【苏教版】数学八年级下学期《期中检测试题》附答案

苏教版八年级下学期数学期中测试卷
一、选择题
1. 随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.
2. 若分式
32x x +-的值为零，则（） A. 3x = B. 2x =- C. 2x = D. 3x =-
3. 已知点123(1,),(2,),(3,)A y B y C y -都在反比例函数2y x
=-
的图像上，则( ) A. 123y y y <<
B. 132y y y >>
C. 123y y y >>
D. 231y y y >> 4. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件”所摸3个球中必含有红球”是（ ）
A. 不确定事件
B. 必然事件
C. 不可能事件
D. 随机事件 5. 甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是 A. 120100x x 10=- B. 120100x x 10=+ C. 120100x 10x =- D. 120100x 10x
=+ 6. 若将a b ab
+ （a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的19
C. 不变
D. 缩小为原来的13
7. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝25°，以点C 为旋转中心顺时针旋转后得到△A ′B ′C ，且点A 在边A ′B ′上，则旋转角的度数为（ ）
A. 65°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
8. 下列判断正确的是( )
A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9. 如图，P 为边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上任一点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF ，给出以下4个结论: ①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③EF 最短长度为2；④若∠BAP =30°时，则EF 的长度为2．其中结论正确的有（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
10. 如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x
=
(x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( )
A. 92
B. 74
C. 245
D. 12
二、填空题
11. 当x_______时，分式2
3x x -有意义．
12. 设函数
2
y
x
=与1
y x
=-的图象的交点坐标为(
,)
a b，则
11
a b
-的值为__________.
13. 若关于x的分式方程
3
1
1
x a
x x
-
-=
-
无解，则a=________．
14. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，则菱形的面积为____．
15. 已知关于x的分式方程1
11
x k k
x x
+
-=
+-
的解为负数，则k的取值范围是_______.
16. 如图，菱形ABCD中，P为AB中点，∠A＝60°，折叠菱形ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为_____°．
17. 两个反比例函数
k
y
x
=和
1
y
x
=在第一象限内的图象如图所示，点P在
k
y
x
=的图象上，PC⊥x轴于点C，交
1
y
x
=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交
1
y
x
=的图象于点B，当点P在
k
y
x
=的图象上运动时，以下结论: ①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是__ ．
18. 如图，正方形ABCD
的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为_____．
三、解答题
19. 化简:（1）
21
11
a
a a
-
++
；（2）
2
2
11
1
2
--
-÷
+
a a
a a a
．
20. 解方程: 2241
2
4x x x +-=-- 21. 先化简，再求值: 22211122x x x x x ++⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭
[其中，3x =] 22. 2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题:
频率分布表
分数段
频数 频率 50.5～60.5
16 0.08 60.5～70.5
40 0.2 70.5～80.5
50 0.25 80.5～90.5
m 0.5 90.5～100.5
24 n
（１）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中: m= ，n ；
（２）补全频数分布直方图；
（３）若成绩在70分以下（含70分）学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意
识不强的学生约有多少人？
23. 如图在平面直角坐标系xOy 中，函数14(0)y x x
=>的图象与一次函数2y kx k =-的图象的交点为(,2)A m ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足PAB ∆的面积是6，求点P 的坐标．
24. 在矩形ABCD 中，将点A 翻折到对角线BD 上的点M 处，折痕BE 交AD 于点E ．将点C 翻折到对角线BD 上的点N 处，折痕DF 交BC 于点F ．
（1）求证: 四边形BFDE 为平行四边形；
（2）若四边形BFDE 为菱形，且AB ＝2，求BC 的长．
25. 如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．
（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；
（2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．
26. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x （元）与日销售量y （个）之间有如下关系:
日销售单价x （元） 3 4 5 6
日销售量y
（个）
20
15 12 10 （1）猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；
（2）设经营此贺卡的
销售利润为W 元，求出W 与x 之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x 定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
27. 如图，直线112
l y x b +：＝-分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，与直线26l y kx ：＝﹣交于点C （4，2）． （1）点A 坐标为（ ， ），B 为（ ， ）；
（2）在线段BC 上有一点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线2l 于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，四边形OBEF 是平行四边形；
（3）若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使得P Q A B 、、、四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 28. 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .
(1)如图,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；
(2)如图,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,
①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.
②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,写出a 与b 满足的数量关系式.(直接写出答案，不要求证明)
答案与解析
一、选择题
1. 随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是( ) A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】 根据中心对称图形等概念即可解答.
【详解】将图形围绕某一点旋转180°之后能与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形. 选项A 为中心对称图形；
选项B 既不是中心对称图形也不是轴对称图形；
选项C 、D 为轴对称图形.
故选A.
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟知将图形围绕某一点旋转180°之后能与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形是解决问题的关键.
2. 若分式
32
x x +-的值为零，则（） A. 3x =
B. 2x =-
C. 2x =
D. 3x =-
【答案】D
【解析】
【分析】 分式的值为零: 分子为零，且分母不为零．
【详解】解: 根据题意，得
x +3＝0，x ﹣2≠0，
解得，x ＝﹣3，x ≠2；
故选: D ．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件: （1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3. 已知点123(1,),(2,),(3,)A y B y C y -都在反比例函数2y x =-
的图像上，则( ) A. 123y y y <<
B. 132y y y >>
C. 123y y y >>
D. 231y y y >> 【答案】B
【解析】
由题意得: 将每自变量代入函数解析式即可，y 1=2，y 2=-1，y 3=-
23． 故选B .
4. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件”所摸3个球中必含有红球”是（ ）
A. 不确定事件
B. 必然事件
C. 不可能事件
D. 随机事件
【答案】B
【解析】
【分析】 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解: ∵盒子中装有3个红球，2个黄球，
∴从中随机摸出3个小球，必定含有红球，则事件”所摸3个球中必含红球”是必然事件，
故选B ．
【点睛】能区分必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解答本题的关键．
5. 甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是 A. 120100x x 10=- B. 120100x x 10=+ C. 120100x 10x =- D. 120100x 10x
=+ 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，
所以，120100
x x10
=
-
.
故选A.
6. 若将a b
ab
+
（a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的3倍，则分式的值（）
A. 扩大为原来的3倍
B. 缩小为原来的1 9
C. 不变
D. 缩小为原来的1 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质，可得答案
【详解】将分式a b
ab
+
(a,b均为正数)中a,b的值分别扩大为原来的3倍,则分式的值缩小为原来的
1
3
故选D.
【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握运算法则是解题关键.
7. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为（）
A. 65°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用互余计算出∠BAC＝65°，再利用旋转的性质得CA＝CA′，∠A′＝∠A′AC＝65°，∠ACA′等于旋转角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACA′的度数即可．
【详解】解: ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，
∴∠BAC＝65°，
∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，
∴CA＝CA′，∠A′＝∠BAC＝65°，∠ACA′等于旋转角，
∴∠CAA′＝∠A′＝65°，
∴∠ACA′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
即旋转角的度数为50°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质: 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8. 下列判断正确的是( )
A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形、矩形、正方形的判定方法解答即可.
【详解】选项A，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选项A错误；
选项B，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，选项B错误；
选项C，一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形，选项C正确；
选项D，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，选项D错误.
故选C.
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定方法，熟知平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决本题的关键.
