费马大定理

费马大定理
费马大定理，也称費馬最後定理乃下述定理：
当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程
x n + y n = z n.
的整数解都是平凡解，即
当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)
当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)
這個定理，本來又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。

費馬宣稱他已找到一個絕妙證明。

但經過三个半世紀的努力，這個世紀数论难题才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1995年成功證明。

證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。

而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由于成功證明此定理，獲得了2005年度邵逸夫獎的數學獎。

歷史
1637 年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。

关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。

数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。

對很多不同的n，費馬定理早被證明了。

但數學家對一般情況在首二百年內仍一籌莫展。

1908 年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。

在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。

1983 年，en:Gerd Faltings證明了Mordell猜测，從而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互質的a,b,c使得a n + b n = c n。

1986 年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a n + b n = c n，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線
y2 = x(x - a n)(x + b n)
會是谷山志村猜想的一個反例。

Frey的猜想隨即被Kenneth Ribet證實。

此猜想顯示了費馬大定理与橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995 年，懷爾斯和泰勒在一特例範圍内證明了谷山志村猜想，Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明了費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。

他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈了他的證明，並瞬即成為世界頭條。

但在審批證明的過程中，專家發現了一個極嚴重的錯誤。

懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部份的證明與岩澤理論有關。

他們的證明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。