小学数学苏教新版五年级下册《列方程解决实际问题》教材分析

小学数学苏教新版五年级下册
《列方程解决实际问题》教材分析
（四）列方程解决稍难的一步计算实际问题
例7解决的一步计算问题在第一学段没有出现过，有时我们把它称之为“逆叙述”的问题。

已知今年体重36千克，求去年体重多少千克，如果列算式计算，要把“今年比去年增加1.5千克”理解成“去年比今年少2.5千克”。

由于低年级学生进行逆向推理比较困难，因此那时不安排这种问题的教学。

第二学段列方程解答这种问题，利用题中最基本的数量关系，避免了逆向思维，降低了思考的难度。

类似的一步计算问题还有像例7的“练一练”，已知一个数的几倍是多少，求这个数的问题。

列方程解决实际问题的关键是找到问题里的相等关系。

尽管相等关系也是数量关系，但列方程的数量关系与列算式的数量关系是明显不同的。

列算式的数量关系，把已知数量和未知数量分开，已知条件作为一方，要求的问题作为另一方，通过已知数量的运算得到未知数量。

而列方程的数量关系，“平等”看待已知数量和未知数量，把两者融合起来，共同参与运算，人们一般称之为相等关系（也称等量关系）。

寻找相等关系是列方程解决实际问题的教学重点，如果找不到相等关系，就列不出方程。

寻找相等关系还是教学难点，习惯了的列算式思维会干扰对相等关系的思考。

为此，教材里有三点安排。

1．教学方程意义的时候，用方程表示简单现象里的相等关系。

练习一第1、2两题，采用学生熟悉的线段图、带括线的图画、图文结合的叙述等形式呈现简单现象，要求用方程表示其中的数量关系，让学生初步感受什么是方程、怎样列方程，尤其对依据什么列方程、列出的方程表示什么意思，获得初步的感受。

指导学生寻找相等关系和列方程要注意两点：一点是联系生活经验和常识，按照事情发生与发展的线索，理顺数量关系。

如，联系商品降价出售的经验，得出“原来的价钱－优惠的钱数＝现在的价钱”；从大树比小树高的事实，得出“大树的高度－小树的高度＝大树比小树高的米数”……有了这些数量关系，列方程就方便了。

另一点是不要过分鼓励对数量关系的发散性思考，也不要过分提倡列出的方程多样化，而要把握住简单事件里最基本的相等关系，这对以后的教学十分重要。

2．教学解方程的时候，渗透列方程解决问题的思想。

例4求天平左边正方体的质量，例6求长方形试验田的宽，都是先列出方程再求解。

这两道例题的教学重点是应用等式性质解方程，但以解决实际问题为载体有两点好处：一是体现了列方程是解决实际问题的一种方法；二是体现了列方程要依据实际问题里的相等关系。

倒4的相等关系是天平两边物体的质量相等，学生已相当熟悉。

例6依据长方形的面积公式列方程，是对相等关系的又一次引导。

在练习一里还有“看图列方程并解答”的习题。

教学这些内容，既不要冲淡解方程这个重点，也要让学生获得上面所说的
两点体会，为正式教学列方程解决实际问题多作些铺垫。

3．例7及其“练一练”主要解决逆叙述的相差关系和倍数关系的问题。

例7有一个关于“相差多少”的已知条件，“练一练”有一个“是几倍”的已知条件，只要抓住这些数量分析相差数或倍数的具体含义，就能找到实际问题里的相等关系。

首次教学列方程解决实际问题，例7里依次安排三个重要内容：一是怎样寻找数量之间的相等关系；二是这个问题为什么列方程解答；三是列方程解答实际问题的步骤与书写格式。

这三个内容中，第一个最重要，另两个内容都能在第一个内容里得到启示。

这道例题的相等关系“小红去年的体重＋2.5＝今年的体重”，是从“今年比去年增加了2.5千克”得出的。

分析这个已知条件，会想到小红今年的体重、去年的体重、2.5千克是三个有关系的数量；接着会想到今年的体重重些、去年的体重轻些，2.5千克是两年体重的相差数；然后把上面的想法用数学式子表示成相等关系式，列方程便有了依据。

