中值定理导数的应用知识点(可编辑修改word版)
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是微积分学中一个重要的定理，它的主要内容是，若在定义域上的某个闭区间上存在函数f(x)，其满足f（a）=f（b）且f 第一次导数在区间内存在，则必有存在一个定点c，使得f（c）=f （a）=f（b）以及f（c）=0，这个定点c就是中值定点。
中值定理的应用非常广泛，在定理的基础上我们可以对函数的最大值、最小值、极值点，以及函数的单调性、函数的奇偶性等等特性进行讨论、分析。
首先，我们来讨论二次函数的性质。
知函数f(x)=ax2＋bx＋c（a ≠0），利用中值定理，可以知道f(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，即为函数的极值点。
者，我们可以利用中值定理来判断函数是否在某个区间内单调，即在定义域上的某个闭区间上用f(x)>0或f(x)<0来判断函数是否在该区间是单调递增或单调递减。
此外，中值定理还可以用来判断函数是否是奇函数或偶函数。
知函数f（x），如果f(-x)=f(x)，则定义为偶函数，此时f（x）在全定义域上的值都为0；如果f(-x)=-f(x)，则为奇函数，此时f（x）在任意定义域上均有值，且f(0)=0。
另外，中值定理还可以用于分析多元函数的极值点的性质及其存在的条件，以及在不同情况下求解极值点的方法。
多元函数中，若某个极值点对所有变量都满足偏导数为0，则此极值点为极大值点；如果有变量的偏导数大于0，则此极值点为极小值点。
最后，中值定理作为微积分的重要定理，在微积分的诸多数学问题的求解过程中发挥着至关重要的作用，它也被广泛用于物理学和工程学中的各种应用领域，以帮助人们求解多变量函数的极值点问题。
本文就以中值定理为主题，介绍了它的定义特性，原理及其应用，以期为大家带来一些有用的指导，同时帮助大家在实际应用中更加得心应手，从而掌握微积分的精髓。
(微积分)4微分中值定理与导数的应用
证 因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值 M和最小值m． (1) 如果M=m, 则f(x)在[a,b]上恒等于常数M, 因此,对
一切x∈(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.
(2) 若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个
不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处 达到最大值,即f()=M,由费马定理知f()=0．
fg((bb))gf((aa)) gf(())
证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1∈(a,b), 使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)≠g(b).
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作辅助函数 F(x)f(x)f(b)f(a)g(x) g(b)g(a)
F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少
f'(x) 1 1 0,x(1,1) 1x2 1x2
得f(x)C,x(1,1)
又 因 f(0) ,且f(1) ,
2
2
故f(x)arcsixnarccoxs,x[1,1]
2
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推论2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有
f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数). 证 因[f(x)-g(x)] =f(x)-g(x)=0,
a rcx2ta ar ncx1t1 an2(x2x1)
(x1x2)
1 1 21 ,所 a以 rc x2 taarnc x 1 tx a 2x n 1.
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推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在
中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
第三章 微分中值定理、导数的应用资料
只需证明 x f (x) f (x) x 0, 只需证明 x f (x) (x) f (x) x 0,
xf (x) (x) f (x)
只需证明
当 x 0时，则在(x,0) 内至少存在一点 ，使
F(0) F(x) F ( )
0x
ex (1 x) x F( ) x (e 1) 0 ex 1 x
综上可得：当 x 0 ，有 e x 1 x .
