第四章 钢筋混凝土梁(2)

受弯构件的挠度按荷载效应标准组合并考虑荷载长 期作用影响的刚度B进行计算， 期作用影响的刚度B进行计算，所求得的挠度计算值不应 超过附表规定的限值。挠度计算公式： 超过附表规定的限值。挠度计算公式：
Ml 2 f =C ≤ [f ] B
式中
f——按“最小刚度原则”并采用长期刚度计 ——按 最小刚度原则”
计算公式 对矩形、 对矩形、Ｔ形、倒Ｔ形、Ⅰ形截面钢筋混凝土受弯构 件
Bs = 6α E ρ 1.15ψ + 0.2 + 1 + 3.5γ f' E s As h02
式中 :
Es──受拉纵筋的弹性模量； ──受拉纵筋的弹性模量 受拉纵筋的弹性模量； As──受拉纵筋的截面面积； ──受拉纵筋的截面面积 受拉纵筋的截面面积； ρ ──纵向受拉钢筋配筋率； ──纵向受拉钢筋配筋率 纵向受拉钢筋配筋率； αE──钢筋弹性模量Es与混凝土弹性模量Ec的 ──钢筋弹性模量 与混凝土弹性模量E 钢筋弹性模量E
2. 单一弹性材料梁的变形计算
对于单一材料梁的最大挠度， 对于单一材料梁的最大挠度，可用结构力学的 方法计算。 方法计算。 例如， 例如，在均布荷载作用下简支梁的跨中挠度为
5 ql 4 5 Ml 2 f = = 384 EI 48 EI
在集中荷载作用下简支梁的跨中挠度为
1 Pl 3 1 Ml 2 f = = 48 EI 12 EI
ψ = 1.1 − 0.65
f tk
ρ teσ sk
ftk──混凝土轴心抗拉强度标准值； ──混凝土轴心抗拉强度标准值 混凝土轴心抗拉强度标准值； ρte──按截面的“有效受拉混凝土截面面积”Ate计算的纵 ──按截面的 有效受拉混凝土截面面积” 按截面的“ 向受拉钢筋配筋率：ρte＝As/Ate 向受拉钢筋配筋率： 01时 01。 当计算出的ρte＜0.01时，取ρte =0.01。
（2）梁在使用阶段的短期刚度
短期刚度 钢筋混凝土受弯构件出现裂缝后， 钢筋混凝土受弯构件出现裂缝后 ， 在荷载效应 的标准组合作用下的截面弯曲刚度。 的标准组合作用下的截面弯曲刚度。
根据试验和理论分析， 根据试验和理论分析 ， 可得出梁短期刚度的 计算公式为
E s As h02 BS = (ψ η + α E ρ ζ )
2) 长期荷载作用下的刚度计算公式： 长期荷载作用下的刚度计算公式： 荷载长期作用下的挠度比荷载短期作用下的挠度 要大许多， 对于受弯构件， 规范》 要大许多， 对于受弯构件，《规范》要求按荷载标准 组合并考虑荷载长期效应影响的刚度B进行计算， 组合并考虑荷载长期效应影响的刚度B进行计算，即用 考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数来考虑荷载 长期效应对刚度的影响。 长期效应对刚度的影响。 计算公式
比值， 比值，即αE=Es/Ec；
Bs =
6α E ρ 1.15ψ + 0.2 + 1 + 3.5γ f'
E s As h02
ψ──裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数： ψ──裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数： 当ψ＜0.2 裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数 时，取ψ＝0.2；当ψ＞1.0时，取ψ=1.0；
