2.2.2反证法

1.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
Ｂ 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.
Ａ Ｃ
证明：
假设所求证的结论不成立，即 ＜ 60°， ∠Ｂ＿＿ ＜ 60° ＜ 60°， ∠Ｃ＿＿ ∠Ａ＿＿ 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800
例题1:求证在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3l2 不相交.
那么 l3∥l2 因为已知 l1∥l2 所以l1 ∥ l3 这与“l3与l1相交于点P 矛盾.
复习回顾
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等，经过一系列的推理论证，最后推导
出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 条件
P Q1 条件 定义 定理 公理 数学推理 Q1 Q2 Q2 Q3
结论
… Qn Q
由因导果
复习回顾
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、定理、定义、公理等）。 这种证明的方法叫做分析法.
件，否则推不出矛盾，或者不能断
定推出的结果是错误的。
学案例1，练习1
例题2:
求证:若一个整数的平方是偶数,则这个 数也是偶数.
证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k Z . 则有
(2k 1) 4k 4k 1
而
2
2
4k 2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
Q P1 P1 P2 P2 P3 …
得到一个明显 成立的条件
执果索因
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
练习:
1. 证明：2不是有理数.
2.求证: 项.
1, 2 ,3 不可能是同一个等差数列中的三
三角形三个内角的和等于180° 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
不成立 所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，
防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条
推理 矛盾
否定假设 假设不成立 即求证的命题正确. 命题成立 所以_________,
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾
假设待证命题不成立，或是命题的 反面成立。
以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论
这与“......”相矛盾
四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立