四、柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 和 F(x) 满足: （1）在[a,b] 上连续； （2）在(a,b) 内可导且 F(x) 0. 则在 (a,b) 内至少存在一点 , 使
提示： f (x) 0, f (x) 在 x 0处可导， f (x) 在 x 0处
连续， f (0) lim f (x) x0
lim x f (x) lim x lim f (x)
x0
x
x x0 x0
0.
f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) 1.
f (x) . F (x)
【例】计算：(1) lim x x cosx x0 x sin x
提示：原式 lim 1 cosx xsin x lim sin x sin x x cosx
1 4
满足定理的结论．
推论 1：若在(a,b) 内 f (x) 0, 则在 (a,b) 内 f (x) 为一常数．
推论２：若在(a,b) 内 f (x) g(x), 则 f (x) g(x) C. （常数）．
(完整版)高等数学笔记(可编辑修改word版)
⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点 （点 x0 除外）有：
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2． 无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B
中值定理和导数应用总结
驻点和不可导点统称为临界点.
定理(第一充分条件) (1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. ' x ( x , x ) x ( x , x ) f (3)如果当 时, ( x ) 符 0 0 及 0 0 号相同,则 f ( x )在 x0 处无极值.
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
如果对区间 I 上任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x ) 在 I 上的图形是（向上）凸 的;
第三章 中值定理与导数的应用
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上，证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上 单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的 切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所 示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角， 它们的斜率f′(x)都是负的，即 f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点；
高数(1)第四章微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用【字体：大中小】【打印】4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101：针对该题提问】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102：针对该题提问】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103：针对该题提问】推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104：针对该题提问】证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。
微分中值定理与导数的应用
f(x2)=f(x1) .
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10
例 试证arcsin x arccos x ( x 1).
2 证 令f ( x) arcsin x arccos x,则
27
三、 其它未定式
若对某极限过程有f(x)→0且g(x)→∞,则称lim[f(x)g(x)] 为0·∞型未定式 若对某极限过程有f(x)→∞且g(x)→∞,则称lim[f(x)-g(x)] 为∞-∞型未定式 若对某极限过程有f(x)→且g(x)→０,则称limf(x)g(x)为00 型未定式 若对某极限过程有f(x)→1且g(x)→∞,则称limf(x)g(x)为 1型未定式 若对某极限过程有f(x)→＋∞且g(x)→0,则称limf(x)g(x) 为0型未定式．
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19
例
求 lim sin2 x0
x
x sin x cos x
x4
.
解
sin2 x x sin x cos x
lim
x0
x4
sin x x cos x sin x
lim x0
x3
lim x x0
sin x x cos x
lim x0
x3
cos x cos x x sin x
2
证 因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值 M和最小值m． (1) 如果M=m, 则f(x)在[a,b]上恒等于常数M, 因此,对
一切x∈(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.
(2) 若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个
理学微分中值定理与导数的应用
lim
x2 6x 4 2
注意: 如果
lim
f ( x)仍为 0
型未定式,且f(x),g(x)满足
x x0 g( x)
0
定理条件，则可继续使用洛必达法则.
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例2
求 lim x0
sin 2
x
x sin x4
x
cos
x
.
解
sin2 x x sin x cosx
lim
x0
x4
lim
x0
证 由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导，
对任何x＞0，在［0, x］上运用微分中值公式,
f(x)-f(0)=f′( x)x,
即
x
ln(1+x)= 1 x
由于
x 1 x
＜
x
1
＜x,lt;<1 ),
(0< <1)．
x
1 x ＜ln(1+x)＜x．
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x 0
x
x 0
x
返回 上页 下页
因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 总有
f( + x)-f()≤0．
当x＞0时, 当x<0时,
f ( x) f ( ) 0
x
f ( x) f ( ) 0
x
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
x 0
x
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
(3) lim f ( x) 存在(或为∞) x g( x)
lim f ( x) lim f ( x) x g( x) x g( x)
注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结 论将不一定成立.
