2020年高考诊断性测试数学参考答案20200417

………………11 分
高三数学参考答案 第 5页（共 7页）
所以，当 a 1时，方程 f (x) g(x) 有一个实数解；当 a 1时，方程 f (x) g(x) 有
两个不同的实数解；当 a 1时，方程 f (x) g(x) 没有实数解. 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆 C 的方程得
………………12 分
)] 2
3 4
(1
1 2
k
1 1
k
1
) 2
93( 1 1 )， 8 4 k 1 k 2
………………………………………10 分
令 Tk
15 16
，得
1 k 1
k
1 2
1 4
，
注意到 k 为正整数，解得 k 7 ，所以 k 的最小值为 7 .
………………………12 分
19．解：（1）证明：延长 EG 交 BC 于点 D ,点 D 为 BC 的中点，
………………9 分
0
1
2
3
P
Cn06C43 C3
n10
Cn16C42 C3
n10
Cn26C41 C3
n10
C3 n6
C3 n10
高三数学参考答案 第 4页（共 7页）
E
Cn06C43 C3
n10
0
Cn16C42 C3
n10
1
Cn26C41 C3
n10
2
C3 n6
C3 n10
3
2
Cn1
6C42
1
Cn26C41
2020 年高考诊断性测试
数学参考答案
一、单项选择题 1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C
二、多项选择题
9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题
13. 4 5
14. 300
3+2 3
15.
16.
x2 4y ， 4 3
12
四、解答题
（i）将
y1
x1t 22
代入椭圆，得
x12
32 t2 4
，
y12
4t 2 t2 4
，
于是
OP 2
4 OQ 2
=(t 2 8) 4(x12
y12 )
t2
64 t2 4
24 , t R .
…………5 分
因为 t 2
64 t2 4
24
t2 +4
64 t2 4
20
2
(t2 +4)
又 DE EF E ， DE 平面DEF, EF 平面DEF ，
所以平面 DE F / / 平面PAC ，
……………………………………4 分
因为 GF 平面DEF ，所以 GF / / 平面PAC .
………………………………5 分
（2）连接 PE ，因为 PA PB ， E 是 AB 的中点，所以 PE AB ， 又平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB I 平面 ABC AB ， PE 平面 PAB ， 所以 PE 平面 ABC . 以 E 为坐标原点，以向量 EB, EP 所在的方向分别作为 y 轴、 z 轴的正方向，以与向量
(x1 t)( y 2 2 ) ( y1 2 2 )(x t) 0 ，
整理可得 ( y1 2 2)x (x1 t) y ty1 2 2x1 0 ， ………………………………8 分
所以 O 到直线 PQ 的距离 d
| ty1 2 2x1 |
， …………………………9 分
( y1 2 2)2 (x1 t)2
k
k
1
) 1
1
k
1
1
……10
分
令1 1 15 ，解得 k 15 ，因为 k 为正整数，所以 k 的最小值为16 . k 1 16
若选②：则 a1
b4
2
， 3a1
3 2 2
d
2(a1
2d )
，解得 a1
d
2
.
……12 分
下同①.
若选③：则 a1
b4
2
， 3(a1
2d )
(a1
3d )
8
，解得
EB, EP 垂直的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz . ………6 分
设 EB 1，则 E(0, 0, 0) ， P(0, 0,1) ， F (0, 1 , 1 ) ， G( 3 , 1 , 0) ，
22
62
FE
(0,
1
,
1
)
，FG
(
3 , 0, 1 ) ，
，则 t(x)
ln x2
x
(x2
1)e x
，
………………8 分
当 x (0,1) 时， t(x) 0 ， t(x) 单调递增，当 x (1，+) 时， t(x) 0 ， t(x) 单调递
减，
故 t(x) 在 x 1处取得最大值 t(1) 1，
………………10 分
又当 x 0 时，t(x) ，当 x + 时，t(x) ，
A
1 2
代入，得 a
3c
. …………………………6 分
3
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A ，
于是 ( 3c )2 (2 3)2 c2 2 2 3 3 c ，
3
2
即 c2 9c 18 0 ，解得 c 3 或 c 6 .
…………………………8 分 …………………………10 分
，
…………………10 分
又 ( y1 2 2)2 (x1 t)2 y12 x12 t 2 8 4 2 y1 2tx1
y12 x12 t2 8
4t 2 t2 4
32 t2 4
t2
8
t2 8
，
t2 4
……………………11 分
所以 d
FP
(0,
1
,
1
)
.
……………………7 分
22
62
22
设平面 EFG 的一个法向量为 m (x, y, z) ，
则
mmFFGE
0 0
，即
x
y
z0 3z 0
，
令 z 1，得 y 1， x 3 ，于是取 m ( 3, 1,1) …………………………9 分
又平面 PFG 的一个法向量为 n (x1, y1, z1) ，
解得 n 2 .
