第六章-交变电磁场

E jB
B 0
D
H J jD
E jB
B 0
D
复数形式的麦克斯韦方程组
H
J
jD
1. 复数形式麦氏方程组的获得和最初对场量 复数表达式的定义无关，即可以规定取实部
E jB
B 0
D
（Re），也可以取虚部（Im）；但取法一旦 确定，在整个问题的分析过程中就不能改变， 必须保持一致。
交变电磁场中的电场有旋有散，磁场有旋无散。
复习练习
J E 传导电流
D t 位移电流
D t E t E E
幅度之比 1 1000
Maxwell方程组的逻辑关系
E B t
B 0
0 ( E) ( B ) t
( B) 0 t
麦克斯韦方程组并非相互独立的四个方程 只有三个独立的方程
H z H0kcosky sin(t kz)dz
H
0k
1 k
c
osk
y
c
os(t
k
z)
C
麦克斯韦方程组
麦克斯韦第一方程看来是解决 磁场旋度问题的
E • dl
C
t
B • dS
S
sD dS q
SB dS 0
E B t
D
B 0
麦克斯韦第一方程? 麦克斯韦第二方程 麦克斯韦第三方程 麦克斯韦第四方程
z
kz)
ey
E0k sin(t kz)ey
H
k
E0
cos(t
kz)ey
交变电磁场的简谐形式
Ex E0 cos(t kz)ex
H
k
E0
cos(t
kz)ey
复数形式的麦克斯韦方程组
设谐变电磁场场量的瞬时值表达式为
E(x, y, z, t) exExm(x, y, z) cos[t x (x, y, z)]
在线性媒质中，所有场量的频率相同。
H
J D t [Re(He jt
Re(Je jt ) Re(D e jt ) Re(Je jt )
)] Re[(Hte jt )] Re[ He jt ]
Re(
jD e
jt
)
H J D t
E B t
•B 0
•D
H J jD
dd
位移电流密度为
D t
0
E t
0
U0 d
cost
位移电流为
id
D S t
0S
d
V0
cost
CU 0
cost
i id 得征。
麦克斯韦方程组复习
CH • dl S J D t• dS
CE• dl S B t • dS
SB SD
• •
dS dS
0 Q
H J D
求：电位移矢量的z分量。
解题思路：麦克斯韦第三方程 D E 0
Ez
1 4
y2z4[a sin(t) 3b cos(t)]
交变电场小结： 交变电场由交变电荷和交变磁场共同产生，其中交变电荷作为 电场的散度源，所产生的电场的旋度为零；交变磁场作为电场
的旋度源，所产生的电场的散度为零。
判断： 交变磁场产生的电场是个保守场。 （NO） 非保守场
jt
]
ey
Re[E ye
jt
]
ez
Re[
E ze
jt
]
Re[(ex
E x
ey
E y
ez
E z
)e
jt
]
Re[E e jt ]
dt
1
j
j,
t
2 t 2
2
复数形式下对时 间的求导和积分
复数形式的麦克斯韦方程组 Re[E e jt ] Re[D e jt ] Re[H e jt ] Re[B e jt ] Re[J e jt ] Re[ e jt ]
ex
Re[
Exme
j x
e
jt
]
ey
Re[Eyme
j y
e
jt
]
ez
Re[
Ezme
j z
e
jt
]
ex
Re[
E xe
jt
]
ey
Re[E ye
jt
]
ez
Re[
E z e
jt
]
复矢量：
E
ey
ex Ex E yme
me
j y
j
x
ez
E
zm
e
j
z
E(x, y, z,t)
ex
Re[
E xe
一个无旋场
l E dl 0
又曾经有一个公式，使电场的旋度积分不等于零，他是什么呢？
P86
E dl 电动势 l
麦克斯韦第二方程
E • dl
C
t
B • dS
S
❖ 描述变化磁场中的静止导体；
B
S
C
右手法则!
