山东省济南外国语学校2019届高三上学期高考模拟(二)数学(理)--含答案

济南外国语学校高考模拟考试（二）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}
2|9B x x =≥，则()R A B =ð（ ）
A ．[2,3)
B ．(2,3)
C ．(3,)+∞
D ．(2,)+∞
2.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）
A ．2
B C
D ．3
3.已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.函数2
sin ()1
x
f x x =
+的部分图像可能是（ ）
5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆
22
1124
x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近
线方程为y =，则该双曲线的方程为（ ）
A ．
22
1412
x y -= B ．
221124x y -= C ．22
162x y -= D ．
22
126
x y -=
6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A ．
4849
B ．
5051
C ．
4951
D ．
4950
7.已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．
现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则(|)P B A =（ ）
A ．14
π
-
B ．
4
π C ．2
1π
-
D ．
2π
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ） A ．
83
B ．
23
C ．
43
D ．2
9.将函数()2sin f x x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12
，纵坐标不变，然后向左平移
6
π
个单位长度，得到()y g x =图象，若关于x 的方程()g x a =在,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,2-
B ．[2,2)-
C ．[1,2)
D ．[1,2)-
10.若函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数，奇函数，且满足()2()x
f x
g x e +=，则（ ） A ．(2)(3)(1)f f g -<-<- B ．(1)(3)(2)g f f -<-<- C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-
D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-
11.已知1F ，2F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的
点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）
A ．2
B -
C 1
D 12.为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）
A ．
8
3
B ．
163
C ．
43
D ．
43
π 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知(1)n
x +的展开式各项系数之和为256，则展开式中含2
x 项的系数为 ． 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ． 15.在ABC ∆中，3
B π
∠=
，其面积为3，设点H 在ABC ∆内，且满足
()()CH CB CA AH AB AC ⋅-=⋅-0=，则BH BC ⋅= ．
16.对1x R ∀∈，[]23,4x ∃∈，使得不等式22
11221223x x x x x mx ++≥++成立，则实数m 的取值范
围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． （1）求角A 的大小；
（2）若a =
ABC ∆的面积为
1
2
，求b c +的值． 18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占2
3
，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计
（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x ，若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望和方差． 附表：
20()P K k ≥
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k
2. 072
2.706
3.841
5.024
6.635
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥． （1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；
（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，
2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．
20.已知点1(0,)2F ，直线l ：1
2
y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若M A B ∆
的面积为'l 的方程． 21.设函数1()x
f x x e
-=⋅．
（1）求证：当0x >时，()e
f x x
<
； （2）求证：对任意给定的正数k ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有()k f x x
<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2
2
4x y +=，直线l
的参数方程2,
x t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为
参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3
2
倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；
（2
）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||
PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；
（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.
济南外国语学校高考模拟考试（二）理科数学答案
一、选择题
1-5:BCAAD 6-10:BCBCD 11、12：DB 二、填空题
13.28 14.5
2
- 15.3m ≤ 三、解答题
17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，
sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=， sin 0sin cos B A A
≠∴=(0,)4
A A π
π∈∴=
(2) 11sin 2242
ABC
S
bc A bc bc ===∴=
又
22222cos 2()(2a b c bc A b c bc
=+-∴=+-+
所以，2
()4, 2.b c b c +=+=．
18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表
根据列联表中的数据，得到
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。

（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是
4
3
，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是
4
3， 由题意知），（4
3
5~B X ，从而X 的分布列为
4
45)(=⨯
==np X E ， 3315
()(1)5(1)4416
D X np p
=-=⨯⨯-=.
19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC .
∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PBC ， ∴CD ⊥PB .
∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD . ∵PB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD . （2）设BC 中点为O ,连接,PO OE ，
,PB PC PO BC =∴⊥，又面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC
面ABCD BC =，
所以PO ⊥面ABCD 。

