【精选】2020届高考数学(文)刷题小卷练：30含解析

刷题小卷练30 椭圆的定义、标准方程及性质

小题基础练○30

一、选择题

1．椭圆x 24＋y 2

＝1的离心率为( ) A.12 B.32

C.5

2 D ．2 答案：B

解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝3

2，故选B.

2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2

＝1的离心率为12，则m n ＝( )

A.34

B.43

C.32或233

D.34或43 答案：D

解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 2

1n ＝1，依题意得1m －1n 1

m

＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 2

1m

＝1，同理

可得m n ＝43.所以所求值为34或4

3.故选D.

3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．2 2

答案：B

解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.

4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )

A ．1－3

2 B ．2－ 3

C.3－1

2 D.3－1 答案：D

解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，

由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1中，2a ＝1＋3，2

c ＝2，

得a ＝1＋3

2，c ＝1，

所以离心率e ＝c a ＝2

1＋3

＝3－1.故选D.

5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝

⎛⎭

⎪⎫

1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )

A ．2 B.2

4 C.1

2 D ．1 答案：D

解析：由题可得1a 2＋1

2＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，

则S △P AB ＝12×2a ×2

2＝1，故选D.

6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝

1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0(O

为坐标原点)．若|PF

1

→|＝2|PF 2

→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－3

2

C.6－ 5

D.6－5

2 答案：A

解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的

平行四边形法则，由PF 1

→·(OF

1

→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2

是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎨⎧

2x ＋x ＝2a ，

(2x )2＋x 2＝(2c )2

，

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝2＋12x ，

c ＝32x ，

∴e ＝c a ＝3

2＋1

＝6－3，故选A.

7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点

P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP

→的最大值为( ) A ．2 B ．3

C ．6

D ．8 答案：C

解析：由椭圆x 24＋y 2

3＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，

y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－x 2

4＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.

8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2

a 2＋

y 2

b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1

B.⎝

⎛⎦⎥⎤0，22

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1

D.⎝

⎛⎭⎪⎫0，22

答案：C

解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由

|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2

＝a 2－c 2，即c 2>12a 2

，可得22<e <1.故选C.

二、非选择题

9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．

答案：x 24＋y 2

＝1

解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，

得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2

＝1.

10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________． 答案： 5

解析：方程x 2＋ky 2

＝2可化为x 22＋y 2

2k

＝1，则⎝ ⎛⎭

⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