❖ 感应电流产生的磁场要阻止原磁场的减小！
❖ 回路可存在于自由空间中
麦氏第二方程的微分形式
D t
具个有特电定流的的称量 谓纲，，位能移够电产流生。交变（磁场J ，因传此导给电其流一）
共同点： 位移电流和传导
电流都具有电流的量 纲，都能够产生磁场。
区别点： 传导电流伴随自由电荷的运
动，而位移电流则不然，伴随它 的仅仅是随时间变化的电场。
已知：一个闭合面包含了平板电容器的一个极板，板间填充空
2021/1/14
shiyan@
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Maxwell方程组的逻辑关系
H J D t
J
t
0 ( H ) (J D ) t
D
J ( D) 0 t
麦克斯韦方程是描述电磁普遍规律的数学描述，已被证明适用于任何 情况的电流连续性方程亦可通过Maxwell方程得到(电流连续性方程隐 含在麦克斯韦方程组中) 。
气，电压为 U0 sint ，d 很小，极板面积S较大， 因此电容器
中的电场均匀分布。
证明：流进封闭面的传导电流等于流出封闭面的位移电流。
证明：
已知电压 U0 sin t
则，传导电流为
i
dq dt
C dU dt
CU0 cost
位移电流： id J d J d D t D E E U
电容器中的交变电场为 E U U0 sin t
场源 J 和ρ 之间不是互相独立。 在实际工程中，通常采用给定场源 J 的条件下求解电磁场。
2021/1/14
shiyan@
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交变电磁场的简谐形式
假设，自由空间中 Ex E0 cos(t kz)ex
为什么要写成这种形式？
➢ 首先，在实际问题中碰到最多的交变电磁场就是随时间作简谐
虽然静态条件下的电场是个无旋有散场，但交变的静电 荷所产生的有旋无散的非保守场。 （NO）有散
麦克斯韦第四方程
? B 0
H J
静态场条件下的磁场仅由恒定电流产生，在 交变场的情况下是否成立？
E
B
t
D
E
( B)
0
t
B 0
和静态条件下的磁场一样，交变磁场的散度 仍然为零，是个无散场，因此静态电磁场中 磁场的散度方程在交变电磁场的情况下得以
2. 为简化方程的形式，相量符号、时间因子
复数形式的麦克 都约定不写出来，即式中的场量都是不包含
斯韦方程组
时间因子的复数矢量（不是时间的函数）；
因此在根据场量的复数表达式写出其瞬时表
达式时必须补充时间因子。
和一般形式的麦氏方程组相比，谐变电磁场分析中所用的复数形 式麦氏方程组有效的将时间因素剔除，大大简化了问题的复杂性 （从一个随三维坐标和时间变化的四维问题简化为一个随三维坐 标变化的三维问题）。
复数形式的麦克斯韦方程组
E(x, y, z, t) exExm(x, y, z) cos[t x (x, y, z)]
复矢量：
ey Eym(x, y, z) cos[t y (x, y, z)]
C
E
•
dl
t
S
B
•
dS
B
E • dl • dS 0
C S t
E • dl ( E) • dS
C
S
B
( E
S
t
) • dS
0
E
B
t
麦克斯韦第二方程
E
B
t
E • dl
C
t
B • dS
S
麦克斯韦第二方程
和静态条件下的电场不同，交变场中电场可以由交变磁场产 生。而且因为交变磁场产生的电场的环流不再为零，所以交 变磁场应该是交变电场的旋度源。既然如此，由旋度源交变
变化的谐变电磁场。-----载波
➢ 而且，一些非简谐的时间函数可以根据傅里叶变换的方法分解 为许多简谐时间函数的叠加。
➢ 因此，研究谐变电磁场是研究交变电磁场的基础。
那么，这种最基本的时谐电场产生的磁场是？
交变电磁场的简谐形式
假设处于自由空间中，根据麦克斯韦方程
E B t 0 H t
E
E0
cos(t
J 0 E 0 J E
恒定电场
变速运动的电荷呢？变化的磁场？
电磁感应定律
“电动势”——非保守电场沿闭合路径的积分
εin C Ein • dl 0
B
S
C 右手法则!
