上海市宝山区2011学年度高三学科测试数学试卷-答案

2011学年第一学期期末测试
高三数学参考答案
2012.1.6
一．填空题
1. 1
2. 12i ±
3. ()1,6-
4. (0,3]
5.i
6. 11
7. 31
x y =⎧⎨
=⎩ 8. 2 9. 2
1a a ++ 10. 223+ 11. (1,2)
12. 4 13. 21,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭
二．选择题（本大题满分20分） 15. A 16.A 17.C 18. D
三．解答题（本大题满分74分）
19.
解：化简22sin cos 1y x x x =--
1cos 2212sin 26x x x π=--⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭……………………（4分）
因为72,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
……………………（6分）
即2y ⎡∈-+⎣
……………………（8分）
由2sin 206x π⎛⎫
-++= ⎪⎝
⎭
得……………………（9分） 零点为12
x π
=或4
x π
=
……………………（12分）
20. 解：（1）11
1
3E AA F A AE V S BC -∆=
⋅……………………………………（3分） 1E AA F V -14
2233
=⋅⋅=……………………………………………（6分）
（2）连结EC
可知EFC ∠为异面直线EF 与AB 所成角，…………………（9分）
在Rt FEC ∆中，EC =，1FC =，……………………（10分）
所以tan EFC ∠=13分）
即EFC ∠=14分）
21. 解：（1）由题意，1
31331
x x
x +-+≥+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-≤……………（2分） 解得1
133
x
-≤≤
…………………………………………………………（4分） 所以1x ≤-……………………………………（6分，如果是其它答案得5分） （2）已知定义域为R ，所以()10=
013a
f a b
-+=⇒=+，…………………（7分） 又()()1103f f b +-=⇒=，……………………………………………………（8分）
所以()11333
x
x f x +-=+；…………………………………………………………（9分）
()11311312133331331x x x x x f x +⎛⎫--⎛⎫
===-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<
可知()()()()21
1
2
12121222333313133131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪
++++⎝⎭⎝⎭
…………（12分） 因为12x x <，所以21330x
x
->，所以()()12f x f x <
因此()f x 在R 上递减．……………………………………………………………（14分）
22.解：(1) 设椭圆方程为22
221x y a b
+=，
由题意点12⎫⎪⎪⎝⎭
在椭圆上，22
1a b =+………………………………………（2分） 所以2
261
14(1)b b
+=+，解得2212x y +=…………………………………………（4分） （2）由题意1y x =-，………………………………………………………………（5分） 所以，()410,0,,33A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， …………………………………………………………（7分）
12
1
=⋅=
∆B ABP x AP S …………………………………………………………………（9分） （3
）当直线斜率不存在时，易求1,
,1,22A B ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以)2
1
,1(),212,1(),212,1(1-=+-=-=PF 由1PA PB tPF +=
得
2t =，直线l 的方程为1x =．……………………（11分） 当直线斜率存在时，
所以112211,,,22PA x y PB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，111,2PF ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
由1PA PB tPF +=
得
121211222x x t t y y +=⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩即121212
x x t t y y +=⎧⎪
⎨+=-⎪⎩…………………………………（13分）
因为1212(2)y y k x x +=+-，所以1
2
k =- 此时，直线l 的方程为()1
12
y x =-
-………………………………………（16分） 注：由1PA PB tPF += 得1F
是AB 的中点或P 、A 、B 、1F 共线，不扣分． 23.解：（1）由题可知()222log 22n n f a n a n =+⇒=+………………（2分） 得222n n a +=．………………………………………………………………（4分）
（2）原式化简：
()()221221
221221212
log log )23log log (32)23
log (32)23
32220220
2,2k k k k k k k k x x k x x k x x k x x x x x +++++++++≥+⇒+⋅-≥+⎡⎤⇒⋅-≥+⎣⎦⇒-⋅+⋅≤⇒--≤⎡⎤⇒∈⎣⎦
……………………………………（8分）
其中整数个数()121k g k +=+．…………………………………………（10分）
（3）由题意，11111641211414
n n n S ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
=⨯=--
12k +=…………………（12分）
又2n S λ-恒成立，0n S >，0λ>，
所以当n S
取最小值时，n S -14分） 又1n S <
4≥，所以2
14λλ-≤……………………………………（16分）
解得2λ≥-18分）。