…………………………………………12 分
21．解：（1）由 f (x) 0 可得， a 1 ln x (x 0) ， x
令 h(x)
1 ln x
x
，则 h(x)
1 x
x
(1 ln x2
x)
ln x2
x
，
………………1 分
当 x (0,1) 时， h(x) 0 ， h(x) 单调递增，当 x (1，+) 时， h(x) 0 ， h(x) 单调
递减，故 h(x) 在 x 1处取得最大值，
………………3 分
要使 a 1 ln x ，只需 a h(1) 1， x
故 a 的取值范围为 a 1，
………………4 分
显然，当 a 1时，有 1 ln x 1 ，即不等式 ln x x 1在 (1, ) 上成立， x
令 x n 1 1(n N) ，则有 ln n 1 n 1 1 1 ，
（2）由题意得列联表如下：
不太了解 比较了解
男性
250
330
女性
150
270
…………3 分
K 2 的观测值 k 1000 (250 270 330 150)2 5.542 400 600 420 580
…………………5 分
因为 5.542 3.841
所以有 95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6 分
所以 2sin Acos A 3 sin A ， 而 0 A ， sin A 0
…………………………3 分
所以 cos A
3
，
2
所以 A . 6
（2）因为 SABC
1 bc sin 2
A
1 2
a
hBC
…………………………4 分 …………………………5 分
将b 2
3
， hBC
3 ， sin
n(n 1) 2
2
n2
n
，
1 1 1 1 ， Sn n(n 1) n n 1
…………………………2 分 …………………………4 分
…………………………6 分 …………………………8 分 …………………………9 分
于是 Tk
1 S1
1 S2
+ 1 Sk
(1 1) (1 1) ( 1
2 23
则
nnFFGP
0 0
，即
x1 y1
3z1 0 z1 0
，
令 y1 1 ，得 z1 1， x1 3 ，
于是取 n ( 3,1,1)
………………………………………………11 分
设平面 EFG 与平面 PFG 的所成的角二面角的大小为 ，
高三数学参考答案 第 3页（共 7页）
则 cos cos m, n mn 3 3 . m n 5 5 5
d
4 3
.
于是
Sn
2n
n(n 1) 2
4 3
2 3
n2
4 3
n，
………………6 分 …………………8 分
1 3 1 3(1 1 ) ， Sn 2 n(n 2) 4 n n 2
……………………9 分
于是 Tk
3 [(1 4
1) (1 32
1) 4
(1 k 1
1 ) k 1
(1 k
k
1
高三数学参考答案 第 1页（共 7页）
18．解：设等比数列bn 的公比为
q
（
q
0
），则
b1
8 q
， b3
8q
，
于是 8 38q 4 ， q
即 6q2 q 2 0 ，解得 q 1 ， q 2 （舍去）.
2
3
若选①：则 a1
b4
2
，
S4
4a1
43 2
d
20
，
解得 d 2 ，
所以
Sn
2n
n
nn
n
所以 ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 1 ，
12
n
23
n
即：1 1 1 1 ln( n 1) ；
23
n
………………6 分
（2）由
f
(x)
g(x)
1 ln
可得，
x
a
(x
1)2e x
，即
a
1
ln
x
(x
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2e x
，
x
x
令
t(x)
1 ln x
x
(x
1) 2e
x
17．解：（1）因为 2a cos A 3(b cos C+c cos B) ，由正弦定理得
所以 2 sin A cos A 3(sin B cos C sin C cos B) , …………………………1 分
即 2sin Acos A 3 sin(B C) ，
…………………………2 分
又 B C A ，所以 sin(B C) sin( A) sin A
（3）由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女性 4 人.
随机变量 的所有可能取值为 0,1, 2, 3 ，
………………7 分
其中
P(
0)
Cn06C43 C3
n10
，
P(
1)
Cn16C42 C3
n10
, P(
2)
Cn26C41 C3
n10
, P(
3)
C3 n6
C3 n10
,
所以随机变量 的分布列为
高三数学参考答案 第 6页（共 7页）
由（i）知，
y1
x1t 22
，得
x12
32 t2 4
，
y12
4t 2 t2 4
，
x1t 2
2 y1
0 ，注意到 x1
0 ，知 t
2
2 y1 x1
.
所以 | ty1 2
2 x1
||
x1t 2 22
2
2x1 |
| x1 | (t 2 22
8)= 2(t2 8) t2 4
因为 D, E 分别是棱 BC, AB 的中点,
所以 DE 是 ABC 的中位线，所以 DE // AC ，
…………………………2 分
高三数学参考答案 第 2页（共 7页）
又 DE 平面PAC ， AC 平面PAC ，
所以 DE / / 平面PAC .
同理可证 EF / / 平面PAC .
………………………………………3 分
64 t2 4
20
36
当且仅当
t
2
+4=
t
64 2
4
，即
t
=
2
时，取等号.
所以 OP 2 4 OQ 2 的取值范围为[36, ) .
……………………………………7 分
（ii）存在.定圆的方程为 x2 y2 4 .
假设存在满足题意的定圆，则点 O 到直线 PQ 的距离为定值.
因为 P(t, 2 2),Q(x1, y1) ，所以直线 PQ 方程为
所以平面 CFG 与平面 EFG 的所成的锐二面角的余弦值为 3 . 5
………………12 分
20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于 60 分的比率为 130 110 90 110 100 60 0.6 ， 1000
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 60 分的概率为 0.6 . …………………2 分
2
C3 n6
3
2Cn310
,
………………10 分
可得， 6(n 6) 4(n 6)(n 5) 1 (n 6)(n 5)(n 4) 1 (n 10)(n 9)(n 8) ，
2
3
3(n 6)(n2 17n 72) 2(n 10)(n 9)(n 8) ，
3(n 6) 2(n 10) ，
4
a
2
2 b2
1 ，解得 a2
8，b2
4 ，所以椭圆 C 的方程为
x2
y2
1．
……3 分
a2 b2 4
84
（2）设 P(t, 2 2),Q(x1, y1) .因为以 PQ 为直径的圆恒过点 O ，
所以 OPOQ x1t 2
2 y1
0
，即
y1
x1t 22
.
……………………4 分
因为 Q 点在椭圆上，所以 x12 y12 1. 84