(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(有答案解析)(1)

一、选择题
1．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为
4
5
，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ．
112
125
B ．
80125
C ．
113
125
D ．
124
125
2．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为
2
3
，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ．
2027
B ．
5281
C ．
1627
D ．
79
3．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且1
4
pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E ξ=（ ） A ．1
B ．
45
C ．75
D ．2
5．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（ ） A ．10.60.4k -⨯ B ．10.240.76k -⨯
C ．10.40.6k -⨯
D ．10.760.24k -⨯
6．将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX 等于
( ) A ．
6227
B ．
73
C ．
6427
D ．
6527
7．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是 A ．4,4E D ξξ=-= B ．3,3E D ξξ=-= C ．4,4E D ξξ=-=-
D ．3,4
E D ξξ=-=
8．根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为
4
5
，连续2天有客人入
住的概率为3
5
,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
35
D ．
34
9．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45．假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（ ） A ．0.8
B ．0.75
C ．0.6
D ．0.25
10．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1
2
，则小球落A 袋中的概率为（ ）．
A ．
18
B ．
14
C ．38
D ．
34
11．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()
221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=
B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ=
12．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~(5)4
X B ，，则(21)E X +=
A ．
54
B ．
72
C ．3
D ．
52
二、填空题
13．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：
*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，
该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________.
14．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______.
15．在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子，其中有16颗红棋子，16棵绿棋子．某人无放回地依次从中摸出1棵棋子，则第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是_________．
16．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____.
17．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1
3
，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．
18．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元． 19．已知随机变量2~(1,)N ξσ，且(1)0.1P ξ≤-=，(23)0.15P ξ≤≤=，则
(02)P ξ≤≤=_______.
20．已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6,)2
B ξ，则(23)E ξ+=________，
(23)D ξ+=________. 三、解答题
21．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.
（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；
（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；
（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.
22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()
2
,N μσ，其中μ近似
为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． ①利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间
()187.8,212.2的产品件数．已知X 服从二项分布(),B n p ，利用①的结果，求()E X ．
15012.2若()
2
,Z N μσ~则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
()220.9544P Z μσμσ-<<+=．
23．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为
2
3
，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；
（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.
24．如图，直角坐标系中，圆的方程为22
13131,(1,0),,,,222
2x y A B C ⎛⎫⎛⎫
+=-
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为不为3的倍数，则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为
(),(),(),n n n P A P B P C 例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为
111()0,()3P A P B ==，1
2
()3
P C =.
（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；
（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的正弦值弦值记为随机变量n X ，求5X 的分布列和数学期望；
25．为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．
（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩优良的人数，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．
26．已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学
生材料初审合格的概率分别是
13，12，14；面试合格的概率分别是1
2，13，23
.
（1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；
（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】
解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，
每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为4
5
，且各次答对与否相互独立，
则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112
()()()555125
P C =+=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2．A
解析：A 【分析】
比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】
比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.
所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为
432
32432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】
本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.
3．C
解析：C 【分析】
根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则
()()12D D ξξ>等价于()()101101p
p q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这
两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】
由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于
()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.
若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()2
11124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故
1p q -<，
故有1122p q ->-.若12q <，则22
1122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有
11022p q ->->，则2
2
1122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2
2
1122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.
若()()11p p q q -<-，则2
2
1122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，又因为
()()1114p p q q pq -<-≤
<，1p q -<，即1122p q ->-.若1
02
p -≤，则与22
1122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由22
1122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.
