2020高考数学总复习第二章函数、导数及其应用课时作业14利用导数研究函数的单调性课件文新人教A版

9．(2019·银川诊断)若函数 f(x)＝ax3＋3x2－x 恰好有三个单调区
间，则实数 a 的取值范围是 _(_－__3_,_0_)_∪__(_0_，__＋__∞__) .
解析：由题意知 f′(x)＝3ax2＋6x－1， 由函数 f(x)恰好有三个单调区间， 得 f′(x)有两个不相等的零点． 需满足 a≠0，且 Δ＝36＋12a＞0， 解得 a＞－3，所以实数 a 的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．
故只要 g′(1)＜0 且 g′(2)＜0， 即 m＜－5 且 m＜－9，即 m＜－9； 由 g′(3)＞0，即 m＞－337. ∴－337＜m＜－9. 即实数 m 的取值范围是－337，－9.
13．若函数 exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在 f(x)的定义 域上单调递增，则称函数 f(x)具有 M 性质．下列函数中具有 M 性质
增函数，B 不正确．对于 C，g(x)＝ex·3－x＝e3x 在定义域 R 上是减 函数，C 不正确．对于 D，g(x)＝ex·cosx，则 g′(x)＝ 2excosx＋π4， g′(x)＞0 在定义域 R 上不恒成立，D 不正确．
14．定义在区间(0，＋∞)上的函数 y＝f(x)使不等式 2f(x)＜xf′(x)
16．(2019·岳阳质检)已知函数 f(x)＝(ax－1)ex，a∈R. (1)讨论 f(x)的单调区间； (2)当 m＞n＞0 时，证明：men＋n＜nem＋m.
令
f′(x) ＞ 0 ， 得
x＞
Байду номын сангаас3 3
或
x＜－
33 ， ∴ 函 数
f(x) ＝ x3 － x
在
－∞，－ 33和 33，＋∞上单调递增；对于 D，f′(x)＝－1＋1x＝ －x－x 1，令 f′(x)＞0，得 0＜x＜1，∴函数 f(x)＝－x＋lnx 在区间 (0,1)上单调递增．综上所述，故选 B.
(2)当 a＝1 时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x. ∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数， ∴g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0 在(2，＋∞)上恒成立， 即 m≤xeexx－＋11在(2，＋∞)上恒成立． 令 h(x)＝xeexx－＋11，x∈(2，＋∞)， 则 h′(x)＝ex2－ex－xe1x－2 2ex＝exeexx－－x1－2 2. 令 L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1＞0 在(2，＋∞)上恒成立，
3．(2017·浙江卷)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，
则函数 y＝f(x)的图象可能是( D )
解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0 的解集 对应 y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0 的解集对应 y＝f(x)的减区间，验 证只有 D 选项符合．
4．(2019·豫南九校联考)已知 f′(x)是定义在 R 上的连续函数 f(x)
解析：设 g(x)＝fxx，则 g′(x)＝xf′xx2－fx， ∵当 x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜0， ∴g′(x)＜0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数． 由 f(x)为奇函数，知 g(x)为偶函数， 则 g(－3)＝g(3)， 又 a＝g(e)，b＝g(ln2)，c＝g(－3)＝g(3)， ∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，故 c＜a＜b.
6．(2019·安徽模拟)已知 f(x)＝lnxx，则( D )
A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2) C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2)
解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)， ∵f′(x)＝1－x2lnx，∴x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)， f′(x)＜0，故 x＝e 时，f(x)max＝f(e)，而 f(2)＝ln22＝ln68，f(3)＝ln33 ＝ln69，则 f(e)＞f(3)＞f(2)．
12．已知函数 f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为 45°， 对于任意的 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋x2·f′x＋m2在区间(t,3)上总不 是单调函数，求 m 的取值范围．
11．(2019·河北武邑中学调研)已知函数 f(x)＝ex－ax(a∈R，e 为 自然对数的底数)．
(1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若 a＝1，函数 g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x 在(2，＋∞)上为增 函数，求实数 m 的取值范围．
解：(1)函数 f(x)的定义域为 R，f′(x)＝ex－a. 当 a≤0 时，f′(x)＞0， ∴f(x)在 R 上为增函数； 当 a＞0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝lna， 则当 x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0， ∴函数 f(x)在(－∞，lna)上为减函数， 当 x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴函数 f(x)在(lna，＋∞)上为增函数．
∵xf′(x)－3f(x)＜0，x＞0， ∴fxx3′＝f′x·x3x－6 3x2fx＝xf′xx－4 3fx＜0， ∴y＝fxx3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f223＜f113，即ff12＜8. 综上，4＜ff21＜8.
15．(2019·昆明调研)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)＝1，f(x)的导
即 L(x)＝ex－x－2 在(2，＋∞)上为增函数， 即 L(x)＞L(2)＝e2－4＞0， ∴h′(x)＞0 在(2，＋∞)上成立， 即 h(x)＝xeexx－＋11在(2，＋∞)上为增函数， ∴h(x)＞h(2)＝2ee22－＋11，∴m≤2ee22－＋11. ∴实数 m 的取值范围是－∞，2ee22－＋11.
