材料力学第四章平面弯曲

ε=
a'b'-ab ab
=
(ρ+y)dθ dx
-dx
O1
a
O2
b
(ρ+y)dθ - ρd θ = ρd θ
1
2
dx
y
=ρ
y
dq
1
2
O1'
O2'
a'
b'
1
2
dx
2.物理关系 胡克定律
σ=Eε
y =E ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
3.静力学关系
FN=∫ AσdA
=
E∫ ρA
ydA
=0
得 ∫ A ydA =0
ql
FQ 2 +
单元体2:
ql
4
2
σσ ＝ max19q 6b2 lh2
ql2
32
-
3ql2
+
32
l/4
ql 4
- ql
2 ql2 32
-
z
b
单元体3: 3
单元体4:
1 l/4
q
2 h/4 4 3
l
l/4
4
σ
My Iz
3ql2 32bh3
τ FQS*z 9ql Izb 16bh
ql
FQ 2 +
ql 4
Iz
dA
(M +dM)
=
Iz
∫ y'dA
A*
(M +dM)
FN2=
Iz
Sz*
y'τ′
FN2 -FN1 = τ bdx
σ'
σ"
dM FN2 -FN1= Iz Sz* = τ bdx
FN1
σ'
dA dx
FN2
dM=FQ dx
FQdx Iz
Sz*
= τ bdx
从而 τ = FQ Sz* Iz b
τ = FQ Sz* Iz b
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
例 将直径d=1mm的钢丝绕在直径D=2m的卷筒上，试求钢 丝中产生的最大正应力。已知钢丝的弹性模量E=200GPa。
D d
§4-4 梁的强度计算
一、梁的强度计算
对等直梁，最大弯矩截面和最大剪力截面均为危险截面。
最大弯矩截面的危险点在距离中性轴最远处；最大剪力 截面的危险点在中性轴处。
FQ ——横截面上剪力。
S z* ——横截面上距中性轴y处横线一 侧 的部分截面对中性轴的面积矩。
Iz ——整个横截面对中性轴z的惯性矩。 σ'
b ——横截面宽度。 dx
z y σ"
（二）沿梁高的切应力分布
Sz *b(h 2y)[h 2 (y)/2y]
b h2 (
24
y2)
32FbQh(14hy22)
τF Q [b (h 2h 1 2) d (h 1 2y2)]
2 Izd 2 4
4
y0
m
a
x
FQSz*m Izd
a
x
FQ d
/
Iz S*
z max
2.翼缘部分切应力 有铅直切应力（很小），也有水平切应力
δ
B
u
h
δ
z
bu
（a）
dx
τ'1 A
τ1
FN2
FN1
u dx
（b）
dFFN2FN1
dF1dx
式F 中 N 1A *： d A M Iz A *yd A M IzS z *
Iz
正应力性质（正负号））确定：
σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。
最大正应力： max
Mymax Iz
令
Wz =
Iz ymax
弯曲截面系数
得
M
max Wz
① z轴为对称时：
t max
c max
M Wz
② z轴为非对称时:
t max
Mym ax Iz
c max
Mym ax Iz
q=20kN/m
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
280
60
y
解： 1. 作弯矩图 B、D截面为危险截面
MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
q=20kN/m
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
280
60
y
B、D截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
B截面 上部受拉、下部受压 Iz18 .6 6 1 0 6m 4 ytBmax100mm
ycBmax180mm
B tm
a x
MB
ytBm Iz
a
x21.4MPa
B cm
ax
MB
ycBm Iz
a
x38.6MPa
q=20kN/m
z y σ"
y'τ′ σ'
FN1
σ'
dA dx
σ"
FN2
FN2 -FN1
=τ'bdx =τ bdx
FN1=∫ A*σ'dA=
∫
A*
M y' dA
Iz
= Sz* =∫ A* y'dA
M Iz
∫
A*
y'dA
M FN1= Iz Sz*
M FN1= Iz Sz*
FN2=∫ A*σ"dA=
∫
A*
(M
+dM)y'
2ql
l
2l
3.纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：如图CD段。
aF
A C
Fa
B D
F
剪切弯曲（横力弯曲）：
+
FQ
如图AC段和BD段。
-
F M
+
Fa
§4-2 梁横截面上的正应力
梁的横截面上一般同时存在正应力和切应力。
FQ由切向微内力τdA合成；M由法向微内力σdA合成。
一、纯弯曲梁的正应力公式
1.变形几何关系
中性层
横截面绕中性轴转动
找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变
化规律：
dq
取微段梁dx
1
2
1
2
dx
O1
y
O2
O1'
O2'
a
b
1
2
a'
b'
dx
1
2
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
变形前 变形后
dx= ab=O1O2 O 1O'2=ρdθ =O1O2
a b'2=(ρ+y)dθ
1
2
ab的纵向线应变
4
W z312d32.3 6140 m3mmax
Mmax Wz
12.48MPa
4.工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz 208cm 03
Hale Waihona Puke maxMmax Wz
14.42MP
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉 应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
二、正应力公式的推广
My Iz
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和 理论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正 应力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。