故选：C
本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
随机变量随机ξ的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】
随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，
P （ξ=0）30423615C C C ==,()214236315C C P C ξ===, ()12423
61
25
C C P C ξ===, 所有随机变量ξ的分布列为：
所以ξ的期望()0121555
E ξ=⨯+⨯+⨯= ,故选A ． 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】
由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次甲投中篮球，而乙前1k -次没有投中，甲前1k -次也没有投中或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球，根据公式写出结果． 【详解】
甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，
∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，
甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次投中篮球，而甲与乙前1k -次没有投中，或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球． 根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第k 次投中的概率：1110.40.60.40.240.4k k k ---⨯⨯=⨯；
第k 次甲不中的情况应是10.40.60.6k k -⨯⨯，
故总的情况是1110.240.40.240.60.60.240.76k k k ---⨯+⨯⨯=⨯．
【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解X k =的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．
6．D
解析：D 【分析】
本道题分别计算X=1,2,3对应的概率，然后计算数学期望，即可． 【详解】
()()()2132221343242344
1141,2327327C C C A C C C P X P X +======, ()234344
339
C A P X ===
列表：
所以数学期望1232727927
EX =⋅+⋅+⋅=，故选D ． 【点睛】
本道题考查了数学期望的计算方法，较容易．
7．D
解析：D 【解析】
分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()2
14,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．D
解析：D 【分析】
首先设出所求的概率为P ，根据题中的条件，可以列出P 所满足的等量关系式，从而求得
【详解】
设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有43
=
55
P⋅，解得3
4
P=，故选D.
【点睛】
该题考查的是有关两个事件同时发生的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，需要正确应用公式求得结果.
9．B
解析：B
【解析】
分析：由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于p的方程，解方程即可得答案．
详解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，
则“甲射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，未击中目标”为事件B，
则P（A）=3
5
，P（A）=1﹣
3
5
=
2
5
，P（B）=P，P（B）=1﹣P，
依题意得：3
5
×（1﹣p）+
2
5
×p=
9
20
，
解可得，p=3
4
，
故选：B．
点睛：求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
10．D
解析：D
【解析】
由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，
小球将落入A袋，所以
22
12
33
11113 ()C1C1
22224
P A
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅-+⋅⋅-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
故选D．
11．D
解析：D
【解析】
由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，
C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2，故D 不正确．故选D．12．B
解析：B 【解析】
因为115(5,)()5444X B E X ~⇒=⨯=，所以57
(21)2()12142
E X E X +=+=⨯+=，应选答案B 。

二、填空题
13．25【分析】先根据条件求出分布列和期望再根据购进17份比购进18份的利润的期望值大即可得出答案【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜表示当天的利润（单位：元）那么的分布列为 65 75 85
解析：25 【分析】
先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案． 【详解】
解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，1Y 表示当天的利润（单位：元），那么1Y 的分布列为
1Y 的数学期望()16575100100E Y =⨯
+⨯83001085100100
x x
--+⨯=， 若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，2Y 表示当天的利润（单位：元），那么2Y 的分布列为
2Y 的数学期望()26070100100E Y =⨯
+⨯167480+90100100x -+⨯⨯854020100
x
-=， ∵购进17份比购进18份的利润的期望值大， ∴
830010854020100100
x x
-->，且30x <，
解得2430x <<，又*x ∈N ， ∴
x 的最小值为25，
故答案为：25． 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
14．46【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分这两种情况是互斥的根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案【详解】解:设同学甲答对第i 个题为事件则且相互独立同学甲得分不低于300分对应于
解析：46 【分析】
得分不低于300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案． 【详解】
解:设“同学甲答对第i 个题”为事件(1,2,3)i A i =，则()10.8P A =，()20.6P A =，
()30.5P A =，且1A ，2A ，3A ，相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件