只要带领学生经历这些思考，他们能够像“萝卜”卡通那样说出相等关系，从列算式的思维转变为列方程的思维。

教材指出，可以根据“去年的体重＋2.5＝今年的体重”列出方程。

为什么列方程解题？必须让学生明自这个问题。

在相等关系式上，有两个数量已知、一个数量未知，两个已知数量不在等号的同一边，而是一个已知数量与未知数量在等号的一边，另一个已知数量在等号另一边。

遇到这种情况，如果把未知的数量设为x千克，很容易列出方程；通过解方程，就能求出未知的数量。

这就是为什么列方程解题的原因。

明白这一点，就体会了列方程是解决问题的一种有效方法。

解题活动就会在寻找相等关系的基础上，很自然地按照“写设句——列方程——解方程”的顺序进行，列方程解决实际问题的步骤由此得出。

例题还根据“今年的体重－去年的体重＝2.5”，列方程解题。

这是由于两点考虑：首先是学生分析相差关系，不会都得出像“萝卜”卡通那样的相等关系式。

他们从今年的体重重些、去年的体重轻些、两年体重相差2.5千克，完全有可能想到“番茄”卡通的相等关系式，况且不同的相等关系对列方程，并没有明显的好与坏、优与劣的区别，都可以用于解题。

其次是用等式性质解方程36－x＝2.5，会遇到一个小矛盾：未知数在方程里是减数，等号两边同时加上x，左边的x被消去，而右边却有了x。

这时可以把方程的左边与右边相交换，使未知数回到等号的左边，继续解方程。

教材为处理这个小矛盾，作了示范。

需要强调的是，例题先后采用两个数量关系，列出两个方程，用两种解法解答了实际问题。

这并不是“一题多解”，并不要求学生用两种方法解题。

而是提醒教师，根据“今年比去年增加2.5千克”寻找实际问题的相等关系，学生中很可能出现不同的表达，从而列出不同的方程。

要允许学生按自己对“今年比去
年增加2.5千克”的理解，用白己想到的相等关系列出方程来解决问题。

“练一练”已知一个数的几倍是多少，求这个数。

一般从“蓝鲸的体重是非洲象的33倍”这个条件，得出数量关系式：非洲象的体重×3＝蓝鲸的体重，并以此为相等关系列方程求非洲象的体重。

这是已知两个乘数的积与一个乘数，求另一个乘数经常使用的方法。

教材希望学生独立解决这个实际问题，经历“分析已知的倍数关系→得出相等关系→感受需要列方程解答→按列方程的步骤解题”的过程。

教学应利用交流与评价的机会，突出怎样找到相等关系、为什么列方程解答等思考的重点，帮助学生逐步形成有关列方程解决问题的思想与方法。

4．检验答案是否正确，反思解决问题的过程与方法，是教学列方程解决实际问题不可忽视的环节。

列方程解决实际问题的两个要点分别是列出方程和解方程，检验答案应该在这两个环节上进行。

首先要检查列方程的相等关系是否符合实际问题的题意，然后检查未知数的值是否符合方程。

然而，人们往往直接检验答案是否符合实际问题的数量关系，这种做法是很好的。

就例7来说，求得去年体重33.5千克以后，只要检验今年体重是不是比去年增加2.5千克。

如果今年体重确实比去年增加2.5千克，则解题正确；如果今年体重不是比去年增加2.5千克，则答案错误。

就“练一练”来说，求得非洲象大约重5吨，只要检验蓝鲸的体重是不是非洲象的33倍，或是通过5×33检验，或者通过165÷5检验。

反思解决问题的过程与方法，是为了积累列方程解决问题的经验。

应围绕列方程解决实际问题的主要步骤有哪些，以及怎样寻找实际问题中的相等关系、怎样按相等关系列出方程、怎样检验解题结果等要点，组织学生体会数学活动，内化解题要领，掌握解题步骤。

（五）解稍复杂方程的策略——转化成简单的方程
例8、例9和例10都是解答两、三步计算的实际问题，列出的方程稍复杂些。

这三道例题都同时教学两个知识，一个是怎样解稍复杂的方程，还有一个是如何列稍复杂的方程。

把两个知识结合着教学，能体现数学内容（方程）和现实生活（实际问题）的联系，一方面分析实际问题里的数量关系，抽象出方程，形成知识与技能的教学内容；另一方面利用方程解决实际问题，使知识与技能的教学具有现实意义，成为数学思考、问题解决、情感态度有效发展的载体。

