同频率互相垂直简谐振动的合成
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Байду номын сангаас
kr
2
,
质点运动过程中机械
能守恒, 有
E= Ek+ Ep=
1 2
mv
2
+
1 2
k
r2
=
常数
( 3)
(下转第 31 页)
31
物理与工程 V ol. 15 No. 6 2005
U( z ) = m gz ,
弹性势能 U( x ) =
1 2
kx 2,
万有引力
势能 U(r)=
-
G
Mm r
,
真空中两静电荷之间的静
物理与工程 Vo l. 15 No. 6 2005
教学研究
同频率互相垂直简谐振动的合成
康文秀 ( 华北电力大学应用物理系, 河北 保定 071003)
( 收稿日期: 2005-01- 04; 修回日期: 2005-03-16)
摘 要 讨论了质点参与两个同频率互相垂直简谐振动时的角动量、速率、能量以及同频率互 相垂直简谐振动的合成推广到三维的情况.
U( ra) | =
XB 2
|
r
2 b
-
r
2 a
|
,
从而只需考虑导
线两端点的位置, 而不必考虑导线的具体形状, 使 计算该情况下的动生电动势大为简化.
参考文献
[ 1] 马根源, 王松立, 金庆华. 物理学( 下册) . 天津: 南开大学出版 社, 1993. 255~ 262
[ 2] 陈仲. 大学数学 ( 下册) . 南京: 南京大学出版社, 1999. 44~ 47
然在原点处速率 v 2 =
A
2 1
X2
+
A
2 2
X2
最大, 最大位移
时速率为零.
3 推广到三维
质点同时参与三个同频率互相垂直的简谐振 动
x = A 1 cos( Xt + U1 )
y = A 2 cos( Xt + U2 )
( 5)
z = A 3 cos( Xt + U3 )
质点的轨道方程:
z A3
Abstract T he angular mo ment um, rat e o f speed and energy o f t he particle involv ed in t w o perpendicular har monic w aves w ith the ident ical f requency , are discussed, and t he case is genera-l ized t o t hree- dim ension. Key Words harmo nic vibration; angular m omentum
关键词 简谐振动; 角动量
SYNTHESIS OF PERPENDICULAR HARMONIC VIBRATIONS WITH THE IDENTICAL FREQUENCY
Kang Wenxiu
( D epart men t of A ppl ied Physics , N ort h Ch ina El ect ric Pow er U niversit y, Baoding, H ebei, 071003)
力指向椭圆的一个焦点, 对该焦点的角动量守恒.
2. 2 机械能 对 U2 - U1 为任意角的椭圆轨道, 质点从 P 运
Q
Q 动到 Q 的过程中, 合外力的功 A = - kr # dr = P
QQ - kr # dr = P
1 2
kr
2 Q
-
1 2
kr
2 P
与路径无关, 所
以可定义势能 Ep =
1 2
入的讨论, 本文讨论了质点的角动量、速率、能量,
振动合成的三维情况等.
2. 1 角动量
由( 1) 式 可 知, 质 点 受 到 的 合 外 力 为 F =
- k( xi + y j ) = - kr, 是指向原点即椭圆中心的有 心力, 所以质点对原点的角动量 L= r @ m 守恒.
但与行星椭圆运动角动量守恒不同, 行星 的有心
E=
1 2
mA
2 2
X2 +
1 2
kA
2 1
=
1 2
mA
2 1
X2
+
1 2
k
A
2 2
=
1 2
k(
A
2 1
+
A
2 2
)
( 4)
2. 3 质点的速率
很易证明沿椭圆的长轴端点到短轴端点的过
程中 r = x2+ y2 随位置单调减小, 由机械能( 3)
式可知, v2 或 v 随位置单调增加. 在椭圆长轴的两
电能 U(r)=
1 4PE0
q1 q2 r
.
与
此类
似,
当导线在均匀磁
场中绕 O 点转动时, 由于非静电力洛伦兹力沿径
向 r 是保守力, 所以我们可以以 O 点为电势零点
相应地引入势函数 U( r) =
XB
r2 2
.
因为电源电动
势应取正值, 所以在该情况下的动生电动势 Eab =
| U( rb ) -
2
+
x A1
2
-
2
A
z
3
x A
1
co
s(
U3
-
U1 )
= s in2 ( U3 - U1 )
y A2
2
+
x A1
2
-
2
y A2
x A
1
co
s(
U2
-
U1 )
( 6)
= s in2 ( U2 - U1 )
也是以原点为中心的椭圆. 并且总能经过 坐标系
的旋转使之成为 xcOy c( 或 zcOyc、xcOz c) 平面上 的椭圆, 那么前面对角动量、机械能和速率的结论
个端点, r 取最大值, 速率 v 必取最小值, 类似地在
椭圆短轴的两个端点, r 取最小值, 速率 v 必取最
大值.
如果 A 1 = A2 , 椭圆演变为圆, r = A1 = A 2 恒
定, v= A 1 X= A 2 X 也恒定, 质点作半径为 A 1 = A 2
的匀速圆周运动.
