2019-2020年数学人教A版选修1-2优化课件：第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算

2．已知 x，y 为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求 x，y. 解析：设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i， ∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i， ∴4aa2＋2＝b42＝，2， ∴ab＝＝11， 或ab＝＝1－，1 或ab＝ ＝－1 1， 或ab＝＝－－11，. ∴xy＝＝11－＋ii， 或xy＝＝11＋－ii.， 或xy＝＝－－11－＋ii， 或xy＝＝－－11＋－ii.，
共轭复数的求解与应用 (1)若复数 z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 z ，再进行复数的四则 运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数 z 的代数形式，再根据共轭复数的定 义求 z . (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于 z 和 z 的方程，而复数 z 的代数形式 未知，求 z，解此类题的常规思路为设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，代入所给等 式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
(2)已知复数 z＝1－3＋3ii2， z 是 z 的共轭复数，则 z·z ＝________.
解析：(1)11－ ＋ii2＝11－ ＋ii22＝－2i2i＝－1.
(2)∵z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i＝－213＋＋i 3i＝－213＋＋i31i－1－3i3i＝2 －3－8 2i＝－ 43＋14i，
[解析] 选项 A 不正确，如 z＝i.
选项 B 不正确，如 a＝1，b＝i.
选项 C 不正确，如 z＝0, 则 z ＝0.
选项 D 正确，设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，又 z1·z2＝0，
所以(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，即aacd－＋bbdc＝ ＝00， ， 即aacd＝＝b－d，bc，
a2＋b2＝1， 由3a－4b＝0，
4a＋3b≠0，
解得ba＝＝5345，，
或ab＝ ＝－ －4355， .
∴z＝45＋35i 或 z＝－45－53i 故 z ＝45－53i 或 z ＝－45＋35i.
课时作业
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
复数的乘法运算法则的应用 (1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把 i2 化为－1， 进行最后结果的化简． (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如，平方 差公式、完全平方公式等．
1．(1)若31＋－bii＝a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝________.
① ②
①×d－②×c 得：b＝0 或 c2＋d2＝0，即 b＝0 或 c＝0 且 d＝0；
①×a＋②×b 得：c＝0 或 a2＋b2＝0，即 c＝0 或 a＝0 且 b＝0，
综上所述：若 z1·z2＝0，则 z1＝0 或 z2＝0.
[答案] D
[错因与防范] (1)解答本题时因忽视复数 z∈C 而误选 A 或 B. (2)对于有关数的命题，一定注意数的范围，对于实数成立的命题，对于复数能否成 立，不能仅凭感觉猜想，务必严格推证.
∴z 的共轭复数为 2＋i.
答案：D
4．设 i 为虚数单位，则复数 z＝2i(1－i3)在复平面内对应的点位于第________象限． 解析：z＝2i(1－i3)＝2i(1＋i)＝2i－2 ∴z 对应的点(－2,2)在第二象限． 答案：二
探究一 复数的乘法运算
[例 1] (1)已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y 的值为( )
A．2
B．－2i
C．－4
D．2i
(2)已知复数 z1＝12－32i(1＋i)(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数， 求 z2.
[解析] (1)xi－y＝－1＋i(x，y∈R) ∴x＝1，且 y＝1 所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i，选 D. (2)z1＝12－23i(1＋i)＝2－i. 设 z2＝a＋2ia＋2)＋(4－a)i， 因为 z1z2∈R， 所以 a＝4， 所以 z2＝4＋2i. [答案] (1)D
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
＝－1＋i2＋i－i2－1＝i－1＝－1＋i，
则复数 z 对应的点为(－1,1)，此点在第二象限．
答案：B
3．已知复数 z＝i－2i1， z 是 z 的共轭复数，则 z ＋(1＋i)＝________. 解析：∵z＝i－2i1＝2i－2i－1＝1－i ∴ z ＝1＋i 则 z ＋(1＋i)＝(1＋i)＋(1＋i)＝2＋2i. 答案：2＋2i
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋__z_1z_3_
2.共轭复数
已知 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 (1)z1，z2 互为共轭复数的充要条件是 a＝c且b＝－d .
(2)若 z＝ z ，则 z 是实数．
3．复数的除法 a＋bi
在进行复数的除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成 c＋di 的形式，再把分子与
探究二 共轭复数
[例 2] (1)若复数 z＝1＋i， z 是 z 的共轭复数，则 z2＋ z 2 的虚部为( )
A．0
B．－1
C．1
D．－2
(2)复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为( )
A．2＋i
B．2－i
C．5＋i
D．5－i
[解析] (1)∵z＝1＋i，则 z ＝1－i. 则 z2＋ z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0. 因此 z2＋ z 2 的虚部为 0. (2)∵(z－3)(2－i)＝5 ∴z＝2－5 i＋3＝2－52i＋2＋i i＋3＝5＋i. 所以 z ＝5－i. [答案] (1)A (2)D
(2)已知 a，b∈R，若 a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )
A．3－4i
B．3＋4i
C．4－3i
D．4＋3i
解析：(1)∵31＋－bii＝a＋bi，(a，b∈R) ∴3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－a)i 由复数相等ab＋－ba＝＝3b 则ab＝＝03，. 因此|a＋bi|＝|3i|＝3 (2)由 a＋i＝2－bi 得 a＝2，b＝－1. ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i. 答案：(1)3 (2)A
A．(1)
B．(2)
C．(3)
D．(1)(2)(3)
解析：(1)错误．举反例：如复数 2 和 2i，它们的模相等，但不是共轭复数． (2)错误．例如 z1＝1，z2＝i，显然 z21＋z22＝0，但 z1≠z2≠0. (3)正确．设两个共轭虚数分别为 z1＝a＋bi，z1 ＝a－bi(a，b∈R，b≠0)，差 z1－ z1 ＝ 2bi(b≠0)为纯虚数． 答案：C
∴z1＝－2－i，z2＝i. 所以zz12＝－2i－i＝－1＋2i. 故zz12对应的点(－1,2)在第二象限，选 B. (2)①原式＝－3＋42i＋＋i 3－3i＝2＋i i＝i2－ 5 i＝15＋25i.
②1－3＋3ii2＝
3＋3＋ii－2 i＝
－3＋i i＝－i4 3－i＝－41－
[随堂训练]
1．已知复数 z＝2－i，则 z·z 的值为( )
A．5
B. 5
C．3
D. 3
解析：z·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝5.
答案：A
2．复数 z＝－11＋＋i i－1 在复平面内对应的点在(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝－1＋1＋i i－1＝－1＋1＋ii1－1－ii－1
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
考纲定位
重难突破
1.掌握复数代数形式的乘、除运算．
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘 重点：复数代数形式的乘法、除法．
法对加法的分配律．
难点：复数的除法运算.
3.理解共轭复数的概念.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．复数的乘法
(1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
(2)对于任意 z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝_z_2_·z_1_
结合律
(z1·z2)·z3＝_z_1·_(_z_2·_z_3)_
4．设复数 z 满足|z|＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 z . 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)．由|z|＝1，得 a2＋b2＝1. 由题意，得(3＋4i)·z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i 是纯虚数，则34aa－ ＋43bb＝≠00，.
分母都乘以 c－di . 则(a＋bi)÷(c＋di)＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i (c＋di≠0)．
[双基自测]
1．其中说法正确的是( )
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．
(2)若 z1，z2∈C，且 z21＋z22＝0，则 z1＝z2＝0.
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．