()()()123123123A A A A A A A A A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂发生，故所求概率为
()()()123123123P P A A A A A A A A A ⎡⎤=⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⎦⎣()()()123123123P A A A P A A A P A A A =⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂ ()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++
0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为0.46
【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题，注意对题目中出现的“不低于”的理解
15．【分析】根据无放回地依次从中摸出1棵棋子则第1次摸出红棋子的概率是第2次摸出绿棋子的概率是根据相互独立事件的概率公式即可得到结果【详解】由题意无放回地依次从中摸出1棵棋子则第1次摸出红棋子的概率是第
解析：831
【分析】
根据无放回地依次从中摸出1棵棋子，则第1次摸出红棋子的概率是16
32
，第2次摸出绿棋子的概率是16
31
，根据相互独立事件的概率公式，即可得到结果． 【详解】
由题意，无放回地依次从中摸出1棵棋子，则第1次摸出红棋子的概率是161322
= 第2次摸出绿棋子的概率是
1631
， 根据相互对立事件的概率公式可得，第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是
116823131
P =
⨯=. 故答案为
831
【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，其中解答中认真审题，合理计算第一次摸出红棋子和第二次摸出绿棋子的概率，再利用相互独立事件的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
16．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题
解析：5
6
【分析】
结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】
()112511665018C C P x C C ===，()111452116611
118C C C P x C C +===，()114111
66129
C C P x C C === 列表：
所以012181896
EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．
17．【分析】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验这是5次独立重复试验用n 次独立重复试验概率公式即可求出P(X ＝4)【详解】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验这是5次独立重复试验则有45所以故答案为【点 解析：
10
243
【分析】
一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，153X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
～，，用n 次独立重复试验概率公式即可求出P (X ＝4). 【详解】
一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，153X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
～，，
则有()55
1233k
k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，0123k =，
，，，4，5. 所以()4
1
45
1210433243
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭. 故答案为10
243
. 【点睛】
独立重复试验的特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；（2）每次试验的结果相互独立．
18．37(元)【解析】【分析】由已知条件直接求出数学期望即可求得结果【详解】一台机器生产某种产品如果生产出一件甲等品可获利50元生产出一件乙等品可获利30元生产出一件次品要赔20元已知这台机器生产出甲等
解析：37(元) 【解析】 【分析】
由已知条件直接求出数学期望，即可求得结果 【详解】
一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，
则这台机器每生产一件产品平均预期可获利： 50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)． 故答案为37(元) 【点睛】
本题主要考查了期望的实际运用，由已知条件，结合公式即可计算出结果，本题较为简单。

19．【解析】【分析】利用随机变量关于对称结合已知求出结果【详解】随机变量满足图象关于对称则故答案为【点睛】本题考查了正态分布由正态分布的对称性即可计算出结果 解析：0.5
【解析】 【分析】
利用随机变量()
2
~1N ξσ，，关于1x =对称，结合已知求出结果
【详解】
随机变量满足()
2
~1N ξσ，，
∴图象关于1x =对称
()10.1P ξ≤-=，()30.1P ξ∴≥=
则()()()120.5?23?30.50.150.10.25P P P ξξξ≤≤=-≤≤-≥=--= ()020.5P ξ∴≤≤=
故答案为0.5 【点睛】
本题考查了正态分布，由正态分布的对称性即可计算出结果
20．6【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出和再根据离散型随机变量的期望和方差的性质可求得结果【详解】∵随机变量服从二项分布所以则故答案为：9；6【点睛】关键点点睛：利用离散型随机变量的期望和方差的性
解析：6 【分析】
根据二项分布的期望和方差公式求出()E ξ和()D ξ，再根据离散型随机变量的期望和方差的性质可求得结果. 【详解】
∵ 随机变量ξ服从二项分布1
(6,)2
B ， 所以1()632E ξ=⨯
=，1132)622
(D ξ⨯⨯==， 则(23)2()32339E E ξξ+=+=⨯+=，
23
(23)2()462
D D ξξ+=⋅=⨯
=.. 故答案为：9；6. 【点睛】
关键点点睛：利用离散型随机变量的期望和方差的性质求解是解题关键.
三、解答题
21．（1）827；（2）19；（3）分布列答案见解析，数学期望：
148
81
. 【分析】
(1)参加甲游戏的概率P=
1
3
,设"这4个人中恰有k 人去参加甲游戏"为事件A k (k ＝0,1,2,3,4),可求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率()2P A ,计算即可得出结果; (2)由(1)可知求()()34P A P A +;
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,写出其对应的概率和分布列. 【详解】
依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为
13
，去乙地的概率为23.
设“这4个人中恰有i 人去甲地”为事件0,1
,2,3,4i A i =（），则4-41
2()()()3
3
i
i
i
i P A C =.