第3章中值定理与导数的应用(包括题)
第三章 中值定理与导数的应用一、 基本内容（一） 中值定理1.罗尔定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf .2.拉格朗日中值定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ 其微分形式为x f x f x x f ∆⋅'=-∆+)()()(ξ这里10,<<∆⋅+=θθξx x .推论 如果函数)(x f 在开区间),(b a 内的导数恒为零，那么)(x f 在),(b a 内是一个常数.3.柯西中值定理如果函数)(x f 及)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)(x g '在),(b a 内的每一点均不为零，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构造适当的辅助函数.（二） 洛必达法则1.法则1如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：(1)0)(lim =→x f a x , 0)(lim =→x g ax ； (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ；(3))()(l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 )()(lim )()(lim x g x f x g x f a x ax ''=→→ 2.法则2如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：(1)0)(lim =∞→x f x , 0)(lim =∞→x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) )()(limx g x f x ''∞→存在（或为无穷大）； 那么)()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞→ 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞∞型未定式，也有相应的两个法则. 对∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞∞型来求. （三） 泰勒公式1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有+-''+-'+=200000)(2)())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项.（四） 函数的单调性函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.(1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；(2) 如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.（五） 函数的极值与最值1.函数在一点取得极值的必要条件设函数)(x f y =在0x 点取得极值，如果)(x f 在0x 点可导，那么0)(0='x f .使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点.驻点不一定是极值点.驻点和不可导点是函数的所有可能的极值点.2.极值点的两个判别定理判别之一 设函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 的某去心领域),(0δx U内可导，有(1) 如果在),(00x x δ-内0)(<'x f ，在),(00δ+x x 内0)(>'x f ，那么)(x f 在0x 取得极小值；(2) 如果在),(00x x δ-内0)(>'x f ，在),(00δ+x x 内0)(<'x f ，那么)(x f 在0x 取得极大值；(3) 如果)(x f '在),(0δx U 内符号保持不变，那么)(x f 在0x 没有极值.判别之二 设函数)(x f y =在0x 点处有二阶导数，且0)(0='x f ，则有(1) 如果0)(0>''x f ，那么在0x 取得极小值；(2) 如果0)(0<''x f ，那么在0x 取得极大值.3.函数的最大值与最小值的求法(1) 求出)(x f '在),(b a 内的零点和不存在的点n x x x ,,,21 ，计算出)(x f 在这些点处的函数值)(,),(),(21n x f x f x f ；(2) 计算出)(x f 在],[b a 的两个端点上的值)(),(b f a f(3) )}(),()(,),(),(m ax {21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最大值)}(),()(,),(),(m in{21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最小值. （六）曲线的凹凸与函数的作图1.凹凸的定义设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，如果对于],[b a 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+那么称曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的；如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 那么称曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的.2.