的是( A )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cosx
解析：设函数 g(x)＝ex·f(x)，对于 A，g(x)＝ex·2－x＝e2x，在定 义域 R 上为增函数，A 正确．对于 B，g(x)＝ex·x2，则 g′(x)＝x(x ＋2)ex，由 g′(x)＞0 得 x＜－2 或 x＞0，∴g(x)在定义域 R 上不是
2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( B )
A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx
解析：对于 A，f(x)＝sin2x 的单调递增区间是kπ－π4，kπ＋4π(k ∈Z)；对于 B，f′(x)＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C，f′(x)＝3x2－1，
数 f′(x)＜12，则不等式 f(x2)＜x22＋12的解集为 _{_x_|x_＜__－___1_或___x_＞__1_} .
解析：设 F(x)＝f(x)－12x，∴F′(x)＝f′(x)－12， ∵f′(x)＜12，∴F′(x)＝f′(x)－12＜0， 即函数 F(x)在 R 上单调递减． ∵f(x2)＜x22＋12，∴f(x2)－x22＜f(1)－12， ∴F(x2)＜F(1)，而函数 F(x)在 R 上单调递减， ∴x2＞1，即不等式的解集为{x|x＜－1 或 x＞1}．
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即 g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于 g′(0)＝－2，∴gg′′3t＜＞00，. 当 g′(t)＜0 时， 即 3t2＋(m＋4)t－2＜0 对任意 t∈[1,2]恒成立， 由于 g′(0)＜0，
7．(2019·张掖一诊)定义在 R 上的可导函数 f(x)满足 f(1)＝1，且
2f′(x)＞1，当 x∈－π2，32π时，不等式 f(2cosx)＞32－2sin22x的解集为
( D)
A.π3，43π C.0，π3
B.－π3，43π D.－π3，π3
10．已知函数 f(x)＝－12x2＋4x－3lnx 在区间[t，t＋1]上不单调，
则 t 的取值范围是 _____(0__,1_)_∪__(_2_,3_)_____ .
解析：由题意知 f′(x)＝－x＋4－3x＝－x－1xx－3， 由 f′(x)＝0，得函数 f(x)的两个极值点为 1 和 3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内， 函数 f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调， 由 t＜1＜t＋1 或 t＜3＜t＋1，得 0＜t＜1 或 2＜t＜3.
课时作业14 利用导数研究函数的单调性
1．函数 y＝12x2－lnx 的单调递减区间为( B )
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：y＝12x2－lnx，y′＝x－1x＝x2－x 1＝x－1xx＋1(x＞0)．令 y′≤0，得 0＜x≤1，所以递减区间为(0,1]．
解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且 f′(x)＝a1x－x， 当 a＞0 时，f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； 当 a＜0 时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)； 当 a＝0 时，f(x)为常函数． (2)由(1)及题意得 f′(2)＝－a2＝1， 即 a＝－2， ∴f(x)＝－2lnx＋2x－3，f′(x)＝2x－x 2. ∴g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x，
＜3f(x)恒成立，其中 y＝f′(x)为 y＝f(x)的导函数，则( B )
A．8＜ff21＜16 B．4＜ff12＜8 C．3＜ff12＜4 D．2＜ff21＜3
解析：∵xf′(x)－2f(x)＞0，x＞0， ∴fxx2′＝f′x·xx2－ 4 2xfx＝xf′xx－3 2fx＞0， ∴y＝fxx2在(0，＋∞)上单调递增， ∴f222＞f112，即ff12＞4.
8．(2019·武汉模拟)已知定义域为 R 的奇函数 y＝f(x)的导函数为
y＝f′(x)，当 x＞0，xf′(x)－f(x)＜0，若 a＝fee，b＝fllnn22，c＝f－－33，
则 a，b，c 的大小关系正确的是( D )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
5．(2019·安徽江南十校联考)设函数 f(x)＝12x2－9lnx 在区间[a－1，
a＋1]上单调递减，则实数 a 的取值范围是( A )
A．(1,2]
B．[4，＋∞)
C．(－∞，2]
D．(0,3]
解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－9x，∴由 f′(x)≤0 解得 0＜x≤3，由题意知aa－ ＋11＞ ≤03， ， 解得 1＜a≤2.
的导函数，满足 f′(x)－2f(x)＜0，且 f(－1)＝0，则 f(x)＞0 的解集为
( A)
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)
D．(－1，＋∞)
解析：设 g(x)＝fex2x，则 g′(x)＝f′xe－2x 2fx＜0 在 R 上恒成立， 所以 g(x)在 R 上递减，又因为 g(－1)＝0，f(x)＞0⇔g(x)＞0，所以 x ＜－1.
解析：令 g(x)＝f(x)－2x－12， 则 g′(x)＝f′(x)－12＞0，∴g(x)在 R 上单调递增，
且 g(1)＝f(1)－12－12＝0， ∵f(2cosx)－32＋2sin22x＝f(2cosx)－2c2osx－12＝g(2cosx)， ∴f(2cosx)＞32－2sin22x， 即 g(2cosx)＞0，∴2cosx＞1. 又 x∈－2π，32π，∴x∈－3π，π3.