把两个知识结合着教学也有其可行性，因为学生已经具有列方程解答一步计算问题的能力，以此为基础，有条件探索并掌握解决较复杂问题的方法，列出稍复杂的方程并求解。

三道例题涉及的方程分别形如ax±b＝c、ax±bx＝c、ax±b×c＝d。

解这些方程都要通过计算或者利用等式性质，把原方程化归成简单方程而求出未知数的值。

像这样化复杂为简单、变新知为旧知足人们解决问题的常用策略，也是探索与创新不可缺少的思想方法。

引导学生通过转化解稍复杂的方程，能充分体验转化思想，发展解决问题的策略。

1．从各个方程的特点出发，使用不同的化简方法。

解ax±b＝c这样的方程，一般根据“等式两边同时加上或减去相同的数，结果仍然是等式”这条性质化简原来的方程。

例8在列出方程2x－22＝64以后，写出了解这个方程的第一步：2x－22＋22＝64＋22，使原方程化简成2x＝86。

这是学生能够看懂的。

教学应让他们说说这一步在做什么以及为什么这样做，体会利用等式性质化简方程的意图。

过去教材强调把ax看成“一个数”，目的是把ax作为被减数，应用加、减法中各部分的关系解方程。

而新课程应用等式性质解方程，突出的是化繁为简的思想与方法。

解ax±bx＝c这样的方程，一般应用运算律和相应的计算化简方程。

例9中方程的左边是x＋3x可以改写成（1＋3）x，方程x＋3x＝290可以化简成4x＝290。

这种改写在五年级上册用字母表示数时已经教学，现在只要计算1＋3就能实现化简原来方程的目的。

教学时还是应让学生说说这样改写的依据是什么、目的是什么。

解ax±b×c＝d这样的方程，一般按运算顺序先算出b×c的积，原来的方程就变成像例8里的方程，也就实现了化新为旧。

例10列出的方程3x＋95×3＝540，算出95×3的积，原方程就化简成3x＋285＝540。

通过上面的分析，应该看到解稍复杂的方程是很重要的知识与技能。

如果不能正确地解稍复杂方程，就不能解答较复杂的实际问题。

而解稍复杂的方程，如果能抓住化繁为简的转化思想，学生就能主动调整自己的认知结构，迅速形成解方程的能力。

2．各道例题采用不同的教学思路，鼓励学生继续解转化后的方程。

例8让学生接着解2x＝86，求出x的值。

这是因为他们具有解这种方程的能力。

教材这样安排，目的是把转化思想与方法放在突出的位置上，促进新旧知识的衔接，有效地使用教学资源。

检验方程的解已经在前面教过，例8要求学生检验，不仅是培养良好的习惯，还要通过“结果是正确的”，确认解稍复杂方程的“策略与方法是正确的”。

例9把原来的方程x＋3x＝290化简成4x＝290以后，安排学生先算出x的值，再算出3x表示的值。

这是因为72.5米和217.5米是实际问题的两个答案。

以前列方程解决的实际问题，一般只有一个答案，现在遇到有两个答案的情况，需要完整呈现解题过程，在解题步骤和书写格式上作出必要的规范。

另外，这道例题在检验上也有拓展。

列方程解决实际问题，不只是检验解方程是否正确，还要检验列出的方程是不是符合现实的数量关系。

由于答案是通过解方程得到的，而方程是依据实际问题的数量关系列出的，所以人们通常把答案直接放到实际问题的数量关系里检验。

这道例题给出的数量关系有两个，分别是颐和园占地（即陆地和水面一共占地）290公顷、水面面积是陆地面积的3倍。

解题得到的水面面积和陆地面积符合这两个数量关系，才是正确的。

教材就这样的检验，给出引导，要求在检验结果正确以后，再填写答句。

例10把列出的方程3x＋95×3＝540改写成3x＋285＝540。

这就把原方程化归成了例8教学的方程，把继续解方程和检验方程的解留给学生完成是很自然的安排。

如果根据“速度和×时间＝总路程”，列出（x ＋ 95)×3＝540，则又是一种未见过的方程。

可以让学生尝试着解这个方程，应用等式性质，等号两边同
时除以3，先算出x＋95 ＝180，再得出未知数的值。

这样做，仍然应突出化简方程的思想方法。

3．适量安排解方程的练习。

前面说过，例8～例10都有列方程和解方程两个教学内容，列出的方程必须正确求解，才可能得到正确的答案。

因此，教材把解稍复杂的方程作为一个重要知识，安排必要的练习。