凹凸的判定设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内具有二阶导数，那么(1) 如果在),(b a 内0)(>''x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的；(2) 如果在),(b a 内0)(<''x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.3.拐点及其求法连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.求出所有0)(=''x f 或)(x f ''不存在的点n x x x ,,,21 ，拐点从),,2,1())(,(n i x f x i i =中找.4.函数作图(1) 确定函数的定义域；(2) 求出函数的单调区间和极值点，曲线的凹凸区间和拐点；(3) 求函数图形的水平渐近线和铅直渐近线；(4) 求出函数在特殊点（包括间断点及一阶导数、二阶导数为零或不存在的点）处的函数值，定出图形上相应的点，结合前面的结果，连结这些点画出函数图形的大概形状.（七）曲率1. 定义 称dSd S K S αα=∆∆=→∆0lim 为曲线)(x f y =在M 点处的曲率.其中S ∆是 M M '的长度，α∆是曲线在M 与M '处切线的夹角，M 与M '是曲线上两点.2. 计算公式若)(x f y =，则232)1()(y y x K '+''=.3. 曲率与曲率半径ρ的关系K1=ρ二、练习题3.1 设)(x f 可导，求证：)(x f 的两个零点之间一定有)()(x f x f '+的零点. 证明 设0)()(==b f a f ，a<b ，令)()(x f e x F x =，则0)()(==b F a F ， 根据罗尔定理，存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF ，即0)]()([='+ξξξf f e .于是0)()(='+ξξf f .3.2 设函数)(x f 在]1,0[上三次可导，且0)1()0(==f f ，设)()(3x f x x F =.证明；存在)1,0(∈ξ，使0)(='''ξF .证明 由条件可知 0)1()0(==F F ，F(x)在]1,0[上可导，根据罗尔定理，存在)1,0(1∈ξ使得0)(1='ξF又由)()(3)(32x f x x f x x F '+='知道0)0(='F这样0)()0(1='='ξF F ，0)(='x F 在],0[1ξ可导. 根据罗尔定理，存在)1,0(),0(12⊂∈ξξ使得0)(2=''ξF又由)()(6)(6)(32x f x x f x x xf x F ''+'+=''知道0)0(=''F根据罗尔定理，存在)1,0(),0(2⊂∈ξξ使得0)(='''ξF3.3 设)(x f 在闭区间[a ，b ]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，0>a .证明：在 （a ，b ）内存在321,,x x x ，使233222213)()(2)()()(x x f b ab a x x f b a x f '++='+='证明 由拉格朗日中值定理 .存在),(1b a x ∈，使得)()()(1x f ab a f b f '=-- 根据柯西中值定理，存在),(),,(32b a x b a x ∈∈使得))((3)()()())((2)()()(32333322222x x F x x f a b a f b f x x F x x f a b a f b f ='=--='=-- 由上面三个等式可知原结论成立 .3.4 设)(x f 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且)1()0(f f =.求证：在（0，1）内存在的两个不同的21,c c ，使0)()(21='+'c f c f .证明 将[0，1]分成两部分]1,21[],21,0[分别在其上应用拉格朗日中值定理，得 )1,21()(211)21()1()21,0()(021)0()21(2211∈'=--∈'=--c c f f f c c f f f 又由条件)1()0(f f =，可知0)()(21='+'c f c f3.5 已知 0)3sin (lim 230=++→b xa x x x ，求b a ,的值 . 解 因 0)3sin (lim 230=++→b x a x x x ，由洛必达法则 )00(333cos 3lim )00(3sin lim 220330x bx a x x bx ax x x x ++=++→→由033cos 3lim 20=++→bx a x x 可知3-=a 再继续用洛必达法则0663cos 27lim )00(663sin 9lim )00(3333cos 3lim 00220=+-=+-=+-→→→b x x bx x xbx x x x x 于是 063cos 27lim 0=+-→b x x ，知 29=b3.6用洛必达法则求下列极限：（1）21)1ln(lim x e x x +++∞→；（2）x x x ln 1)arctan 2(lim -∞→π； （3）210)ln ln (lim x x x x bx b a x a --→； （4）)0,,()3(lim 10>++→c b a c b a x xx x x解 （1）21)1ln(lim x e x x +++∞→ =21)1(lim x x e e x xx +++∞→ =1111lim2+⋅+-+∞→xe x x =1 （2）x x x ln 1)arctan 2(lim -∞→π =x x x e ln )arctan 2ln(lim -∞→π=xx x x e arctan 21lim2-+-∞→π =x x x x x e arctan 211lim 22-⋅+-∞→π =x xx e arctan 21lim --∞→π=22111lim x x x