（1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为2
2
2
24128()()()3
3
27
P A C ==
（2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B ，则34B A A =⋃，
由于3A 与4A 互斥，故3
14
444
3
341
211()()()3
3
3
9
P
B P A P
C C A =++==（）（）（）. 所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为
19
. （3）ξ的所有可能的取值为0,2,4，由于1A 与3A
互斥，0A 与4A 互斥， 故28270P
P A ξ===（）（），1340
81
2P P A P A ξ==+=（）（）（）， 0417
81
4P P A P A ξ==+=
（）（）（）. 所以ξ的分布列为：
故17148
278018181
24E
ξ=⨯+⨯+⨯=（）. 【点睛】
本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型. 22．（Ⅰ）200,150（Ⅱ）①0.6826②68.26 【分析】
（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数均值、方差，均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值； （II ）①由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<可根据
()P Z μσμσ-<<+的概率计算；②由题意X 服从二项分布(100,0.6826)B ，根据
()E X np =计算即可．
【详解】
（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为
1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+
2300.02⨯200=，
2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．
（II ）①由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，
从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=． （ii ）由①可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B ~， 所以()1000.682668.26E X =⨯=． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图，平均数与方差，正态分布与二项分布，属于中档题. 23．（1）4
9
（2）详见解析 【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式直接计算概率即可；
（2）由题可知，随机变量m 服从超几何分布，所有可能取值为1，2，3；随机变量n 服从二项分布，所有可能取值为0，1，2，3；然后分别根据超几何分布、二项分布求概率的方式逐一求出每个m 、n 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望. 【详解】
（1）由题意知乙同学答对题目个数n ～B （3，
2
3
）， 乙同学答对2个题目的概率为P 2
2
1
3214()()3
39
C =⋅⋅=
. （2）甲同学答对题目个数m 的所有可能取值1，2，3，
P （m ＝1）12423615C C C ==，P （m ＝2）21423635C C C ==，P （m ＝3）343
61
5
C C ==. ∴m 的分布列为
数学期望E （m ）131
1232555
=⨯
+⨯+⨯=. 乙同学答对题目个数n ～B （3，2
3
），n 的所有可能取值为0，1，2，3， P （n ＝0）0
3
3211()()3
3
27C =⋅⋅=，P （n ＝1）1
123212()()339
C =⋅⋅=， P （n ＝2）49=
，P （n ＝3）3
3328()327
C =⋅=
. ∴n 的分布列为:
数学期望E （n ）124801232279927
=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查了n 次独立重复试验，二项分布，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题.
24．（1）当掷骰子二次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为441
,,999
；当掷骰子三次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为124
,,399；（2）分布列见解析，3 【分析】
（1）由已知可得，当2n ≥时，
11111212
()()(),()()()3333n n n n n n P A P C P B P B P A P C ----=+=+，
1112
()()()33
n n n P C P B P A --=+，取2,3n n ==，即可求解；
（2）根据已知5X 的所有可能取值为33
0、、555(),(),()P A P B P C 的概率，得出随机变量5X 的分布列，按期望公式，即可求出结论. 【详解】
（1） 当掷骰子一次时1111
2()0()()33
P A P B P C ===，， 当掷骰子二次时
21121224()()()33999P A P B P C =+=+= 211121224()()()0333339
P B P A P C =
+=⨯+⋅= 211
121
()()()339
P C P B P A =+= 当掷骰子三次时
32221241191()()()333939273
P A P B P C =
+=⋅+⋅== 32212142162()()()333939279
P B P A P C =
+=⋅+⋅== 3221214244
()()()3339399
P C P B P A =+=⋅+⋅=
（2） 依题意，5X 的所有可能取值为0-
、54421
(0)()()()33
P X P A P B P C ===
+ 3333212[()()(112
[())]33]3333P A B A P C P P ++=+ 333441
()()()999P A P C P B =++ 4144123093999981
=
⋅+⋅+⋅=，
54412
(()()()33
P X P B P A P C =
==+ 3333121212
[()()][()()]333333P B P C P B P A =+++ 333414
()()()999
P B P C P A =
++ 4214412499999381
=
⋅+⋅+⋅=
5302427
(()1818181
P X P C ===--=
X ∴的分布列为
22722754
【点睛】
本题考查相互独立和互斥事件的概率求法、离散型随机变量的分布列和期望，理解概率间的关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题. 25．（Ⅰ）分布列见解析；()2E ξ=；（Ⅱ）7k =. 【分析】
（Ⅰ）由题意结合超几何分布的概率公式即可求得()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、
()3P ξ=，进而可得分布列与期望；
（Ⅱ）由题意可知成绩时优良的人数210,
3X B ⎛
⎫
⎪⎝⎭
∼，由题意结合二项分布的概率公式可。