练习二从第5题起配合例8的教学，第5题和第9题都是解方程，其中有像ax±b＝c的方程，与例题的方程是一样的。

还有像x±a ±b＝c和ax÷2＝b的方程，用于解决加减两步计算的实际问题（如第11题）以及已知三角形的面积求高或底的问题（如第10题）。

解这些方程，只要利用等式性质都能逐步化简，直到求出方程的解。

练习三第1、4、8题都是解方程的习题，编排的方程与例9、例10的方程差不多。

学生解“ax±bx＝c、ax±b×c＝d”这些方程应该比较顺手。

（六）列方程解决较复杂实际问题的关键——找到相等关系
某个实际问题为什么选择列方程解答，或者为什么选择列算式解答，经常是由数量关系的特点所决定的。

列算式解决实际问题，分析数量关系通常把已知条件作为一个方面，所求问题作为另一方面，着重沟通未知数量与已知数量的关系，利用已知数量组成的算式，解决所求问题。

列方程的相等关系，把已知数量与未知数量“平等”联系起来，共同组成反映实际问题数量关系的等式。

学生在列方程解答一步计算的问题时，已经初步有了这方面的体会，还要通过列方程解答两、三步计算的实际问题，进一步加强对相等关系的认识，提高寻找并利用相等关系的能力。

1．灵活开展寻找相等关系的思维活动。

较复杂的问题之所以复杂，在于它的数量关系复杂。

例8里大雁塔的高度“比小雁塔高度的2倍少22米”，其中既有倍数关系，又有相差关系，是两种关系的有序复合。

例9里给出两个并列的条件：颐和园水面面积与陆地面积一共290公顷、水面面积大约是陆地面积的3倍，从“和”与“倍”两个角度分别揭示水面面积和陆地面积的关系。

例10是四年级教学的相遇问题的逆向变式，涉及的数量比较多，包括客车行驶的速度与时间、货车行驶的速度与时间、两车行驶的总路程等。

因此，寻找复杂问题的相等关系，要仔细梳理数量关系，分清事件发生与发展过程的主次和先后。

寻找相等关系没有固定的思维模式，三、四年级教学的解决问题策略，仍然是探索相等关系的可用资源。

可以选择适宜的形式整理实际问题里的数学信息，正确理解题意。

可以利用从条件向问题或者从问题向条件推理的经验，分析数量之间的关系。

教材从实际问题的结构特点和学生的思维发展水平出发，灵活设计寻找相等关系的教学活动。

学生已经能够解决类似红花有10朵，求比红花朵数的2倍少4朵是多少朵的问题，对“几倍少几”这样的数量关系已有初步的理解。

因此，例8要求学生找出“大雁塔与小雁塔高度之间有什么相等关系”，可以利用已有的倍数概念和相差概念，通过推理把“比小雁塔高度的2倍少22米”改写成数学式子“小雁塔
高度×2－22”，从而得到相等关系“小雁塔高度×2－22＝大雁塔的高度”。

为了突出相等关系，教材在它上面加了色块，让教学注意相等关系是怎样找到、怎样表达的，加强得出相等关系的过程。

学生申有可能出现“小雁塔高度×2－大雁塔高度＝22”这样的相等关系，也能列方程解题。

事实上，人们大多喜欢依据“小雁塔高度×2－22＝大雁塔的高度”列方程解决问题。

教学可以让学生知道应用“小雁塔高度×2－大雁塔高度＝22”也能列出方程，但不必在相等关系的举一反三上花费力气。

应提倡根据相等关系“小雁塔高度×2－22＝大雁塔高度”，确定列方程解决问题。

例9列方程求颐和园的陆地面积与水面面积，设哪一个数量为x，另一个数量怎样表示，涉及如何合理利用两个并列的已知条件。

为此，教材选择了线段图。

通常先面表示一倍数（陆地面积）的线段，再画表示三倍数（水面面积）的线段，显然设陆地面积为l公顷，把水面面积表示为3x公顷是很自然的。

再根据陆地面积与水面面积相加的和是颐和园的总面积，就能找到解决这个问题的相等关系。

例10是相遇问题。

四年级初步教学相遇问题时，曾经把画示意图作为解决问题的一种策略。

学生已经能画线段图表示相遇问题的题意，也能理解相遇问题里的数量关系，会用一方行的路程加另一方行的路程求得双方行的总路程，或者用双方的速度和乘同时运动的时间求得两方行的总路程。

教材充分利用这些教学资源，仍然让学生面线段图表示题意，既感受现在求一方速度的问题与原来求双方路程和问题的不同，又体现现在问题与原来问题在运动方式和数量关系上的相同点。