e +---∞→ =1-e（3） 令y b x b a x a x x x x =--→210)ln ln (lim )00()ln ln()ln ln(lim ln 20x b x b a x a y x x x ---=→ = xb x b b b b a x a a a a x x x x x 2ln ln ln ln ln ln lim 0-----→ xa x a aa a x x x 2ln ln ln lim 0--→ )1ln (2ln )1(lim 0→--=→a x a xa a x x x =2ln 2ln lim 220a a a x x =→ 同理 2ln 2ln ln ln lim 20b x b x b bb b x x x =--→ 故 2ln ln ln 22b a y -= 原式=2ln ln 22b a e-（4） 令y c b a x xx x x =++→10)3(lim3ln 3ln ln ln 3ln ln ln 3lim )00(3ln lim ln 00abc c b a c c b b a a c b a x c b a y x x x x x x x xx x x =++=++⋅++=++=→→ 故 原式33ln abc e abc ==3.7 设)(x f 与)(x g 在),0[+∞存在二阶导数，且满足条件：)0()0(g f =，)0()0(g f '='，)0)(()(>''>''x x f x g .试分别用函数的单调性、拉格朗日中值定理和泰勒公式证明：0>x 时，)()(x f x g >.证明 （法一）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F于是)(x F '在),0(+∞单调递减又由)0(F ''存在，故)(x F '在0=x 连续，即有)(x F '在[]+∞,0 单调递减 .所以，当0>x 时，0)0()(='<'F x F ，于是)(x F 在[]+∞,0单调递减，所以，当0>x 时，0)0()(=<F x F 即0)()(<-x g x f ，)()(x f x g >. （法二）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F由拉格朗日中值定理，得()0)),0(()()]0()([),0()()0()(<∈⋅⋅''=⋅'-'=∈'=-ξηξηξξξx F x F F x xF F x F 故 0)(<x F ，)()(x f x g >.（法三）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F根据泰勒公式 2)(21)0()0()(x F x F F x F ξ''+'+= 其中),0(,0x x ∈>ξ 故 0)(<x F ，)()(x f x g >.3.8 利用泰勒公式计算极限：)cot 1(1lim0x x x x -→. 解 原式=xx x x x tan tan lim 20-→ =)~(tan tan lim 30x x x x x x -→ =)1~(cos cos sin lim 30x xx x x x -→ =322330)](21[)(6lim xx o x x x o x x x +--+-→ =3330)(31lim xx o x x +→ =313.9 设函数)(x f 在[0，1]上具有连续的三阶导数，且2)1(,1)0(==f f ，0)21(='f . 证明 在（0，1）内至少存在一点ξ，使24|)(|≥'''ξf . 证明 将)(x f 在210=x 点展开，并分别令0=x 和1=x ，得)2()21(6)()21(2)21()21)(21()21()1()1()21(6)()21(2)21()21)(21()21()0(322312ξξf f f f f f f f f f '''+''+'+=-'''+-''+-'+= （2）—（1）得： )]()([481112ξξf f '''-'''= 48|)()(||)(||)(|1221='''-'''≥'''+'''ξξξξf f f f取ξ为1ξ和2ξ中三阶导数的绝对值较大的点，因)1,21(),21,0(21∈∈ξξ故)1,0(∈ξ，且有 24|)(|≥'''ξf3.10 数列 ,,,3,2,13n n 中哪一项最大解 令 xx x f 1)(=，则)ln 1()ln 1()(211x x x x x x f x x -='='- 当),0(e x ∈时，0)(>'x f ，f(x)在],0(e 单增；当),(+∞∈e x 时，0)(<'x f ，f(x)在),[+∞e 单减因为 32<<e ，故值最大的项只能为2或33，而由2332<可知，2<33,所以33最大.3.11 证明：当0>x 时，有)1l n()1(1x x e x ++>-.证明 令),1ln()1(1)(x x e x f x ++--=则0)0(=f0)0(,)1ln(1)(='+--='f x e x f xxe xf x +-=''11)( 当0>x 时，0)(=''x f ，)(x f '在),0[+∞单增，而0)0(='f ，故0)(>'x f ，)(x f 在),0[+∞单增，而0)0(=f 故0)(>x f ，即当0>x 时,有)1ln()1(1x x e x ++>-3.12 在椭圆12222=+by a x 位于第一象限的部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标所围图形的面积为最小)0,0(>>b a .解 要使所述的面积最小，因椭圆在第一象限部分面积为定值，只要使切线与两坐标所围三角形面积最小即可 .设),(00y x P .则由02222=⋅+dxdy b y a x yx a b b y a x dx dy ⋅-=-=222222 可知P 点处椭圆切线方程为 )(000220x x y x a b y y -⋅-=- 分别令y=0和x=0，可得两截距为 022020022020y a b y x Y x b a x y X +⋅=+⋅=故此三角形面积为))((2102202002200y ab y x x b a x y +⋅+⋅ 因),(00y x 在椭圆上，可令0000sin ,cos θθb y a x ==.