对 U2 - U1 = 0、P的情形, 质点作简谐振动, 自
[ 3] 倪光正. 工程电磁场原理[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 2002
1 引言
2 质点的角动量、能量和速率
很多大学物理教材都讨论了质点参与两个同
频率互相垂直的简谐振动[ 1, 2] :
x = A 1 co s( Xt + U1 ) ( 1)
y = A 2 cos( Xt+ U2 )
其在 x Oy 平面运动的轨迹为
x A
2 2 1
+
y A
2 2 2
-
2
A
x
1
y A
2
cos
同样适用.
由此还可得出 如下结论: 三个同频率 位相差
恒定相互垂直的简谐振动的合成经过坐标系旋转
可等效为两个同频率位相差恒定相互垂直的简谐
振动的合成.
参考文献
[ 1] 张三慧. 大学物理学( 第二版) 波动与光学. 北京: 清华大学出 版社, 2000
[ 2] 程守洙, 江之永. 普通物理学 第三册 第五版. 北 京: 高等 教育出版社, 1998
wwwcnkinet万有引力势能u真空中两静电荷之间的静电能uq1q2与此类似当导线在均匀磁点转动时由于非静电力洛伦兹力沿径是保守力所以我们可以以点为电势零点相应地引入势函数因为电源电动势应取正值所以在该情况下的动生电动势ab从而只需考虑导线两端点的位置而不必考虑导线的具体形状马根源王松立金庆华
26
[ 3] 张三慧. 大学物理学( 第二版) 电磁学. 北京: 清华大学 出版 社, 2000. 322~ 326
[ 4] 马根源, 王松立, 金庆华. 物理学( 上册) . 天津: 南开大学出版 社, 1993. 113~ 121
( 上接第 26 页)
由 U2 - U1 = P/ 2 的椭圆轨道的最远点和最近点可 知总能量可表示为
(
U2
-
U1 ) =
sin2 ( U2 -
U1 )
( 2) U2 - U1 = 0、P 时, 质 点分 别 沿斜 率 为 A 2 / A 1 和
- A 2 / A 1 的直线作 振幅为
A
2 1
+
A
2 2
的简谐振动;
U2- U1 = P/ 2 时, 质点的轨迹是以原点为中心以 x
轴和 y 轴 为 主轴 ( 长为 2A 1 , 2A 2 ) 的 椭圆 ( 顺时 针) ; U2 - U1 = 3P/ 2 时, 轨迹与 U2 - U1 = P/ 2 时相 同, 但为逆时针; U2 - U1 为其他任意角时, 轨迹是 主轴倾斜的椭圆. 但是除了轨迹以外都未做更深
kr
2
,
质点运动过程中机械
能守恒, 有
E= Ek+ Ep=
1 2
mv
2
+
1 2
k
r2
=
常数
( 3)
(下转第 31 页)
31
物理与工程 V ol. 15 No. 6 2005
U( z ) = m gz ,
弹性势能 U( x ) =
1 2
kx 2,
万有引力
势能 U(r)=
-
G
Mm r
,
真空中两静电荷之间的静
物理与工程 Vo l. 15 No. 6 2005
教学研究
同频率互相垂直简谐振动的合成
康文秀 ( 华北电力大学应用物理系, 河北 保定 071003)
( 收稿日期: 2005-01- 04; 修回日期: 2005-03-16)
摘 要 讨论了质点参与两个同频率互相垂直简谐振动时的角动量、速率、能量以及同频率互 相垂直简谐振动的合成推广到三维的情况.
U( ra) | =
XB 2
|
r
2 b
-
r
2 a
|
,
从而只需考虑导
线两端点的位置, 而不必考虑导线的具体形状, 使 计算该情况下的动生电动势大为简化.
参考文献
[ 1] 马根源, 王松立, 金庆华. 物理学( 下册) . 天津: 南开大学出版 社, 1993. 255~ 262
[ 2] 陈仲. 大学数学 ( 下册) . 南京: 南京大学出版社, 1999. 44~ 47
然在原点处速率 v 2 =
A
2 1
X2
+
A
2 2
X2
最大, 最大位移
时速率为零.
3 推广到三维
质点同时参与三个同频率互相垂直的简谐振 动
x = A 1 cos( Xt + U1 )
y = A 2 cos( Xt + U2 )
( 5)
z = A 3 cos( Xt + U3 )
质点的轨道方程:
z A3
Abstract T he angular mo ment um, rat e o f speed and energy o f t he particle involv ed in t w o perpendicular har monic w aves w ith the ident ical f requency , are discussed, and t he case is genera-l ized t o t hree- dim ension. Key Words harmo nic vibration; angular m omentum
关键词 简谐振动; 角动量
SYNTHESIS OF PERPENDICULAR HARMONIC VIBRATIONS WITH THE IDENTICAL FREQUENCY
Kang Wenxiu
( D epart men t of A ppl ied Physics , N ort h Ch ina El ect ric Pow er U niversit y, Baoding, H ebei, 071003)
力指向椭圆的一个焦点, 对该焦点的角动量守恒.