∴z·z ＝－

3＋
i

－
4 4
43－4i ＝31＋61＝14.
答案：(1)B
1 (2)4
因忽视实数与复数的差异而致误 [典例] 在复数范围内，下列命题中正确的是( ) A．若|z|＝1，则 z＝±1 B．若 a2＋b2＝0，则 a＝0 且 b＝0 C．若 z－ z ＝0，则 z 为纯虚数 D．若 z1·z2＝0，则 z1＝0 或 z2＝0
3 4 i.
[答案] (1)B
(1)复数除法运算的实质是分母实数化，即分母、分子同乘分母的共轭复数，另外注 意将运算结果的实部、虚部分算． (2)记住以下运算结果，提高运算速度 ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i； ③1i ＝－i.
3．(1)i 为虚数单位，11－＋ii2＝(
探究三 复数除法运算
[例 3] (1)如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是O→A，
O→B，则复数zz21对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)计算：①1＋2i22＋＋i31－i；②1－3＋3ii2.
[解析] (1)由复数的几何意义，O→A＝(－2，－1)，O→B＝(0,1)
2．若复数 z＝1＋i，i 为虚数单位，则(1＋z)·z＝( )
A．1＋3i
B．3＋3i
C．3－i
D．3
解析：(1＋z)z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.
答案：A
3．若 z＝1＋i 2i，则复数 z 等于(
)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
解析：z＝1＋i 2i＝1＋i·2－ii－ i＝2－i.