工程电磁场与电磁波答案(丁君)

1 1 l2 ：x 从 1 到- 1 ，y=- , z= 2 2 2 2 1 1 1 l3 ：y 从- 1 到1 ，x=- , z = ； l4 ：x 从- 1 到1 ，y=z= 2 2 2 2 2 2 2 所以： v r v v ò Ñ ´ F × ds = Ñ ò F × dl
l1 ：y 从 1 到- 1 ，x= z = 2 2
cos q = 1 13 2 19
Þ q = π - arccos(
（4）
1 13 ) 2 19
v v v v v B - C = -3a x + 5a y - 5a z
v v B - C 的单位矢量为：
v v v - 3a x + 5a y - 5a z -3 v 5 v 5 v = ax + ay az v v B-C 59 59 59
v v v v v v m( r - a ) + n( r - b ) + p ( r - c ) = 0 所以得：
v v v v ma + nb + pc r= ， m+n+ p
m, n, p 为实数
1-5 解：设 A 点的坐标为 ( x1 , y1 ) ，B 点坐标为 ( x 2 , y )
v v 则 a ＝ ( x1 , y1 ) ， b ＝ ( x 2 , y 2 ) 有题意得
Þ
y - y1 y 2 - y1 = x - x1 x 2 - x1
则过 A ( x1 , y1 ) ，B ( x 2 , y 2 ) 点的方程为
Þy=
y 2 - y1 (x - x1 ) + y1 x 2 - x1
v v v v 1-6 解：欲使 A, B 互相垂直，则有 A · B = 0
v v 则有 A · B = 8 - 2a - 2 = 0
得 a=3
v 1-7 解：矢量 A 与坐标轴的夹角分别为：
cos a = Ax = A 3 9 + 36 + 4 = 3 7 cos b = Ay A = -6 7 cos g = Az 2 = A 7
1 ； 2
s
l
即：斯托克斯定理成立 1-18 解 ：(1)
v 48 sin q v Ñ´E = aj R v 96 cos q Ñ·E = R
(2)
s
Ñ ò E · ds = Ñ òE
s
v
v
v
0
ˆR × R 2 sin q dq dj a
=ò
π
0
ò
2π
0
24 R 2 sin q cos q dq dj = 0
y=
= (A y )
y =-
x=
v v 所以可以得到： ò Ñ × A × dv = Ñ A ò × ds 即为高斯定理。
v s
v v \Ñ ò A × ds = 0
s
1 2
= (A x )
x =-
1 2
1-17 解： （1） 设此单位立方体上端开放 v ax v ay v az
¶ v v v = z × ax + 5 xy × a y - 5 xzaz ¶z Fz (5xz ) dxdy+ ò z × dxdy + ò z × dxdz +
v v v v v v （3） A · ( B ´ C ) = ( A ´ B) · C = -111 v v v v （4） A ´ B 是垂直于 A 、 B 所在平面的矢量，有：
v v v v v A ´ B = -27ax - 3a y - 9az
v v 于是垂直于 A 和 B 所在平面的单位矢量为：
b' ´ c' = (c ´ a ) ´ a ´ b a [(c ´ a ) · b] - b (c ´ a · a ) a (a · b ´ c) a = = = 2 2 2 a ·b´c (a · b ´ c) (a · b ´ c) (a · b ´ c)
则
b' ´ c' = a ' · b' ´ c'
v 其中 a , b , g 分别为矢量 A 与三个坐标轴方向夹角。 1-8
v v 1 v v 1 v v 1 v v 1 v v A ´ B + B ´ C + C ´ A + (C - A) ´ ( B - A) 2 2 2 2 r r v v v v 1 1 v 1 1 v 1 v v 1 v v = A´ B + B ´C + C ´ A - B ´C - C ´ A - A´ B = 0 2 2 2 2 2 2 所以：四个面的面积之和为 0
S右
× dxdz = 0
dz=0
= ò y 2 dy + ò 5xyz × dx + ò y 2 dy + ò 5xyz × dx
1 1 5 -1 5 1 = ò1 2 y 2 dy + (- ) ò1 2 xdx + ò 21 y 2 dy + ò 21 xdx = 0 4 2 4 -2 2 2
其中：
工程电磁场与电磁波
习 题 解 答 （试用本）
主编：丁君
第一章
v v v v v 1-1 解： （1） A + 3B = (-2 + 3)a x + (3 + 9)a y + (5 - 12)a z
v v v = a x + 12a y - 7 a z
v v \ A + 3B = 1 + 144 + 49 = 194
\Ñf1 ×Ñf2 = Ñf1 Ñf2 cos q
Þ cos q = (16 + 4 - 4) 8 = 6 21 3 21 8 , 0 < q < 900 3 21
Þ q = arccos
1-16
v 解：(1) Ñ × A = 2 x + 2 x 2 y + 48 x 2 y 2 z (2) (3)
a a ·b´c =a b´c a · a·b´c a ·b´c
同理可证 b =
c' ´ a' a' ´ b' ， c = a' · b' ´ c' a' · b' ´ c'
v v v v 1-11 解： （1） S = (2 y )ax + (2 x)a y + (-5)az
（2）
T
(1, 2 ,3 )
1-3 解： （1） F合 = F1 + F2 + F3 + F4
v v 代入数据得 F合 = 2ax - a y
（2） F合 = 4 + 1 = 5 （3） 合力方向与单位矢量
2 v 1 v 1 ax a y 方向相同， 与 x 轴成 - arcsin 5 5 5
1-4