代入上式，可得此面积为02sin θab ，因此当12sin 0=θ即40πθ=时，此面积最小，此时b y a x 22,2200== . 综上，当P 点坐标为)22,22(b a 师，题中所述面积最小.测验题（三）1. 设)(x f 和)(x g 在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，且0)()(==b f a f ，证明：0)()()()(='+'x g x f x g x f 在（a ，b ）内有解证明 令)()()(x g x f x F =，则F(x)在[a ，b ]满足罗尔定理的条件，存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF ，即0)()()()()(='+'='x g x f x g x f x F 在（a ，b ）内有解.2. 设)(x f 在],0[π上连续，在()π,0内可导，且0)0(=f ，证明：存在),0(πξ∈使)(2tan )(2ξξξf f ='.证明 欲证)(2tan )(2ξξξf f ='，只要 02sin )(212cos )(=-'ξξξξf f 令2cos )()(x x f x F =，有0)0(=f 得0)()0(==πF F . )(x F 在[0，π]满足罗尔定理的条件，故存在),0(πξ∈使得0)(='ξF ，即02si n )(212cos )(=-'ξξξξf f .3. 用洛必达法则求下列极限（1）()1sin lim 20--→x x e x x x ； （2）])11[(lim e xx x x -+∞→. 解()()()61642cos lim 412sin lim 12cos 1lim 1sin lim )1(20202020=+++=++-=+--=--→→→→x x x x x xx x x xx x x x e x xe e e x e x xe e x e x e x x e x xx221)1ln(1lim )1ln()1(lim )11,)1(()1()]1ln()1([)1(lim 1]111)1ln(1[)1(lim )1(lim )1(])11[(lim )2(02012101010e tt e t t t t e t e t t t t t t t t t t t t te t x t e xx t t t t t t t t t x x -=-+-=+⋅+-=→+→+++⋅+-+=+⋅++⋅-+=-+==-+→→→→→∞→注意令4. 已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 和b ，并求出)(x f 的所有极值和曲线)(x f y =的拐点.解 b ax x x f ++='23)(2因)(x f 在1=x 处有极值2-，故⎩⎨⎧-=++==++='21)1(023)1(b a f b a f 解得⎩⎨⎧-==30b a ，因此有x x x f 3)(3-=. 解33)(2-='x x f ，得1±=x .当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在1-=x 点处取得极大值2)1(=-f ,在1=x 处取得极小值2)1(=f .解06)(==''x x f ，得0=x .当0<x 时，0)(<''x f ，当0>x 时，0)(>''x f ，故（0，0）点是曲线)(x f y =的拐点.5. 证明：当e x x >>12时，有122121ln ln x x x x x x << 证明 考虑函数x x y ln = ),(,0ln 12+∞∈<-='e x xx y 所以函数在),(+∞e 单调递减，即当e x x >>12时有2211ln ln x x x x >即2121ln ln x x x x < 再考虑函数x x y ln =，),(,0ln 1+∞∈>+='e x x y所以函数在),(+∞e 单调递增，即当e x x >>12时有2211ln ln x x x x <即1221ln ln x x x x <6. 若)(x f '在),0[+∞严格单调递增，且0)0(=f ，证明：x x f )(在),0(+∞严格单调递增.证明 对任意的0>x ，)(x f 在],0[x 连续，在（0，x ）可导，故存在),0(x ∈ξ使得 )()()0()(ξf xx f x f x f '==- xf x f x x x f x f x x f x f x x x f )()()()()()()(2ξ'-'=-'=-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 因)(x f '在),0[+∞严格单调递增，故)()(ξf x f '>'，所以0)(>'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x f 则x x f )(在),0(+∞严格单调递增.7. 设在],1[+∞上处处有0)(<''x f ，且3)1(,2)1(-='=f f ，证明：在),1(+∞内方程0)(=x f 仅有一个实根.证明 由0)(<''x f 知)(x f '在),1[+∞严格递减.由零阶泰勒公式，有)2,1(),12)(()1()2(∈-'+=ξξf f f 由于3)1()(-='<'f f ξ，2)1(=f ，故01)2(<-<f由连续函数的介值定理，存在)2,1(0∈x 使得0)(0=x f又由于)(x f '在),1[+∞严格递减.，0)1(<'f 可知对任意的),1[+∞∈x 有0)1()(<'≤'f x f ，故)(x f 在),1[+∞严格递减.所以0)(=x f 在),1(+∞内有唯一实根.。
