推荐下载高考直通车2018届高考数学一轮复习备课手册：选修第7课二项式定理
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第 7 讲 二项式定理
一、教学目标
1．理解二项式定理和二项展开式的性质；
2．能运用二项式定理和二项展开式的性质来解决与二项展开式有关的简单问题。
二、知识回顾与梳理
1、二项式定理：
（ a+b） n=C
0 n
an+C
1 n
an －1b1+… +C
r n
an －rbr+… +C
n n
bn。这个公式所表示的
x
【分析与点评】 本题主要考查了二项展开式的通项公式
Tr＋
1＝
C
r n
a
n
rbr
的应用， 通项公式体
现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，
它在求某些特定项及
系数方面有着广泛的应用，本题还考察学生对“二项式系数”和“系数”则两个基本概念的
理解。
题 3：在 1 x
n
1 的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于 x3
1024，则中间项的
二项式系数
是
C151
.
【分析与点评】本题主要是强化二项式系数的有关知识，在
n
1
1 的展开式中，展
x
x3
开式系数与二项式系数相同， 可以通过添加系数的方法让系数甄别两种系数的区别，
种系数的联系 .
当 n 为奇数
C
0 n
C
2 n
L
C
n n
3
C
n n1Βιβλιοθήκη 1024.C1 n
C
3 n
L
Cnn 2
a 7 x 7 , 求 a1 a 2
a7 =__________
【分析与点评】 “特值法”是我们解决这类问题的常用方法，寻找、确定“特值”需要敏锐
观察题中复杂表达式中蕴涵的与我们所熟悉知识间的关系．
令 x 1 得： a0 a1 a2
a 7 =-1 所以 a1 a 2
a 7 =-2
四、范例导析
例 1、已知数列 { an } 是等差数列，且
二项式系数、展开式系数、次数、二项式系数性质等进行，纠正学生普遍存在问题，重点是
进一步渗透思想和方法．
2、诊断练习点评
题 1： (4 x 2 x) 6( x R) 展开式中的常数项为
15 .
【分析与点评】
(4 x 2 x )6 ( x R)
22x
2 x 6 ， 22 x
2
x
6
中
Tr 1
C6r ( 22 x ) 6 r ( 2 x ) r
注意区别 “二项式系数”
和“系数” 则两个基本概念。
n
要注意二项式定理的双向功能： 一方面可将 a b 展开， 另一方面可将二项展开式合
n
并成 a b ，可以用于化简、求和或者证明。
n
2、二项式系数性质：
n1
n1
C
m n
=C
n n
m ，即对称性
.当
n 为偶数时，
C
2 n
最大
.当
n 为奇数时，
C n 2 =C n 2 且最大 .
3、各项二项式系数之和：
C
0 n
C
1 n
C
r n
C
n n
=2n.偶数项的二项式系数的和
等于奇数项的二项式系数的和
.
C
1 n
C
3 n
C
5 n
C
0 n
Cn2
C
4 n
2n 1 ，“赋值法”
是研究系数和或二项式系数和常用方法。
三、诊断练习
1、教学处理： 课前由学生自主完成 5 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏内． 课 前抽查批阅部分同学的解答， 了解学生的思路及主要错误． 点评时要有针对性， 抓住展开式、
定理叫做 二．项．式．定．理． ，右边的多项式叫做 ( a＋ b) n 的二项展开式，其中的系数
Crn( r ＝
0,1,2 ，… n) 叫做 二．项．式．系．数． 。式中的
C
r n
a
n
r b r . 叫做二项展开式的
通．项．，用 Tr＋ 1 表示，即
展开式的第
r+1
项；Tr ＋
1＝
C
r n
an
rbr .
分析：如果设 (2 x 3 y )10 a0 x10 a1 x9 y a 2 x 8 y 2
a10 y 10 (*)
那 么 各 项 系 数 和 即 为 a0 a1 a2
a10 ， 其 中
x的奇次项系数和为： a0 a2 x的偶次项系数和为： a1 a3
a10 ， a9
x 的奇次项系数和为 a0 a2 a4
(1) 二项式系数的和；
(2) 各项系数的和；
(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
35 x4 ； 8
(4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和． 【教学处理】
利用通项公式整理化简求特定项，注意到二项式系数与系数的区别
．
【引导分析与精讲建议】
a10 ，
x 的偶次项系数和为 a1 a3 a5
a9 ，
由于 (*) 是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
0
1
10
10
(1) 二项式系数的和为 C10＋ C10＋…＋ C10＝2 .