r 证明：设矢量 r 的终点在 A.B.C 构成的平面上，则： v v v v v v (r - a ), (r - b ), (r - c ) 在此平面上 ，则必有不为 0 的实数 m, n, p 满足：
(3)
ò Ñ · EdV =ò ò ò
v 0 0
v
2π
π
k
0
96 cos q 2 R sin q dRdq dj R =0
= 48R 2 · 2 π
(1)证明：
（2）可以推广到任何闭曲面
v v v v v 1-9 解： （1） A ´ B = -27ax - 3a y - 9az v v v v v v v v v （2） ( A ´ B) · C = (-27ax - 3a y - 9az ) · (4ax - 2a y + az ) = -111
S前 x= 2 S后 S右 1 x= 2
1 2
v × a z dxdy + òò (A Z )
S下
1 y= 2
Z=
v × a y dxdz
1 2
v × (-a z )dxdy
v × (-a x )dydz
又 Q (A z )
z=
1 2
= (A z )
1 2
z =-
1 2 1 2
(A y ) (A x )
S前 S后 y= 1 2
v ¶ ¶ Ñ´ F = ¶x ¶y Fx Fy
ò Ñ ´ F × ds = ò
s
r
v
S下
z= -
1 2
ò
（2）
l1 l
S左
-(5xy )
y= -
v v 2 F Ñ ò × dl= Ñ ò (5xyz × dx + y dy + yz × dz)
l l2 l3 l4
1 2
dxdz + ò (5xy)
则
v v v Ñf = (2 xy + 2 z ) ax + ( x 2 ) a y + (2 x) az
Ñf
(2, -1,2)
ˆ y + 4a ˆz = 4a
1-15
解：两个曲面的夹角实为它们的梯度的夹角的较小的一个 v v v Ñf1 = 2 xax + 2 ya y + 2 zaz
v v v = 4 a x - 2a y + 4 a z v v v Ñf2 = 2 xax + 2 ya y - az v v v = 4 a x - 2a y - a z
A´ B 9 v 1 v 3 v v an = ± = m( ax + ay + az ) A´ B 91 91 91
1-10 证明： b ' ´ c ' =
c´a a´b (c ´ a ) ´ a ´ b ´ = a·b´c a·b´c (a · b ´ c) 2
利用公式 A ´ ( B ´ C ) = B ( A · C ) - C ( A · B ) 可得：
1-2 证明：欲证明三矢量 A、B、C 能构成一个三角形，则须证出三个线性无关 的非零矢量位于同一平面上。则有： A · ( B ´ C ) = 0
Ax
即
Ay By Cy Az
Az Bz = 0 Cz 3 1 -2 0 1 1
Bx Cx Ax Ay By Cy
代入得 即得证
Bx Cx
Bz = - 1 3 4 = - 1 3 4 = 0 4 -2 6 0 0 0 Cz
（2）
v v v v C × B = C × B cos q v v C×B cos q = v v C×B
cos q = -6 21 ´ 26
v 6 Þ C cos q = 26 v v r v B B B 方向的单位矢量为： b = v = B 26
r s v v 3 v 3 v v v C 在 B 方向的分矢量为： C cos q · b = - B = - (ax + 3a y - 4az ) 13 13 （3） v v v v A × B = A B cos q v v A× B cos q = v v AB
1 1 v 1 v 1 v （1） Ñ( ) = - ( R) -3 · 2 ( x - x ' ) ax - ( R )-3 · 2 ( y - y ' ) a y - ( R) -3 · 2 ( z - z ' ) az R 2 2 2 v v v = - ( R ) -3 · ( x - x ' ) a x - ( R ) -3 · ( y - y ' ) a y - ( R ) -3 · ( z - z ' ) a z
ò ò ò
r
S
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
(2x + 2x 2 y + 48x 2 yz)dxdydz = 0
Z
Ñ ò A × ds = òò (A
S上
S左 y= 2
v
)
Z=
v + òò (A y ) 1 × (-a y )dxdz+ òò (A y ) v + òò (A x ) 1 × a x dydz + òò (A x )
则有： （2）
Ñ f ( R) = 1 1 Ñ( ) = -Ñ ' ( ) R R
¶f ¶f ' Ñ( R ) ， - Ñ ' f ( R ) = Ñ ( R) ¶R ¶R
又 Ñ ( R) = -Ñ ' ( R) 所以有 Ñ f ( R) = -Ñ ' f ( R) `
1-14 解：设 f = x 2 y + 2 xz
= -11 ，
v v v v v S = 4ax + 2a y - 5az ， S = 16 + 4 + 25 = 3 5 ，
v S 4 v 2 v 5v v Þ aS = ± v = ± ( ax + ay az ) 3 S 3 5 3 5
1-12 解：电场线的切线方向为电场强度方向， v v 则 f = ò E · dl = ò (2 x - 1)dx + (4 - 2 y )dy = x 2 - x - y 2 + 4 y + c 即电场线方程为 x 2 - x - y 2 + 4 y + c 1-13 解:
1 1 1 v 1 v -Ñ ' ( ) = -[- ( R)-3 · -2 ( x - x ' ) ax - ( R) -3 · -2 ( y - y ' ) a y - ( R)-3 · -2 ( z - z ' ) az ] R 2 2 2
v v v = -( R )-3 · ( x - x ' ) ax - ( R) -3 · ( y - y ' ) a y - ( R) -3 · ( z - z ' ) az