以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，OC 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
O xyz -
.由（1）知PB ⊥平面PCD ，故PB ⊥1
12
PC PO BC ∴=
=，设BC a =，
可得()()()0,0,1,1,,0,1,,0,1,0,0,2a P E A a B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
所以1,
,1,2,,0,22a a PE EA ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
由题得0PE EA ∙=，解得a =所以()()()
0,22,0,1,22,1,2,,BA PA EA ==--=-
设
(,,)
x y z =n 是平面PAB 的法向量，则00PA BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0
x z ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，
可取(1,0,1)=-n .
设(,,)x y z =m 是平面PAE 的法向量，则00PA EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即0
20
x z x ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，
可取=m .
则cos ,||||⋅=
=<>n m n m n m 所以二面角A PB C --
的余弦值为-
. 20.解：（1）设(,)P x y ，则1
(,)2
H x -，1
(,1),(0,),2
HF x PH y ∴=-=-
- 1
(,)2
PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，
()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.
（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12
y kx =+
， 由2122y kx x y ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
，消去y 可得：2210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2
M t -，121221
x x k
x x +=⎧∴⎨
⋅=-⎩，
112211
(,),(,)
22
MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，
即121211()()()()022
x t x t y y --+++=2
121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，
22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=
∴2()0t k -=，t k ∴=，即1
(,)2
M k -，
∴212|||2(1)AB x x k =-==+，
∴1
(,)2M k -到直线l '
的距离2d =
=
322
1||(1)2
MAB
S AB d k ∆==+=1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-
=或1
02
x y -+=． 法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()
00,y x E
则211
1212121202
1222
2()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ 直线'l 的方程为01
2
y x x =+
， 过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点， 所以在Rt AMB 中，11111
||||(||||)(||||)222
=
=+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01
(,)2
M x - 点M 到直线'l
的距离为：2d =
=因为E 点在直线'l 上，所以有2
0012
y x =+，从而2
1200||1212(1)AB y y y x =++=+=+
由2011||2(22
MAB
S
AB d x =
=⨯+=01x =± 所以直线'l 的方程为1
2
y x =+
或12y x =-+．
21. 解析：(1)当0x >时，()f x x
<
e
等价于20,x x x ><e ， 构造函数()2x g x x =-e ,0x >.则()2x g x x '=-e ， 记()()2x h x g x x '==-e ，()'2x h x =-e ， 当ln2x >时，()'0h x >，()h x 在()ln 2,+?
上单调递增；
当0ln2x <<时，()'0h x <，()h x 在()0,ln 2上单调递减.
于是，()()min min ()ln 222ln 20g x h x h '===->，即当0x >时，()0g x '>，()g x 为()0,+?上的增
函数，所以，()()00g x g >>，即2x x >e . 于是，当0x >时，()f x x
<
e . (2)由(1)可知，当0x >时，2
x
x >e .于是，442
2
216x x x
x x ⎛⎫=
⋅>= ⎪⎝⎭
e e e . 所以，416x
kx k >e .解不等式4216kx x >e
，可得x >，
取0x =则对任意给定的正数k ，321
3x k kx x >>e e ，当0x x >时，有，
即
()1x k
x f x x
->⋅=e . 22解：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的23
，则曲线2C 的直角坐标方程为2
2
2(
)43
x y +=， 整理得22
149x y +=，∴曲线2
C 的参数方程2cos ,3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线l
的参数方程化为标准形式为''
122x t y ⎧
=--⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），
将参数方程带入2
2
149
x y +=
得2
2
1(2))22149
t ''--+= 整理得
2
7()183604
t t ''++=. 1
2727PA PB t t ''+=+=，12144
7
PA PB t t ''==，
72
111
714427
PA PB PA PB PA PB
++===．
23.解:（1）()31316f x x x =++-<
当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113
x ∴-<<-； 当1133x -
≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133
x ∴-≤≤； 当13x >
时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，1
13
x ∴<< 综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<<
（2）()()22
2222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++
22221a b a b =--+22
(1)(1)a b =--
由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴--> 1ab a b ∴+>+.。