为17.5万元…………………………………………14分 (说明:第(2)小题用导数方法求解的,类似给分)
18．解: (1)①由题意,得112417
82856
a d a d +=⎧⎨
+=⎩ ……………………2分 解得1d =-……………………
4分
②由①知
1212a =
,所以232n a n =-,则23
33()
2n n n n b a n =⋅=⋅-……………6分
因为1121233(
)3()22n n n n b b n n ++-=⋅--⋅-2123
3[3()()]23[10]22n n n n n =⋅---=⨯⋅-…8分
所以
1110b b =,且当10n ≤时, {}n b 单调递增,当11n ≥时,{}n b 单调递减,
故当10n =或11n =时,
n b 最大……………………………………10分
(2)因为{}n a 是等比数列,则241516a a a a ==,又1517a a +=,所以15116a a =⎧⎨=⎩或1516
1a a =⎧⎨=⎩…………
12分
从而
12n n a -=或1
(2)
n n a -=-或1116()2n n a -=⨯或1
1
16()2n n a -=⨯-.
又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,得22k k m S S S +=+,而公比1q ≠,
所以2111(1)(1)(1)
2111k k m a q a q a q q q q +---=+---,即22k k m q q q +=+,从而22m k
q q -=+ (*)………………
14分
当1
2n n a -=时, (*)式不成立； 当1(2)n n a -=-时,解得1m k =+；
当1
116()2n n a -=⨯时, (*)式不成立；
当1
1
16()2n n a -=⨯-时, (*)式不成立.
综上所述,满足条件的1
(2)n n a -=-……………………………………16分
19．解: (1)①设点
()
,A x y ，由题意知3QP QA =
，则有
()()6,33,3x y -=-,
解得2,2x y ==,即
()2,2A ,又点B 为A 、P 中点，可得点
()
4,1B ………………2分
22
2244
11611a b a b ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得：22
20,5a b ==，∴椭圆的方程为2
21205x y +=…………5分
②由点()
2,2A ，
()
4,1B 可求得线段AB 的中垂线方程为922y x =-
，令0y =，得9
4x =
.
设
ABC
∆外接
圆
的圆心为
M
,
半
径
为
r
,可知
9,04M ⎛⎫
⎪⎝⎭,
4r AM ===
…7分
∴
1=
=………………………………9分
(2)设点
()
00,B x y ，
()11,A x y ，则
()
11,C x y -．
所以直线BC 的方程为
()010001y y y y x x x x +-=
--，令0y =，得
0110
01x y x y x y y +=+，
即点100101,0x y x y R y y ⎛⎫+ ⎪+⎝
⎭，同理100101,0x y x y P y y ⎛⎫- ⎪
-⎝⎭………………………13分 2222100110011001
2
2
010101x y x y x y x y x y x y OP OR y y y y y y -+-⋅=⋅=-+-,
又 2
200222211221(1)1(2)x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，21(1)y ⨯得022*********y y x y y a b +=，20(2)y ⨯得1
2222
0210022y y x y y a b +=，
两式相减得2222221001012x y x y y y a -=-,即2222210012201x y x y a y y -=-,∴当椭圆Γ给定时,OP OR ⋅为定值2a …
16分
20．解: (1)当30x -≤<时,()()()(3)(3)f x f x x x x x =-=-+=-+…………2分
同理,当3x <-时,()()(3)()(3)()f x f x x a x x a x =-=--+=-++,
所以,当0x <时,()f x 的解析式为
(3),
30,()(3)(),3x x x f x x a x x -+-≤<⎧=⎨
-++<-⎩……4分 (2)因为()f x 是偶函数,所以它在区间
[]5,5-上的最大值即为它在区间[]0,5上的最大值,
①当3a ≤时,()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减,所以39
()()24g a f ==
…………5分
②当37a <≤时,()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以此时只需比较39()24f =与
2
3(3)()24a a f +-=的大小. (A) 当36a <≤时,
39()24f =≥23(3)()24a a f +-=,所以39()()24g a f ==………………6分
(B) 当67a <≤时, 39()24f =<23(3)()24a a f +-=,所以
23(3)()()24a a g a f +-==
……7分
③当7a >时,()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增,在3,32⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上单调递减,且39
()24f =<(5)2(5)f a =-,所以()(5)2(5)g a f a ==- (8)
分
综上所述, 2
9
,
64(3)(),67
4
2(5),
7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪
-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩………………………9分
(3)设这四个根从小到大依次为
1234,,,x x x x .
①当方程()f x m =在[3,3]-上有四个实根时,由4
332x x x -=,且433x x +=,得
3439,44x x =
=,
从而
327()416m f ==,且要求27
()16f x <
对()3,x ∈+∞恒成立…………10分 (A)当3a ≤时,()f x 在
()3,+∞上单调递减,所以
27
()(3)016f x f <=<
对()3,x ∈+∞恒成
立,
即3a ≤适合题意……………………………………11分
(B)当3a >时,欲27()16f x <对()3,x ∈+∞恒成立,只要
23(3)27()2416a a f +-=<,
解得
3a <+
,
故此时应满足
33a <<+
………………12分 ②当方程()f x m =在[3,3]-上有两个实根时,
39()24m f ==,且2333,22x x =-=
, 所以必须满足
43932x x =+=,且2393(3)9
,()22244a a a f ++-===
,解得6a =……………13分
③当方程()f x m =在[3,3]-上无实根时,2393(3)3()(),3
24242a a a
f m f +-+=<<=>,
由
433432,3x x x x x a -=+=+,解得
3433(3)
,44a a x x ++=
=,
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·11· 所以33(3)3(9)(1)()()4416a a a a m f f ++--===, 且由3(9)(1)9164a a m --=>,
解得5a >+15分
综上所述, a 与m 满足的条件为
2716m =
且3a <+,或94m =且6a =, 或
3(9)(1)16a a m --=
且5a >+…………………………16分。