9. 如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出以下4个结论: ①AP=EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为2；④若∠BAP=30°时，则EF 的长度为2．其中结论正确的有（）
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】
连接PC ，可证得△ABP ≌△CBP ，结合矩形的性质，可证得PA ＝EF ，国判断①；延长AP 交BC 于点G ，可证得AP ⊥EF ，可判断②；求得AP 的最小值即可求得EF 的最短长度，可判断③；当点P 在点B 或点D 时，AP 有最大值2，则可判断④；可求得答案．
【详解】解:
①如图，连接PC ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，
在△ABP 和△CBP 中
AB CB ABP CBP BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABP ≌△CBP （SAS ），
∴AP ＝PC ，
∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，且∠FCE ＝90°，
∴四边形PECF 为矩形，
∴PC ＝EF ，
∴AP ＝EF ，故①正确；
②延长AP 交BC 于点G ，
由①可得∠PCE ＝∠PFE ＝∠BAP ，
∵PE ∥AB ，
∴∠EPG ＝∠BAP ，
∴∠EPG ＝∠PFE ，
∵∠EPF ＝90°，
∴∠EPG+∠PEF ＝∠PEG+∠PFE ＝90°，
∴AP ⊥EF ，故②正确；
③当AP ⊥BD 时，AP
，此时P 为BD 的中点，
由①可知EF ＝AP ，
∴EF
④当点P 在点B 或点D 位置时，AP ＝AB ＝2，
∴EF ＝AP≤2，
∴当∠BAP ＝30°时，AP ＜2，
即EF 的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故选A ．
【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的性质，构造三角形全等证得AP ＝EF 是解题的关键． 10. 如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x
(x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( )
A. 92
B. 74
C. 245
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （
4a ，b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.
【详解】∵四边形OCBA 是矩形，
∴AB=OC ，OA=BC ，
设B 点坐标为（a ，b ），
∵BD=3AD ，
∴D （4
a ，
b ），
∵点D ，E 在反比例函数的图象上， ∴
4
ab =k ， ∴E （a ， k a ）， ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-
12•4ab -12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=245
， 故选: C
【点睛】考核知识点: 反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
二、填空题
11. 当x_______时，分式
23x x -有意义． 【答案】≠0
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零，求出x 的值；
【详解】解: 根据分式有意义的条件可得x 2≠0，解得x ≠0；
故答案为: ≠0
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
12. 设函数2y x =
与1y x =-的图象的交点坐标为(,)a b ，则11a b -的值为__________. 【答案】−
12. 【解析】
【分析】
把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a ，b 的解，整理求得
11a b -的值即可． 【详解】∵函数2y x =
与y=x−1的图象的交点坐标为(a,b)， ∴b=
2a ，b=a−1， ∴2a
=a−1， a 2−a−2=0，
(a−2)(a+1)=0，
解得a=2或a=−1，
∴b=1或b=−2， ∴11a b
-的值为−12. 故答案为−
12. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程
13. 若关于x 的分式方程
311x a x x --=-无解，则a =________． 【答案】-2或1
【解析】
【分析】
分式方程无解分为两种可能，一个是分式方程有增根造成无解，另一个是去分母后
的整式方程无解，而使得分式方程无解，根据两种情况分别求a 值即可.