从而利用求“路程和”的方法作为解决现在问题的相等关系。

2．加强写出含有字母式子的练习，进一步把握数量关系，为列方程打基础。

含有字母的式子是方程的重要组成部分，根据相等关系列方程，需要写出含有字母的式子。

学生是不是具有用字母表示数的意识，能不能写出含有字母的式子表示相关的数量，对列方程解决实际问题是至关重要的。

因此，教材加强这样的练习。

练习二第6题写出表示梨树棵数的式子3x＋15，表示鳊鱼尾数的式子4x－80，都是解答有关“几倍多几”或“几倍少几”等数量关系的实际问题所需要的基本技能。

安排这佯的练习，能进一步理解这些数量关系，养成顺着“梨树比桃树的3倍多15棵”“鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾”这些数量关系的表述进行思考，并转化成数学式子的习惯，从而选择最适宜的相等关系解决实际问题。

所以说，这道习题既是单项练习，也是思路引导。

例9后面的“练一练”第1题是配合例题的专项练习，要求根据黄花x朵和红花朵数是黄花的3倍，先想到红花有3x朵，然后用式子x＋3x（或4x）表示黄花和红花一共的朵数，用式子3x－x（或2x）表示红花比黄花多的朵数，发展按数量关系联想的能力。

联想到的含有字母的式子，正是列方程解答“和倍”或“差倍”问题的核心部分。

教材没有编排配合例10的单项练习，因为相遇问题的相等关系是两个积相加，与例9“和倍”问题有
些相似。

教学如有需要，也可以适量进行此类的练习。

如，一辆汽车每小时行驶90千米，一辆摩托车每小时行驶x千米。

两车分别从两地同时出发，相对而行，经过4小时相遇。

相遇时两车一共行驶多少千米？汽车比摩托车多行多少千米？
3．列方程解答有些变化的问题，拓展对相等关系的认识。

教材编排三道例题教学列方程解答两、三步计算的实际问题，学生不仅要能解答像例题那样的问题，还要能解答有些变化的问题，以达到小学阶段列方程解决实际问题的总体要求。

如练习二第10、11、14魉，练习三第6、7、11、12题等。

既然这些习题编排在练习里，就要尽量让学生独立解答。

当然给他们必要的帮助也是应该的。

对学生的帮助一般在两方面进行：一方面是帮助寻找相等关系。

如练习二第11题，可以鼓励学生整理条件与问题，得出邮票枚数变化的线索“原来的枚数十又收集的24枚＝送掉的30枚＋剩下52枚”。

练习二第14题可以通过列表或者画图，弄懂这张发票上购买了两种物品，一共用去25. 10元：一种是文件夹，单价3.50元，数量1个；另一种是墨水，单价不知道，数量12瓶。

上述的这些整理，有助于找到实际问题里的相等关系，有利于顺利列出方程。

教材希望这些实际问题能够打开学生的思路：如果已知两个数量的和或差是多少，这里的和或差往往就是解题可以利用的相等关系。

练习三第15题，学校舞蹈队为女同学购买上衣和裙子的问题，数量关系是（上衣价钱十裙子价钱）×购买套数＝一共用的钱。

已知一共用去1520元，求上衣价钱，或者求裙子价钱、购买套数，都可以根据这个相等关系列出方程。

另一方面是进一步体会什么时候列方程、什么时候列算式解决问题。

如练习二第10题，根据三角形的面积公式，如果已知三角形的底和高，可以列算式求面积；如果已知三角形的面积和底（或高）时，可以列方程求高（或底）。

第16题给出了华氏温度与摄氏温度的换算公式，把已知的摄氏温度换算成华氏温度，只要列算式计算；把已知的华氏温度换算成摄氏温度，列方程解答比较方便。

学生一旦获得这些体会，就不会把列算式与列方程绝然对立，而是把两种解题形式有机联系、灵活使用，形成解决问题的能力。

值得一提的还有单元《整理与练习》里的“探索与实践”，设计了在画图操作、探索规律、猜数游戏等活动中应用本单元教学的方程知识。

第13题把给定的一条线段分成两段，使其中一段的长度是另一段的4倍。

这是一个“和倍”问题，给定线段的长度是已知的“和”，可以测量得到。

解决这个分割线段的问题，应该先列方程求出分成的两段各长多少厘米，然后面图。

第14题连续的三个自然数中，每相邻两个数相差1，如果中间的数是x，那么它前面的数是x－l，后面的数是x＋1；这三个数的和就是（x－1）＋x＋(x＋1)，化简得到3x。

如果三个连续自然数的和是99，很容易先求得中间那个数是33，再求得相邻的两个数分别是32和34。

写出字母表示的三个相邻自然数，要进行比较深入的数学思考，分析能力和概括能力都能得到很好的锻炼。