数，对钢筋混凝土受弯构件，取θ=2.0-0.4ρ′/ρ。此 对钢筋混凝土受弯构件， 处 ρ 为纵向受拉钢筋的配筋率 ； ρ′ 为纵向受压钢筋的 为纵向受拉钢筋的配筋率； 配筋率。 配筋率。 对于翼缘位于受拉区的倒T 形截面， 对于翼缘位于受拉区的倒 T 形截面 ， θ 值应增 大20%。 20% 长期刚度实质上是考虑荷载长期作用部份使刚度降 低的因素后， 低的因素后，对短期刚度Bs进行的修正。 进行的修正。
以上二式可统一为
Ml 2 f =C EI
式中: 式中: EI为梁的截面抗弯刚度，一般为常数；M 为跨中最大弯矩，C 为跨中最大弯矩，C为与荷载类型和支承条件有关 的系数，也是一个常数。 对均质弹性材料梁，f挠度与弯矩M成线性 挠度与弯矩M 关系。
3
钢筋混凝土梁的变形计算
（1）钢筋混凝土梁的弯矩和挠度的关系 图示一典型的钢筋混凝土适筋梁的M 图示一典型的钢筋混凝土适筋梁的M-f曲线。该曲线可 分为三个阶段： M EI 第Ⅰ阶段，为弹性工作阶 段。裂缝出现前材料接近弹性 M 性能，M 性能，M-f基本呈直线关系；裂 M 缝即将出现时，拉区混凝土塑 M B φ 性变形发展，刚度有所降低。
（4）梁在使用阶段的长期刚度B 按荷载效应的标准组合并考虑荷载效应的长期作用影响 的刚度 1) 影响钢筋混凝土梁长期刚度的因素 钢筋混凝土梁在长期荷载作用下， 钢筋混凝土梁在长期荷载作用下，变形随时间的增长 而增大，刚度有较大降低。 而增大，刚度有较大降低。
原因： 由于压区混凝土的徐变， 原因：①由于压区混凝土的徐变，使受压应变随时间的增长 而增大。 受拉钢筋与混凝土之间产生粘结滑移徐变， 而增大。 ②受拉钢筋与混凝土之间产生粘结滑移徐变， 使受拉区混凝土不断退出工作，钢筋的平均应变随时间而 使受拉区混凝土不断退出工作， 增大， ③受拉区与受压区混凝土的收缩不一致等，均使 受拉区与受压区混凝土的收缩不一致等， 增大， 构件刚度降低。 构件刚度降低。 凡是引起混凝土徐变和收缩的原因如：加荷龄期、 凡是引起混凝土徐变和收缩的原因如：加荷龄期、 温度、湿度、 温度、湿度、受压钢筋的配筋率等因素均对混凝土长期变 形有影响。 形有影响。
算的挠度； 算的挠度；
C——与荷载形式和支承条件有关的系数。例 ——与荷载形式和支承条件有关的系数 与荷载形式和支承条件有关的系数。
如 ， 简支梁承受均布荷载作用时 5/48 ， 简支梁承受跨中 简支梁承受均布荷载作用时5 48， 集中荷载作用时1 12，悬臂梁受杆端集中荷截作用时1 集中荷载作用时1/12，悬臂梁受杆端集中荷截作用时1/3。
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最小刚度原则 取同号弯矩区段内弯矩最大截面的弯曲刚度 作为该区段的弯曲刚度， 作为该区段的弯曲刚度，即在简支梁中取最大正 弯矩截面的刚度为全梁的弯曲刚度，而在外伸梁、 弯矩截面的刚度为全梁的弯曲刚度，而在外伸梁、 连续梁或框架梁中， 连续梁或框架梁中，则分别取最大正弯矩截面和 最大负弯矩截面的刚度作为相应正、 最大负弯矩截面的刚度作为相应正、负弯矩区段 的弯曲刚度。 的弯曲刚度。
f≤[f ]
提高受弯构件的弯曲刚度的措施 1）提高混凝土强度等级； 提高混凝土强度等级； 2）增加纵向钢筋的数量； 增加纵向钢筋的数量； 3）选用合理的截面形状（如Ｔ形、Ⅰ形等)； 选用合理的截面形状（ 形等) 4）增加梁的截面高度，此为最有效的措施。 增加梁的截面高度，此为最有效的措施。