【详解】解: 根据解分式方程的步骤去分母，整理得: 311x a x x
--=- ，解得: ()23a x += ， 当2=0a +时，即2a =-时，整式方程无解，则原分式方程无解；
当20a +≠时，当x=0或x=1时，分母为零，分式方程有增根，则分式方程无解无解，
则分别代入得，()213a +⋅=，()203a +=（无解）,
解得a=1
故答案为-2或1
【点睛】本题考查了分式方程的无解的情况，讨论分式方程有增根和整式方程无解是解题关键． 14. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，则菱形的面积为____．
【答案】24
【解析】
【分析】
菱形的对角线互相垂直平分，四边相等，可求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】∵菱形的边长为5，一条对角线长为8
∴另一条对角线的长6== ∴菱形的面积168242
=⨯⨯= 故答案为: 24．
【点睛】本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的性质、菱形的面积公式是解题的关键．
15. 已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是_______. 【答案】12
k >
且1k ≠． 【解析】
试题分析: 分式方程去分母得: ()()()()211121211x k x k x x x k k +--+=-⇒=-+-+≠±. ∵分式方程解为负数，∴12102k k
-+⇒. 由211k -+≠±得0k ≠和1k ≠
∴k 的取值范围是12
k >且1k ≠． 考点: 1.分式方程的解；2.分式有意义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．
16. 如图，菱形ABCD 中，P 为AB 中点，∠A ＝60°，折叠菱形ABCD ，使点C 落在DP 所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则∠DEC 的大小为_____°．
【答案】75
【解析】
【分析】
连接BD ，由菱形的性质及∠A=60°
,得到三角形ABD 为等边三角形，P 为AB 的中点，利用三线合一得到DP 为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解: 如图，连接BD ，
∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，∠ADC ＝120°，∠C ＝60°，
∵P 为AB 的中点，
∴DP 为∠ADB 的平分线，即∠ADP ＝∠BDP ＝30°，
∴∠PDC ＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故答案为: 75°．
【点睛】此题考查翻折变换(折叠问题)和菱形的性质，解题关键在于作辅助线．
17. 两个反比例函数
k
y
x
=和
1
y
x
=在第一象限内的图象如图所示，点P在
k
y
x
=的图象上，PC⊥x轴于点
C，交
1
y
x
=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交
1
y
x
=的图象于点B，当点P在
k
y
x
=的图象上运动时，
以下结论: ①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是__．
【答案】①②④．
【解析】
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为
1
2
．
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化．
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB．
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．正确，当点A是PC的中点时，k=2，则此时点B也一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④
18. 如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为_____．
【答案】2.
【解析】
试题分析: 过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，
∴2
，即DQ+PQ2．
考点: 1.轴对称-最短路线问题；2.正方形的性质．
三、解答题
19. 化简:（1）2111a a a -++； （2）221112---÷+a a a a a
． 【答案】（1）a -1，（2）11
a -
+. 【解析】
【分析】
（1）根据同分母分式加减运算法则计算后约分即可得．
（2）先计算分式的除法，再计算减法即可得． 【详解】解: （1）原式＝211
a a -+ ＝()()111
a a a +-+ ＝a ﹣1；
（2）原式＝1﹣()()()
2111a a a a a a +-⋅+- ＝1﹣
21
a a ++ ＝11a a ++﹣21
a a ++ ＝﹣11a +． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 解方程:
224124
x x x +-=-- 【答案】-1
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得: (x+2)2-4=x 2-4，
解得: x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21. 先化简，再求值: 22211122x x x x x ++⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭
[
其中，x =
【答案】33
【解析】
分析:
先化简，再把x =
.
详解: ()()2121=.22
x x x x x ++-÷++原式 ()()212·21
x x x x x ++=+-， 1.x x
+= 当
原式
= 点睛: 本题考查了分式的化简求值.
