应用随机过程 离散鞅ppt课件

E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn.
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别 验证上述三个条件即可.
称{Xn，n
0}为关于{Yn，n
0}的上鞅，
如果对n
0，X
是
n
(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1
|
Y0，Y1，...,Yn
)
X
，
n
其中Xn =max{0，Xn}，Xn =max{0，-Xn}.
1
如果随机过程{Xn，n 0}关于{Yn，n 0}，既是下鞅又是下鞅， 则称之为关于{Yn，n 0}的鞅. 此时
下鞅的定义类似，见黑板．
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，需满足：
(1)Xn是Fn适应的； (2) E( | Xn | )<; (3) E(Xn+1 | Fn ) Xn.
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，分别
验证上述三个条件即可.
4
命题：
(1)适应列{Xn , Fn,n 0}是下鞅 适应列{Xn ,Fn,n 0}是上鞅.
0，X
是
n
关于Fn可测的，即对任意的x R， {Xn x} Fn.
{Xn，Fn，n 0}称为适应列.
注：解释上述定义中的条件“Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数”.
令Fn (Y0，Y1，...,Yn )，n 0. 易证{Fn，n 0}是一个
代数流.“Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数”是指{Xn}是{Fn}适 应的.
{min{Xn ,Yn}, Fn,n 0}是上鞅.
注：用Xn表示一个赌徒在第n此赌博后所拥有的赌资. 由鞅的
定义知，就平均而言，他在下一次赌博结束时的赌资=现在所
有的赌资，与他过去的输赢无关. 这正表达了鞅所具有的一种
“无后效性”,体现了博弈的公平.
5
例题： 设{Xi，i 0}是一列零均值独立同分布的r.v.列，且
(2)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
则{aXn bYn , Fn,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,则
{max{Xn ,Yn}, Fn,n 0}是下鞅. (3，)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个上鞅,则
“鞅”概念提出的背景：鞅描述的是“公平”赌博，下鞅 和上鞅分别描述“有利”赌博和“不利”赌博.
2
接下来我们学习关于 代数的鞅.
首先引入一些概念：设(,F, P)是一个概率空间.
{Fn , n 0}是F上的一列 子代数，且Fn Fn1，n 0，称之为 子代数流.
随机过程{Xn，n
0}称为{Fn}适应的，如果对任意的n
E | Xk | ,令S0 0，Sn
n k
=1
Xk
.
证明：{Sn }是鞅.
若Xi，i 0，的均值 0，证明：{Sn}是下鞅.
若Xi，i 0，的均值 0，证明：{Sn}是上鞅.
若Xi，i 0，的均值 0，证明：{Mn =Sn n}是鞅.
Baidu Nhomakorabea
注：我们证明：{Sn}是鞅. 实际上是证明{Sn}是关于{Fn}的鞅,
E(Mn ) , n 0, 则{(Mn ), Fn,n 0}是下鞅.
特别地，{| Mn |, Fn,n 0}是下鞅； 当E(Mn2 ) , n 0时，{Mn2, Fn,n 0}也是下鞅.
证明作为作业
7
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大.
离散鞅—离散时间的鞅.
定义：随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数，EXn ，并且 E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
3
定义：设{Fn，n 0}是F上的上升的 子代数列.随机过程{Xn，
n 0}称为关于{Fn，n 0}的鞅，如果{Xn}是{Fn}适应的，E(|Xn|)
<，并且对任意的n 0，有
E(Xn+1 | Fn ) Xn .
适应列{Xn，Fn，n 0}称为下鞅，并且对任意的n 0，有
EXn 且 E(Xn+1 | Fn ) Xn．
这里的Fn ( X1, X 2 ,...X n ).
证明见黑板.
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
设是R上的凸函数，随机变量M满足：(1)E | M | ;
(2)E | (M) | . 则
E[(M) | Fn ] [E((M) | Fn )].
6
定理：如果{Mn , Fn,n 0}是的鞅(下鞅),是R上的凸函数，且