2. 2 机械能 对 U2 - U1 为任意角的椭圆轨道, 质点从 P 运
Q
Q 动到 Q 的过程中, 合外力的功 A = - kr # dr = P
QQ - kr # dr = P
1 2
kr
2 Q
-
1 2
kr
2 P
与路径无关, 所
以可定义势能 Ep =
1 2
入的讨论, 本文讨论了质点的角动量、速率、能量,
振动合成的三维情况等.
2. 1 角动量
由( 1) 式 可 知, 质 点 受 到 的 合 外 力 为 F =
- k( xi + y j ) = - kr, 是指向原点即椭圆中心的有 心力, 所以质点对原点的角动量 L= r @ m 守恒.
但与行星椭圆运动角动量守恒不同, 行星 的有心
E=
1 2
mA
2 2
X2 +
1 2
kA
2 1
=
1 2
mA
2 1
X2
+
1 2
k
A
2 2
=
1 2
k(
A
2 1
+
A
2 2
)
( 4)
2. 3 质点的速率
很易证明沿椭圆的长轴端点到短轴端点的过
程中 r = x2+ y2 随位置单调减小, 由机械能( 3)
式可知, v2 或 v 随位置单调增加. 在椭圆长轴的两
电能 U(r)=
1 4PE0
q1 q2 r
.
与
此类
似,
当导线在均匀磁
场中绕 O 点转动时, 由于非静电力洛伦兹力沿径
向 r 是保守力, 所以我们可以以 O 点为电势零点
相应地引入势函数 U( r) =
XB
r2 2
.
因为电源电动
势应取正值, 所以在该情况下的动生电动势 Eab =
| U( rb ) -
2
+
x A1
2
-
2
A
z
3
x A
1
co
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U3
-
U1 )
= s in2 ( U3 - U1 )
y A2
2
+
x A1
2
-
2
y A2
x A
1
co
s(
U2
-
U1 )
( 6)
= s in2 ( U2 - U1 )
也是以原点为中心的椭圆. 并且总能经过 坐标系
的旋转使之成为 xcOy c( 或 zcOyc、xcOz c) 平面上 的椭圆, 那么前面对角动量、机械能和速率的结论
个端点, r 取最大值, 速率 v 必取最小值, 类似地在
椭圆短轴的两个端点, r 取最小值, 速率 v 必取最
大值.
如果 A 1 = A2 , 椭圆演变为圆, r = A1 = A 2 恒
定, v= A 1 X= A 2 X 也恒定, 质点作半径为 A 1 = A 2
的匀速圆周运动.
对 U2 - U1 = 0、P的情形, 质点作简谐振动, 自
[ 3] 倪光正. 工程电磁场原理[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 2002
1 引言
2 质点的角动量、能量和速率
很多大学物理教材都讨论了质点参与两个同
频率互相垂直的简谐振动[ 1, 2] :
x = A 1 co s( Xt + U1 ) ( 1)
y = A 2 cos( Xt+ U2 )
其在 x Oy 平面运动的轨迹为
x A
2 2 1
+
y A
2 2 2
-
2
A
x
1
y A
2
cos
同样适用.
由此还可得出 如下结论: 三个同频率 位相差
恒定相互垂直的简谐振动的合成经过坐标系旋转
可等效为两个同频率位相差恒定相互垂直的简谐
振动的合成.
参考文献
[ 1] 张三慧. 大学物理学( 第二版) 波动与光学. 北京: 清华大学出 版社, 2000
[ 2] 程守洙, 江之永. 普通物理学 第三册 第五版. 北 京: 高等 教育出版社, 1998
wwwcnkinet万有引力势能u真空中两静电荷之间的静电能uq1q2与此类似当导线在均匀磁点转动时由于非静电力洛伦兹力沿径是保守力所以我们可以以点为电势零点相应地引入势函数因为电源电动势应取正值所以在该情况下的动生电动势ab从而只需考虑导线两端点的位置而不必考虑导线的具体形状马根源王松立金庆华
26
[ 3] 张三慧. 大学物理学( 第二版) 电磁学. 北京: 清华大学 出版 社, 2000. 322~ 326
[ 4] 马根源, 王松立, 金庆华. 物理学( 上册) . 天津: 南开大学出版 社, 1993. 113~ 121
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由 U2 - U1 = P/ 2 的椭圆轨道的最远点和最近点可 知总能量可表示为
(
U2
-
U1 ) =
sin2 ( U2 -
U1 )
( 2) U2 - U1 = 0、P 时, 质 点分 别 沿斜 率 为 A 2 / A 1 和
- A 2 / A 1 的直线作 振幅为
A
2 1
+
A
2 2
的简谐振动;
U2- U1 = P/ 2 时, 质点的轨迹是以原点为中心以 x
轴和 y 轴 为 主轴 ( 长为 2A 1 , 2A 2 ) 的 椭圆 ( 顺时 针) ; U2 - U1 = 3P/ 2 时, 轨迹与 U2 - U1 = P/ 2 时相 同, 但为逆时针; U2 - U1 为其他任意角时, 轨迹是 主轴倾斜的椭圆. 但是除了轨迹以外都未做更深