22. 2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题:
频率分布表
90.5～100.5 24 n
（１）这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，其中: m= ，n ；
（２）补全频数分布直方图；
（３）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
【答案】解: （１）200；70；0.12．
（２）由（１）知，80.5～90.5分数段的人数m =70，据此补全频数分布直方图如下:
（３）∵
1640
1500420
200
+
⨯=，∴该校安全意识不强的学生约有420人．
【解析】
（１）由分数段的50.5～60.5频数、频率可求样本总数: 160.08200
÷=；从而得m2000.3570
=⨯=，n242000.12
=÷=．
（2）根据m =70补全频数分布直方图．
（3）求出样本中成绩在70分以下（含70分）的百分比，用样本估计总体．
23. 如图在平面直角坐标系xOy中，函数1
4
(0)
y x
x
=>的图象与一次函数
2
y kx k
=-的图象的交点为
(,2)A m ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足PAB ∆的面积是6，求点P 的坐标．
【答案】（1）22y x =-；（2）(4,0)，(2,0)-．
【解析】
【分析】
（1）将点A 的坐标代入反比例函数解析式中即可求出m ，然后将点A 的坐标代入一次函数解析式中即可求出结论；
（2）将三角形以x 轴为分界线，分为两个三角形，先求出点C 和点B 的坐标，再把两个三角形的面积相加即可求出CP 的长，从而求出结论．
【详解】（1）根据题意，将点(,2)A m 代入4y x =
， 得: 42m
=， 解得: 2m =，
即点(2,2)A ，
将点(2,2)A 代入y kx k =-，得: 22k k =-，
解得: 2k =，
∴一次函数的解析式为22y x =-；
（2）如图，
将y=0代入22y x =-，解得x=1；将x=0代入22y x =-，解得y=-2；
∴一次函数22y x =-与x 轴的交点为(1,0)C ，与y 轴的交点为(0,2)B -，
ABP ACP BPC S S S ∆∆∆=+， ∴1122622
CP CP ⨯+⨯=， 解得3CP =，
则P 点坐标为(4,0)，(2,0)-．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．
24. 在矩形ABCD 中，将点A 翻折到对角线BD 上的点M 处，折痕BE 交AD 于点E ．将点C 翻折到对角线BD 上的点N 处，折痕DF 交BC 于点F ．
（1）求证: 四边形BFDE 为平行四边形；
（2）若四边形BFDE 为菱形，且AB ＝2，求BC 的长．
【答案】（1）证△ABE ≌△CDF ，推出AE=CF ，求出DE=BF ，DE ∥BF ，根据平行四边形判定推出即可． （2）23【解析】
【分析】
分析: （1）证△ABE ≌△CDF ，推出AE=CF ，求出DE=BF ，DE ∥BF ，根据平行四边形判定推出即可．
（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．
【详解】解: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，
∴∠ABE=∠EBD=1
2
∠ABD，
∠CDF=
1
2
∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，∵
A C
{AB CD
ABE CDF
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴AE=CF．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC．
∴DE=BF，DE∥BF．∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）∵四边形BFDE为为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°．∴∠ABE=30°．
∵∠A=90°，AB=2，∴
23
AE AB tan ABE
=⋅∠=，
43
BE2AE
==．∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=
2343
23
+=．
25. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
【答案】（1）菱形，理由略
（2）24
【解析】
【分析】
【详解】解: （1）四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．（2）
∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积=6×8=48，
∵S△ODC=1
4
S矩形ABCD=12，
∴四边形OCED的面积=2S△ODC=24.
26. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系:
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（2）设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）
60
y
x
=（x＞0），见解析，（2）
120
60
w
x
=-；（3）当日销售单价x定为10元/个时，才能获
得最大日销售利润，最大利润是48元．【解析】
【分析】
（1）由表知xy＝60，据此可得y＝60
x
（x＞0），画出函数图象可得；
（2）根据总利润＝每个贺卡的利润×贺卡的日销售数量可得函数解析式；（3）根据反比例函数的性质求解可得．
【详解】解: （1）由表可知，xy＝60，
∴y＝60
x
（x＞0），
函数图象如下:
（2）根据题意，得:
W ＝（x ﹣2）•y
＝（x ﹣2）•
60x ＝60﹣120x
； （3）∵x≤10， ∴﹣
120x
≤﹣12， 则60﹣120x ≤48， 即当x ＝10时，W 取得最大值，最大值为48元，
答: 当日销售单价x 定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是48元．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质、根据题意确定相等关系并据此列出函数解析式．
27. 如图，直线112