根据电磁感应定律：C 中的电动势就是通过S 的磁通的减少率。
εin
dΦ dt
感应电动势： in
C
Ein
• dl
需要修正
可见，交变磁场的旋度 源不仅仅只是交变电流。 H ?
位移电流
此时，将 J 替换为 J X
H J X
X
D
t
J X 0
X
( D)
t
J
0
t
X
t
D 位移电流 t
麦克斯韦第一方程
XHJD X t
麦克斯韦第一方程
H
J
D
t
l
H
dl
S
(
J
D t
)
dS
交变电流、交变电场都是交变磁场的旋度源。
磁场产生的交变电场的散度应该为零。
例： 已知无源空间的电场强度如下，求相应的磁场强度。
E eyasin x cos(t kz)
E
（解题思路：麦克斯韦第二方程）
ex
E y z
ez
E y x
H
ex
ak
sin
x cos(t
kz) ez
a
cos x sin(t
kz)
麦克斯韦第三方程
电磁场与电磁波
第六章 交变电磁场
法拉第交变电磁场
E dl 0 D dS q
l
s
E 0 D D E
静电场
B dS 0 H dl I
S
C
B 0 H J B H
恒定磁场
J dS 0 E dl 0
S
l
静电场-----电荷 恒定电场-----稳恒电流-----匀速运动的电荷 恒定磁场-----稳恒电流-----匀速运动的电荷
dΦ dt
电磁感应定律
当空间中还 存在静电荷的电场 时：
E • dl Ein • dl Ec • dl Ein • dl 0 in
C
C
C
C
in
C
E
• dl
dΦ dt
C
E
•
dl
dΦ dt
Φ B • dS
S
பைடு நூலகம்
C
E
•
dl
t
S
B
•
dS
电磁感应定律
曾经有一个定理叫做：静电场的旋度定理，它说明，静电场是
保留，即麦克斯韦第四方程。
B 0 B dS 0 麦克斯韦第四方程 S
麦克斯韦第四方程
❖ 已知磁场Hx=0, H y H0sink'y sin(wt kz) 式中k’、k为
常数
❖ 求磁场的Hz分量
❖ 解:
B 0
Bx
By
Bz
By
Bz
0
x y z y z
H z z
H y y
H0k cos ky sin(t kz)
E B t
•
B
0
• D
t
复习
——麦氏方程组的辅助方程
D
0
r
E
E
BJ
0r E
H
H
0H
复习
复习小结： 交变电场和交变磁场互为旋度源
H J D t ——磁场的旋度源：传导电流、位移电流
E B t ——电场的旋度源：交变磁场
•B 0
——磁场是个无散场
•D
——电场的散度源：电荷
安培环路定理
H • dl SJ • dS
C1
C1
J • dS J • dS ....
S1
S2
C
S2
S1
u(t) i(t)
J S1
• dS
0
J
S2
• dS
0
安培环路定理“不”成立了？
安培环路定理
H J H J 0
然而，我们知道
J
t
显然， J 0 只是一个特例，稳恒电流下的特例 那么，由于 H 是一定成立的，所以 H J
如前所述，交变磁场毕竟只是交变电场的旋度源，它的引入
并不影响交变的静电荷作为散度源产生交变的电场。因此静
态电磁场中电场的散度方程在交变电磁场的情况下可以保留，
即如下所示的麦克斯韦第三方程。
D dS q D 麦克斯韦第三方程 s
例：真空无源区域中，已知 Ex axy2z3 sin(t) Ey by3z3 cos(t)
2021/1/14
shiyan@
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Maxwell方程组的逻辑关系
H J D t
D
0 ( H ) (J D ) t
J
t
J ( D) 0 t
麦克斯韦方程组的两个旋度方程以及电流连续性方程可构成时变电磁场一组 独立的方程，该组方程中共含有七个独立的标量方程。
ey Eym(x, y, z) cos[t y (x, y, z)]
ez Ezm (x, y, z) cos[t z (x, y, z)]
表示为复数形式为
ex ey ez
Re[ Exme j(tx ) ] Re[Eyme j(ty ) ] Re[ Ezme j(tz ) ]
复数形式的麦克斯韦方程组