(2) 令 x＝ y＝1，各项系数和为 (2 － 3) 10＝ ( － 1) 10＝1.
0
2
10
9
(3) 奇数项的二项式系数和为 C10＋ C10＋…＋ C10＝ 2 ，偶数项的二项式系数和为
C910＝ 29 .
1
3
C10 ＋ C10＋…＋
(4) 令 x＝y＝1，得到 a0 a1 a2
a10 ＝1，①
a1, a2 ,a3 是 (1
1 x)m 展开式的前三项的系数 2
.
（1）求 m 的值。
（2）求 (1 1 x)m 展开式的中间项； 2
【教学处理】本题的重点是依据题设条件“前三项的系数成等差数列”列式，求出 以先观察学生列式是否准确，然后计算，最后交流、点评． 【引导分析与精讲建议】
m ．可
解：（ Ⅰ）(1 1 x) m 2
C
r 6
22x (6
r)
(
x)r (
1) r
由题意可知： 2x(6 r ) xr 为常数，即 x(12 2r r ) 为常数，所以 3r 12,r 4 ，
T5
C
4 6
2
0
(
1) 4
C
2 6
15 ，
常数项为 15 ．
题 2：在
5
2
x
中第 3 项的二项式系数为 __________，系数为 __________
C
n n
1024.
C
0 n
C
1 n
L
C
n n
1
C
n n
2048.
2n
2048 n 11．
当 n为偶数时，2n 2048, n 11(舍 ) ， 综合可知 n 11，
第 6项，二项式系数为 C151 ,第 7项，二项式系数为 C161.
弄清两
题 4：已知 (1 2 x) 7 a 0 a1x a 2x 2
1 Cm1 ( 1 x) 2
Cm2 ( 1 x)2 2
L 依题意 a1
1，a2
1 m ，a3
2
m( m 1)
，
8
由 2a2 a1 a3 可得 m 1 （舍去），或 m 8
所以 (1 1 x)m 展开式的中间项是第五项为： 2
T5
C84
1 ( 2
x)4
例 2、在 (2 x 3 y) 10 的展开式中，求：
一、教学目标
1．理解二项式定理和二项展开式的性质；
2．能运用二项式定理和二项展开式的性质来解决与二项展开式有关的简单问题。
二、知识回顾与梳理
1、二项式定理：
（ a+b） n=C
0 n
an+C
1 n
an －1b1+… +C
r n
an －rbr+… +C
n n
bn。这个公式所表示的
x
【分析与点评】 本题主要考查了二项展开式的通项公式
Tr＋
1＝
C
r n
a
n
rbr
的应用， 通项公式体
现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，
它在求某些特定项及
系数方面有着广泛的应用，本题还考察学生对“二项式系数”和“系数”则两个基本概念的
理解。
题 3：在 1 x
n
1 的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于 x3
1024，则中间项的
二项式系数
是
C151
.
【分析与点评】本题主要是强化二项式系数的有关知识，在
n
1
1 的展开式中，展
x
x3
开式系数与二项式系数相同， 可以通过添加系数的方法让系数甄别两种系数的区别，
种系数的联系 .
当 n 为奇数
C
0 n
C
2 n
L
C
n n
3
C
n n1Βιβλιοθήκη 1024.C1 n
C
3 n
L
Cnn 2
a 7 x 7 , 求 a1 a 2
a7 =__________
【分析与点评】 “特值法”是我们解决这类问题的常用方法，寻找、确定“特值”需要敏锐
观察题中复杂表达式中蕴涵的与我们所熟悉知识间的关系．
令 x 1 得： a0 a1 a2
a 7 =-1 所以 a1 a 2
a 7 =-2
四、范例导析
例 1、已知数列 { an } 是等差数列，且
二项式系数、展开式系数、次数、二项式系数性质等进行，纠正学生普遍存在问题，重点是
进一步渗透思想和方法．
2、诊断练习点评
题 1： (4 x 2 x) 6( x R) 展开式中的常数项为
15 .