14】某教学楼楼盖中一矩形截面简支梁， 【例4-14】某教学楼楼盖中一矩形截面简支梁， 截面尺寸 b × h = 250mm × 550mm ， 梁 跨 承受永久荷载（包括自重在内） 度 l = 6.3m , 承受永久荷载 （ 包括自重在内 ） 标准值 ， g k = 13.5 KN / m 楼面活荷载标准 配置4 根直径18mm的 18mm 值 q k = 7.2 KN / m， 配置 4 根直径 18mm 的 HRB335级钢筋，混凝土强度等级为C20， 335级钢筋 HRB335级钢筋，混凝土强度等级为C20，保护层 厚度c=25mm c=25mm。 厚度c=25mm。试验算其挠度 （f楼面活荷载准永 久值系数 ψ = 0）。 .5
Mk B= Bs M q (θ − 1) + M k
式中
Mq ──按荷载效应准永久组合计算的弯矩； ──按荷载效应准永久组合计算的弯矩 按荷载效应准永久组合计算的弯矩； Mk ──按荷载效应标准组合计算的弯矩； ──按荷载效应标准组合计算的弯矩 按荷载效应标准组合计算的弯矩； θ── 考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系 ──考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系
σ sk── 按荷载效应的标准组合计算的钢筋混凝土构件纵向 ──按荷载效应的标准组合计算的钢筋混凝土构件纵向
受拉钢筋的应力： 受拉钢筋的应力：
σ sk
Mk = 0.87h0 As
Mk───按荷载效应标准组合计算的弯矩； ───按荷载效应标准组合计算的弯矩 按荷载效应标准组合计算的弯矩； 受压翼缘截面面积与腹板有效截面面积的比值： γ f′ ── 受压翼缘截面面积与腹板有效截面面积的比值：
4.3.1 受弯构件的变形计算 1. 变形控制的目的和要求
对结构构件变形控制的目的 对结构构件变形控制的目的： 变形控制的目的： 保证建筑的使用功能要求；防止对结构构件、 保证建筑的使用功能要求；防止对结构构件、非结构 构件产生不良影响；保证人们的感觉在可接受成度之内。 构件产生不良影响；保证人们的感觉在可接受成度之内。 《规范》根据以往的设计经验和使用情况规定受弯构 规范》 件的最大挠度值不应超过附表规定的允许值。 件的最大挠度值不应超过附表规定的允许值。 确定受弯构件的允许挠度值时， 确定受弯构件的允许挠度值时，考虑了结构的要求对 结构构件和非结构构件的影响以及人们感觉可接受程度等 方面的问题。 方面的问题。
(bf' − b)hf' γ f' = bh0
（3）影响钢筋混凝土梁短期刚度的主要因素
1) 开裂截面的内力臂系数 η . 2) 受压区边缘混凝土平均应变综合系数 ζ . 3) 钢筋应力不均匀系数 ψ . 纵向受拉钢筋截面面积和弹性模量。 4) 纵向受拉钢筋截面面积和弹性模量。 均有一定影响。 5) 纵向受拉钢筋的配筋率和 α E 均有一定影响。 当配筋率和材料给定时， 6) 当配筋率和材料给定时，截面有效高度对截面 弯曲刚度的提高作用显著。 弯曲刚度的提高作用显著。