中值定理导数的应用知识点
一、四个中值定理பைடு நூலகம்关系
推 广 推 广
罗 拉格朗日定理 柯
尔 特例 推 特例 特例 西
定 广 定
理 理
泰勒定理
二、微分中值定理
名称
条件
结论
罗尔定理
在 内存在
使得
拉格朗日定理
在 内存在
使得
推论1
在定理条件下，若
则 （ 为常数）
推论2
若 都满足定理条件，
且
则
（ 为常数）
柯西定理
、
、 在 内存在
使得
三、洛比达法则
类型
条件
结论
或
型
1若 时， （或 ）；
2在 内， 和 都存在，且
③ （有限或 ）（ 可以是 ）
四、其他不定型转化为 或
不定型
转 化 过 程.
；或
五、泰勒公式
分 类
定 理
泰勒公式
设 在含有 的某开区间 内具有直到 阶的导数，则 其中 。
麦克劳林公式
六、可导函数单调性的判定
若 ，又 存在，则
是 的一条斜渐近线
九、弧微分
1. 时，
2. 时，
3. 时，
定理（判别法）
设 ，在 内可导，则
① 上单调递增
② 上单调递减
七、曲线凹凸性的判定定理
定理
补充说明
设 ， 在 上存在， 为凹弧
设 ， 上可导， 为凹弧 在 内上升。
曲线为凹弧 切线斜率
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 或 ，则 是
的铅直渐近线（ 可以是 ）
水平渐近线
若 或 ，则 是
的水平渐近线
斜渐近线
最新中值定理与导数的应用20728
中值定理与导数的应用20728第三章中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.罗尔定理如果函数«Skip Record If...»满足：（1）在闭区间«Skip Record If...»上连续,（2）在开区间«Skip Record If...»内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即«Skip Record If...»,那么在«Skip Record If...»内至少在一点«Skip Record If...»,使得函数«Skip Record If...»在该点的导数等于零，即«Skip Record If...».例:设函数«Skip Record If...»在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，«Skip Record If...»，证明：在(0,1)内存在«Skip Record If...»，使得«Skip RecordIf...»．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：«Skip Record If...»【证明】令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且«Skip Record If...»,«Skip Record If...»由罗尔中值定理知，存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．即«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢17例：设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令«Skip Record If...»，则问题转化为证明«Skip Record If...», 只需对«Skip Record If...»用罗尔定理，关键是找到«Skip Record If...»的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，则在区间«Skip Record If...»上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对«Skip Record If...»用罗尔定理即可。
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα⇔: ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ=4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得()f C ζ=。
5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。
第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ=2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()()'()f b f a f g b g a g ζζ-=-拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。
罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。
当然也有用第一章的零点定理的。
但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。
而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。
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九、弧微分
ds ( dx )2 ( dy )2 1 y2 dx
1. y f ( x ) 时， ds 1 y2 dx
2.
x
y
( t (t
) )] 2
3. ( ) 时， ds 2 2 d
F ( x ) 0
lim f ( x ) A xa F ( x )
③ lim f ( x ) A （有限或 ）（ a 可以是 ）
型
xa F ( x )
四、其他不定型转化为 0 或
0
不定型
转 化 过 程.