l y x b ：＝-分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，与直线26l y kx ：＝﹣交于点C （4，2）． （1）点A 坐标为（ ， ），B 为（ ， ）；
（2）在线段BC 上有一点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线2l 于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，四边形OBEF 是平行四边形；
（3）若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使得P Q A B 、、、四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（8，0）；（0，4）．（2）故当125
m ＝时，四边形OBEF 是平行四边形；（3）Q 点坐标为(5,4)-、(45,4)、(0,4)-或(5,4)．
【解析】
【分析】
（1）由点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线l 1的解析式，再分别令直线1l 的解析式中00x y ＝、＝求出对应的y 、x 值，即可得出点A 、B 的坐标；
（2）由点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线2l 的解析式，结合点E 的横坐标即可得出点E 、F 的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）分AB 为边和AB 为对角线两种情况讨论．当AB 为边时，根据菱形的性质找出点P 的坐标，结合A 、B 的坐标即可得出点Q 的坐标；当AB 为对角线时，根据三角形相似找出点P 的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点Q 的坐标．综上即可得出结论．
【详解】解: （1）将点C （4，2）代入12y x b -
+＝中， 得: 22b ＝-+，解得: 4b =，
∴直线1l 为142y x -
+＝． 令142
y x -+＝中0x =，则4y =， ∴B （0，4）； 令142y x -
+＝中0y =，则8x =， ∴A （8，0）．
（2）∵点C （4，2）是直线26l y kx
：＝﹣上的点， ∴246k ＝-，解得: 2k ＝，
∴直线2l 为26y x
＝﹣．
∵点E 的横坐标为m 0m 4≤≤（）
， ∴1E m m 4F m 2m 62
（，
），（，）-+-， ∴154261022EF m m m -+---＝（）＝． ∵四边形OBEF 是平行四边形，
∴BO EF ＝，即54102m -＝
， 解得: 125
m ＝． 故当125
m ＝时，四边形OBEF 是平行四边形． （3）假设存在．
以P Q A B 、、、为顶点的菱形分两种情况:
①以AB 为边，如图1所示．
∵点A （8，0），B （0，4），
∴AB ＝．
∵以P Q A B 、、、为顶点的四边形为菱形，
∴AP AB ＝或BP BA ＝．
当AP AB ＝时，P 8-（）或8+（）
； 当BP BA ＝时，点P （﹣8，0）．
当P 8-（）时，Q 88,04-+（），即4（）
-；
当P （8+）时，Q 88,04++（），即4（）
； 当P 80（，）-时，Q 880004-+-+-（，），即04-（，）
． ②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．
∵点A 80,B(04（，），），
∴1M 42,2
AM AB （，
）＝＝ ∵PM AB ⊥， ∴90PMA BOA ∠∠︒＝＝，
∴AMP AOB ∽，
∴AP AM AB OA =， ∴5AP ＝，
∴点850P （，）
-，即（3，0）． ∵以P Q A B 、、、为顶点的四边形为菱形，
∴点803040Q +-+-（，），即（5，4）．
综上可知: 若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P Q A B 、、、四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-、()
45,4、()0,4-或()5,4．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想.解题的关键是: （1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）找出关于m 的一元一次方程；（3）分AB 为边或对角线考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，充分利用平行四边形和菱形的性质是解题的关键．
28. 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .
(1)如图,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；
(2)如图,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,
①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.
②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,写出a 与b 满足的数量关系式.(直接写出答案，不要求证明)
【答案】（1）证明略，10cm AF =（2） ①32
t =
秒. ②x 与y 满足的函数关系式是24y x =- 【解析】
【分析】 （1）先证明四边形AFCE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF 的长；
（2）分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
【详解】（1）证明:①∵四边形ABCD 是矩形
∴AD ∥BC
∴AEF CFE ∠=∠,AEF CFE ∠=∠
∵EF 垂直平分AC ，垂足为O
∴OA OC =
∴AOE ∆≌COF ∆
∴OE OF =
∴四边形AFCE 为平行四边形
又∵EF AC ⊥
∴四边形AFCE 为菱形
②设菱形的边长AF CF xcm ==，则(18)cm BF x =-
在Rt ABF ∆中，2226(18)x x +-=
解得10x =
∴10cm AF =
（2）①显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形
∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA =
∵点P 的速度为每秒10cm ，点Q 的速度为每秒6cm ，运动时间为t 秒。