【分析与点评】
(4 x 2 x )6 ( x R)
22x
2 x 6 ， 22 x
2
x
6
中
Tr 1
C6r ( 22 x ) 6 r ( 2 x ) r
注意区别 “二项式系数”
和“系数” 则两个基本概念。
n
要注意二项式定理的双向功能： 一方面可将 a b 展开， 另一方面可将二项展开式合
n
并成 a b ，可以用于化简、求和或者证明。
n
2、二项式系数性质：
n1
n1
C
m n
=C
n n
m ，即对称性
.当
n 为偶数时，
C
2 n
最大
.当
n 为奇数时，
C n 2 =C n 2 且最大 .
3、各项二项式系数之和：
C
0 n
C
1 n
C
r n
C
n n
=2n.偶数项的二项式系数的和
等于奇数项的二项式系数的和
.
C
1 n
C
3 n
C
5 n
C
0 n
Cn2
C
4 n
2n 1 ，“赋值法”
是研究系数和或二项式系数和常用方法。
三、诊断练习
1、教学处理： 课前由学生自主完成 5 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏内． 课 前抽查批阅部分同学的解答， 了解学生的思路及主要错误． 点评时要有针对性， 抓住展开式、
定理叫做 二．项．式．定．理． ，右边的多项式叫做 ( a＋ b) n 的二项展开式，其中的系数
Crn( r ＝
0,1,2 ，… n) 叫做 二．项．式．系．数． 。式中的
C
r n
a
n
r b r . 叫做二项展开式的
通．项．，用 Tr＋ 1 表示，即
展开式的第
r+1
项；Tr ＋
1＝
C
r n
an
rbr .
分析：如果设 (2 x 3 y )10 a0 x10 a1 x9 y a 2 x 8 y 2
a10 y 10 (*)
那 么 各 项 系 数 和 即 为 a0 a1 a2
a10 ， 其 中
x的奇次项系数和为： a0 a2 x的偶次项系数和为： a1 a3
a10 ， a9
x 的奇次项系数和为 a0 a2 a4
(1) 二项式系数的和；
(2) 各项系数的和；
(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
35 x4 ； 8
(4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和． 【教学处理】
利用通项公式整理化简求特定项，注意到二项式系数与系数的区别
．
【引导分析与精讲建议】
a10 ，
x 的偶次项系数和为 a1 a3 a5
a9 ，
由于 (*) 是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
0
1
10
10
(1) 二项式系数的和为 C10＋ C10＋…＋ C10＝2 .
(2) 令 x＝ y＝1，各项系数和为 (2 － 3) 10＝ ( － 1) 10＝1.
0
2
10
9
(3) 奇数项的二项式系数和为 C10＋ C10＋…＋ C10＝ 2 ，偶数项的二项式系数和为
C910＝ 29 .
1
3
C10 ＋ C10＋…＋
(4) 令 x＝y＝1，得到 a0 a1 a2
a10 ＝1，①
a1, a2 ,a3 是 (1
1 x)m 展开式的前三项的系数 2
.
（1）求 m 的值。
（2）求 (1 1 x)m 展开式的中间项； 2
【教学处理】本题的重点是依据题设条件“前三项的系数成等差数列”列式，求出 以先观察学生列式是否准确，然后计算，最后交流、点评． 【引导分析与精讲建议】
m ．可
解：（ Ⅰ）(1 1 x) m 2
C
r 6
22x (6
r)
(
x)r (
1) r
由题意可知： 2x(6 r ) xr 为常数，即 x(12 2r r ) 为常数，所以 3r 12,r 4 ，
T5
C
4 6
2
0
(
1) 4
C
2 6
15 ，
常数项为 15 ．
题 2：在
5
2
x
中第 3 项的二项式系数为 __________，系数为 __________
C
n n
1024.
C
0 n
C
1 n
L
C
n n
1
C
n n
2048.
2n
2048 n 11．
当 n为偶数时，2n 2048, n 11(舍 ) ， 综合可知 n 11，
第 6项，二项式系数为 C151 ,第 7项，二项式系数为 C161.
弄清两
题 4：已知 (1 2 x) 7 a 0 a1x a 2x 2
1 Cm1 ( 1 x) 2
Cm2 ( 1 x)2 2
L 依题意 a1
1，a2
1 m ，a3
2
m( m 1)
，
8
由 2a2 a1 a3 可得 m 1 （舍去），或 m 8
所以 (1 1 x)m 展开式的中间项是第五项为： 2
T5
C84
1 ( 2
x)4
例 2、在 (2 x 3 y) 10 的展开式中，求：