变形验算的步骤 已知：构件的截面尺寸、跨度、荷载、 已知：构件的截面尺寸、跨度、荷载、材料强度以及钢筋配置情况 求：进行挠度验算 验算步骤: 验算步骤: 1）计算荷载效应标准组合及准永久组合下的弯矩Mk、Mq ； 2）计算短期刚度Bs； 3）计算长期刚度B ； 4）计算最大挠度f，并判断挠度是否符合要求。 并判断挠度是否符合要求。 钢筋混凝土受弯构件的挠度应满足： 钢筋混凝土受弯构件的挠度应满足：
邯郸职业技术学院建工系
4.3
混凝土构件的变形及裂缝宽度计算
所有的结构构件，为保证其安全可靠， 所有的结构构件，为保证其安全可靠，需进 承载能力极限状态计算；此外， 行承载能力极限状态计算；此外，某些结构构件 还可能由于变形过大或裂缝宽度超过容许值， 还可能由于变形过大或裂缝宽度超过容许值，而 影响正常使用要求，即还需进行正常使用极限状 影响正常使用要求，即还需进行正常使用极限状 的验算。 态的验算。
Bs
φ
普通钢筋混凝土梁， 普通钢筋混凝土梁，在使用荷载作用 下，多处于第Ⅱ阶段。 多处于第Ⅱ阶段。 对比匀质弹性材料梁，钢筋混凝土梁 对比匀质弹性材料梁， 为非弹性材料。 为非弹性材料。
钢筋混凝土受弯构件截面刚度的特点 随着荷载的增加， 区裂缝发展， 随着荷载的增加，受拉 区裂缝发展，梁的刚度不断降 随配筋率的降低刚度减小；沿构件跨度， 低；随配筋率的降低刚度减小；沿构件跨度，构件抗弯刚 度变化。 度变化。 试验还表明，在长期荷载作用下，由于混凝土徐变的 试验还表明，在长期荷载作用下， 影响，梁的某个截面的刚度还将随时间的增长而降低。 影响，梁的某个截面的刚度还将随时间的增长而降低。 钢筋混凝土构件的刚度不是一个常数，钢筋混凝土构 钢筋混凝土构件的刚度不是一个常数， 件的变形计算可以归结为受拉区存在有裂缝情况下的截面 件的变形计算可以归结为受拉区存在有裂缝情况下的截面 刚度计算问题。 刚度计算问题。
（5）最小刚度原则与挠度计算
问题的提出： 问题的提出： 刚度计算公式是指纯弯区段内平均的截面弯曲刚度。 刚度计算公式是指纯弯区段内平均的截面弯曲刚度。 梁的刚度是随内力的增大而减少的；抗弯刚度沿梁长也是 梁的刚度是随内力的增大而减少的； 变化的。 变化的。 不仅荷载变化会引起梁的刚度变化， 不仅荷载变化会引起梁的刚度变化， 而且在某一荷载 作用下，沿梁长方向各截面的内力不同， 作用下，沿梁长方向各截面的内力不同，其刚度也是变化 的。
crctmcrsmsksksm为简化计算对受弯轴心受拉偏心为简化计算对受弯轴心受拉偏心受力构件受力构件cr轴心受拉构件轴心受拉构件偏心受拉构件偏心受拉构件受弯构件受弯构件偏心受压构件偏心受压构件11最大裂缝宽度由平均裂缝宽度乘以最大裂缝宽度由平均裂缝宽度乘以扩大系数扩大系数得到
第四章
钢筋混凝土梁
（二）
c 0 y s cr s
第Ⅱ阶段，拉区混凝土退出工作，压区混凝土塑性 变形发展，M-f关系曲线发生第一次转折，梁的刚度明显 下降。受拉区钢筋尚未达到屈服强度。 第Ⅲ阶段，受拉钢筋屈服，M-f关系曲线发生第二次 转折，稍有增加，甚至不再增加时，迅速增大，刚度急剧 下降。该阶段处于承载力极限状态。
M EcI0 My Ms Mcr
过大的挠度和裂缝会影响结构的正常使用。 过大的挠度和裂缝会影响结构的正常使用。 而构件裂缝过大时，会使钢筋锈蚀， 而构件裂缝过大时，会使钢筋锈蚀，从而降低结 构的耐久性，并且裂缝的出现和扩展还会降低构 构的耐久性， 件的刚度，从而使变形增大，甚至影响正常使用。 件的刚度，从而使变形增大，甚至影响正常使用。