0 1 2 1
0 0 0 ；或 0
1 0
10
1
2
1 1 1
)( x x0
)2
f ( n )( x0 n!
)( x x0
)n
Rn( x )
其中 Rn ( x )
f ( n1 )( ) ( n 1 )!
(
x
x0
)( n1 )
,
x0
x。
麦克劳 林公式
( x0
0)
f(x)
f (0 )
f ( 0 ) x 1!
f ( 0 ) x2 2!
f ( n )( 0 ) xn f ( n1 )(x ) xn1 , ( 0 1 )
1. f ( x ) Ca , b 拉格朗日定理 2. f ( x )在 a , b内存在
推论 1
在定理条件下，若 f ( x ) 0
结论
a , b使得
f ( ) 0
a , b使得
f ( ) f ( b ) f ( a ) ba
则 f ( x ) C （ C 为常数）
推论 2 柯西定理
1
1 2
1
2
1 1
1
0 0
12
1 eln1 e0
00
00 e0 ln0 e0
0
0 e0ln e0
五、泰勒公式
分类
定
理
泰勒公 式
设 f ( x )在含有 x0 的某开区间 a ,b内具有直到
n 1 阶的导数，则
f(x)
f ( x0
)
f ( x0 1!
)( x x0)
f ( x0 2!
F( b ) F( a ) F ( ) 3.F ( x ) 0 , x ( a , b )
三、洛比达法则
类型
条
件
结论
0
①
若 x a 时，
f(x) 0
（或 ）；
0
F( x ) 0
lim f ( x ) xa F( x )
或
0
② 在U( a )内， f ( x )和 F ( x ) 都存在，且
补充说明
f ( x )为凹弧 f （x） 0
设 f ( x )Ca ,b， a , b上可导，
曲线为凹弧 切线斜率
f ( x )为凹弧 f （ x）在 a , b内上升。
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 lim x x0
f(
x)
或 lim x x0
f(
x)
，则 x
x0 是
y f ( x ) 的铅直渐近线（ x0 可以是 ）
n!
( n 1 )!
六、可导函数单调性的判定
定 理 （判 别 法）
设 f ( x )Ca ,b，在 a , b内可导，则 ① f ( x )在a ,b上单调递增 f （ x） 0，x a，b ② f ( x )在a ,b上单调递减 f （ x） 0，x a，b
七、曲线凹凸性的判定定理
定
理
设 f ( x ) Ca ,b， f ( x )在 a , b上存在，
若 lim f ( x ) A 或 lim f ( x ) A ，则 y A 是
x
x
水平渐近线
y f ( x ) 的水平渐近线
斜渐近线
若 lim f ( x ) a ，又 lim f ( x ) ax b 存在，
x
x
x
( x )
( x )
则
y ax b 是 y f ( x ) 的一条斜渐近线
若 f ( x ),g( x ) 都满足定理条件， 则 f ( x ) g( x ) C （ C 为常数）
且 f ( x ) g( x )
1. f ( x ) 、 F( x ) Ca , b
a , b使得
2. f ( x )、 F ( x ) 在 a , b内存在 f ( b ) f ( a ) f ( )
第三章 中值定理与导数的应用
一、四个中值定理的关系
推广 罗
拉格朗日定理
尔 特例 f ( a ) f ( b ) 推 特例
定
广 n0
理
泰勒定理
推广 柯
特例 F( x ) x 西
定 理
二、微分中值定理
名称
条
件
1. f ( x ) Ca , b
罗尔定理 2. f ( x )在 a , b内存在
3. f ( a ) f ( b )