这时
M(x)y
Iz
1
M(x) =
ρ(x) E Iz
max
Mmax Wz
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积 相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的最 大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。
F N 2A *d A M Iz d M A * y d A M Iz d M S z *
δ
B
u
h
δ
z
bu
（a）
dx
τ'1 A
τ1
FN2
FN1
u dx
（b）
τ1
τ1
（c）
1 1
FQSz*
Iz
其中
S
* z
——面积δ×u 对中性轴的面积矩。
S* z
u1(h)
2
三、圆形截面梁
中性轴处：
max
等直梁的正应力强度条件为
maxMWmz ax[]
等直梁的切应力强度条件为
maxFQmIazSxbz*max[]
强度计算:
maxMWmz ax[]
（1）校核强度
（2）设计截面尺寸
（3）计算梁的容许荷载
maxFQmIazSxbz*max[]
通常梁的强度由正应力强度条件控制
需要校核切应力强度的情况：
（1）梁的最大弯矩较小而最大剪力较大时，例如集中荷 载作用在靠近支座处的情况； （2）焊接或铆接的的组合型薄壁截面（如工字型）钢梁， 腹板的厚度较小时； （3）木梁，由于木材顺纹方向抗剪强度较低，故需校核 其顺纹方向的切应力强度。
第四章平面弯曲41概述概述一平面弯曲的概念工程中绝大多数梁都有一纵向对称面且外力均作用在此面内此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线梁发生工程中绝大多数梁都有一纵向对称面且外力均作用在此面内此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线梁发生平面弯曲
第四章 平面弯曲
§4-1 概 述
一、平面弯曲的概念
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
280
60
y
B、D截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
D截面 上部受压、下部受拉 Iz18 .6 6 1 0 6m 4 ytDmax180mm
ycDmax100mm
D tm
a
x
MD ytDm Iz
60
yc=180
220
c
z
280
60
D截面
y
§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁
两个假设
1.切应力与横截面的侧边平行， 与剪力方向一致； 2.切应力沿截面宽度均匀分布。
(一)切应力τ的大小
F
q
A
B
dx
b
h h
M FQ
M+dM FQ
b dx
dM=FQ dx
σ'
dx
l/4
q
2 h/4 4
3
l
l/4
z b
解：
(1)求支座反力:
FRA
3 ql 4
FRB
3 ql 4
(2)画FQ图和M图
1 l/4
q
2 h/4 4 3
l
l/4
ql
FQ 2 +
ql 4
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
单元体1:
q
1
1
2 h/4 4 3
l/4
l
ττ max 2 3F bQh43bqh l
F=20kN
A
B
C
3m 3m
解： 1. 求最大弯矩Mmax
M m a1 4 xF l1 4 2k0 N 6 m 3k0 N m
F=20kN
A
B
C
3m 3m
M max3k 0N m
2.矩形截面
W z1 6b2h3.2 6 7140m3 mmax
Mmax Wz
91.8MPa
3.圆形截面
由 1 d2 bh 得 d13.53mm
横截面对中性轴
M
z
My
zdA
A
的面积矩为零，
中性轴过形心。
y
dA
z σdA
E
A yzdA0
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
Mz=∫ AσdA·y
1 ρ
=
Mz E Iz
=
E∫ ρ
A
y2dA
=
E ρ
Iz
中性层曲率公式 EIz
—— 梁的弯曲刚度
y
σ=Eε =E ρ
1 ρ
=
Mz E Iz
Mzy ——正应力公式
2.腹板上切应力分布
FQ
S
* z
Izd
抛物线分布
腹板和翼缘交界处：
S z * 1 7 6 0 2 0 2 90 2 13 m 4 03m
1
FQ
S
* z1
Izd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、3、 4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写 出应力的表达式。
1
工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面 内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生平 面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。
外力特点：作用在纵向对称面 内、垂直于杆轴线的集中力或 分布力，或作用在纵向对称面 内的力偶。
变形特点：杆的轴线在纵向对 称平面内弯成曲线。
Me q(x) F
二次抛物线分布
yh 2
y0
0
max
3 2
FQ bh
τ = FQ Sz* Iz b
剪切弯曲时，横截面上有切应变，横截面不再为平面。 纵向层间发生错动。
◈切应力的产生
二、工字型截面梁
1.腹板切应力τ
b
dz
ab
y
对于T形、槽形和箱形截 面，其腹板上的切应力计 算同样可采用该公式。
τmax
τ = FQ Sz* Iz d
若梁不具有纵向对称面， 或虽有纵向对称面但外力不作 用在该面内，这种弯曲统称为 非对称弯曲。
二、弯曲杆件内力回顾
1.剪力和弯矩 计算方法：截面法
F1 a
m
A
m
x
F2 B
y a F1 FQ
m
A
c
x
xm M
FRA
2.剪力图和弯矩图
FQ=FQ(x) 剪力方程 M=M(x) 弯矩方程
描述剪力和弯矩沿粱轴线变化规律的图象称为剪力图和弯矩图。 以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以垂直
FQSz*max Izd
FQ
d3 12
d 4 d
4 3
FQ A
64
四、薄壁圆环截面梁
中性轴处：
max 2 FQ
A
d/2
z